第一章-集合与命题.doc

1、（一）集合的概念与运算第一章 集合与命题（一）集合的概念与运算【集合的基本概念】 知识点归纳1. 集合的定义: 2. 集合的特征:3. 集合的表示法:4. 集合的分类:5. 数集:6. 集合的关系:7. 集合的运算:8. 集合的运算性质: 例题讲解例 1 (1) 已知集合 3MxnZ， ， 31NxnZ， ， 31PxnZ， ，且 aM， bN，cP，设 dabc，则 ( ).A. B. dC. dD. 以上都不正确(2) 若集合 2442kkAxBx， ， ， ，则 ( ).A. BB. AC. ABD. AB 例 2 写出满足 ,Mab的所有集合 M.例 3 已知集合 2340AxxR，

2、，求 N的真子集的个数.例 4 已知全集 1,5,6789U， 2AB， ()1,9UAB， 4,68UAB，求集合 A、B.例 5 已知下列两集合 A、B，求 ；(1) 2 2313yxxByxxRR， ， ， ；（一）集合的概念与运算(2) 2 2(,)3(,)13AxyxBxyxRR， ， ， ；(3) 2 2yxxyxxZZ， ， ， .例 6 同时满足下列两个条件: 1,2345M，若 aM，则 6a，这样的集合 M 有多少个? 写出这些 集合.例 7 已知集合 2 228030AxxBxaxRR， ， ，(1) 实数 a 在什么范围内取值时， A?(2) 实数 a 在什么范围内取值

3、时， AB. 回顾反思1. 主要方法: 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； 抓住集合中元素的 3 个性质，对互异性要注意检验； 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； 借助数轴和文氏图进行求解.2. 易错、易漏点: 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。数集与点集的区别； 进行集合的运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况； 解决集合与方程有关的问题时要注意检验. 课后练习1. 设 U 为全集， A、B 是两个非空集合，以下命题中正确的有_(1) 若 ，则 U(2) 若 AB，则 (3) 若 ，则 (4) 若 U

4、，则 AB 2. 已知集合 24Mx， 230Nx，则集合 MN等于 ( ).（一）集合的概念与运算A. 2xB. 3xC. 12xD. 23x3. 设集合 1,345,6P， 2,Q，那么下列结论正确的是 ( ).A. QB. PC. PQD. PQ 4. 若非空集合 35Axa， 32Bx，则能使 AB成立的所有实数 a 的集合是 ( ).A. 19aB. 69aC. 9aD. 5. 已知 S、T 是两个非空集合，定义集合 STxST， ，则 ()ST为 ( ).A. B. C. D. ST6. 已知集合 16MxmZ， ， 123nNxZ， ， 126pPxZ， ，则 M、N 、P 的关

5、系 是 ( ).A. NPB. MPC. MND. 7. 如图，U 为全集， M、P 、S 是 U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( ).A. )B. ()SC. UD. PU8. 设全集 R，集合 ()0AxfxR， ， ()0BxgxR， ， ()0CxhxR， ，则方程2()0fxgh的解集是_(用 A、B、C 表示).9. (1) 满足条件 2,3,6的集合 A 的个数是_；(2) 满足关系 ,abA ,cd的集合 A 的个数是_.10. 设集合 63MxxNZ， ，用列举法写出 M_.11. (1) 若 21yR， ， 1xtR， ，求 N；(2) 若 2(,)1Mxyx， ，

6、 (,)1Nxyx， ，求 M.12. 设集合 26010AxBxm， ，满足 BA，求实数 m 的值.13. 设集合 25,log(3),aab， ，若 2A，求 .PSMI（一）集合的概念与运算14. 已知集合 221,(31)(56)i1,3MaaN， ，其中 i 为虚数单位，且 3MN，求实数 a 的值.15. 已知集合 20Ax， 14Bx， 20Cxmn，满足 ()ABC()ABR求实数 m、 n 的值.【集合的运算】 知识点归纳9. 集合的有关运算:10. 点集与解析几何有关的问题:11. 集合语言的运用: 例题讲解例 8 若集合 2,3,1ABa， . 若 ，求实数 a 的取值

7、范围； 若 A B，求实数 a 的取值范围； 若 ，求实数 a 的取值范围.例 9 已知集合 ,2Ad， 2,Baq， a 为非零常数，若 AB，求 d、q 的值.例 10 设集合 240Ax， 22(1)0Bxax，若 BA，求实数 a 的取值范围.（一）集合的概念与运算例 11 若集合 22(,)(3)4Mxyy， 221(,)1()4Nxyya，且 NM，求实数 a 的取值范围 .例 12 设全集 (,)UxyR、 ，集合 2(,)1yMx， (,)4Nxy，求 UM N.例 13 设集合 (,)1Axya， (,)Bxy，若 AB是单元素集合，求实数 a 的取值范围.例 14 设 2(

8、,)1Axyx， (,)Bxym. 若 B是单元素集合，求实数 m 的取值范围； 若 是含有两个元素的集合，求实数 m 的取值范围.例 15 已知集合 1(,)2yMx， (,)1()1Nxyax，且 MN，求实数 a 的值. 回顾反思1. 主要方法: 解决集合与不等式问题，要借助于数轴进行交、并、补的运算； 与点集有关的问题，可以用数形结合的思想或方程组的方法； 集合语言的理解.2. 易错、易漏点:（一）集合的概念与运算 集合与不等式问题中，区间的开、闭容易出错，要特别注意检验区间的端点； 集合运算时，要注意同解变形问题以及空集这一特殊情况. 课后练习16. 已知集合 2(,)93Axyx，

9、 ， (,)Bxyb，若 AB，求实数 b 的取值范围.17. 已知集合 1,Aab， 2,Bab，且 AB，求实数 a、b 的值.18. 已知集合 2310AxaxR， . 若 A 中只有一个元素，求实数 a 的值； 若 A 中至少有一个元素，求实数 a 的取值范围.19. 已知集合 230Ax， 240BxaxR， ，若 BA，求实数 a 的取值范围.20. 已知集合 20Ax， 240Bxp，且 AB，求实数 p 的取值范围.21. 已知集合 22190Axa， 2log(58)1Bxx， 26CxxR， ，若 AB，C，求实数 a 的值.22. 已知集合 3(,)12yAx， (,)2

10、Bxya，且 AB，求实数 a 的值.（一）集合的概念与运算23. 对集合 A、 B，定义 AUB，其中 U 表示全集，而 A、B 的对称差记为 ()()ABA，若集 合 2(1)03yxx， ， 213yx， ，求 .24. 若集合 3(,)12yAxaxyR， 、 ， 2(,)1()15BxyaxyxR， 、 ，且 AB，求实数 a的值. 增补习题25. 已知集合 2 2(3)2(1)0(31)20AxmxmBxnxnRR， ， ， .求 m、n 分使 (1) BA(2) 时的值。26. (1) 已知集合 ,4816，令 ()X表示 A 的非空子集 X 中所有元素之积，求所有这些 ()X的

11、积；(2) 已知集合 2*0xnN， ， ，令 ()Y表示 B 的非空子集 Y 中所有元素之和，求这些 ()Y的和.27. 设集合 ,35,M， 1s、 2、 ks都是 M 的含有两个元素的子集，且满足对任意的 ,iisab，,jjsabij且 1,23,i，都有 min,in,ji ababmin,xy表示 x、y 中较小 ，则 k 的最大值是A. 10 B. 11 C. 12 D. 1328. 已知集合 A 满足以下条件 : 若 aA()N，则 ()21afA且 ()fa，依此类推.(1) 若集合 A 为单元素集，求 a 与集合 A；(2) 请用描述法写出一个满足条件的集合 A，要求集合

12、A 不是单元素集，且不含字母 a. （一）集合的概念与运算（二）命题和充要条件 知识点归纳1. 命题:2. 命题的四种形式:3. 等价命题:4. 充分条件和必要条件:5. 子集与推出关系: 例题讲解例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若 0ab，则 或 0b；(2) 两个有理数的和是有理数.例 2 有下列四个命题: 命题“若 1xy，则 x、y 互为倒数”的逆命题是假命题； 命题“面积相等的三角形全等”的否命题是假命题； 命题“若 m，则 230有实根”的逆否命题是真命题； 命题“若 AB，则 ”的逆否命题是真命题.其中是真命题的是_( 填上你认为正确命题

13、的序号 ).例 3 命题 : tan()0，命题 : tanAB，则 是 的( ).A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件例 4 设函数 ()fx的定义域为 R，有下列三个命题: 若存在常数 M，使得对任意 x，有 ()fxM，则 M 是函数 ()fx的最大值； 若存在 0x，使得对任意 ， 0，有 0()f，则 0f是函数()fx的最大值； 若存在 0R，使得对任意 xR，有 0()fx，则 0()fx是函数 ()fx的最大值.这些命题中，真命题的个数是( ).A. 0 B. 1 C. 2（一）集合的概念与运算D. 3例 5 下列各题中， 是 的

14、什么条件?(1) : xy； : 0xy (2) : 0xy； : xy.例 6 (1) 写出 3x一个充分条件和一个必要条件；(2) 写出 210ax至少有一个负的实根的充要条件.例 7 在 ABC中，“ ”是“ sinAB”的什么条件?例 8 已知 0c，设命题 P: 函数 xyc在 R 上单调递减，命题 Q: 不等式21x的解集为 R，如果命题 P 和 Q 有且仅有一个正确，求实数 c 的取值范围. 回顾反思1. 主要方法: 逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 通常复合命题“p 或 q”的否定为“ p且 q”、“p 且 q”的否定为

15、“ p或 q”、“注意”的否定是“存在”、 “都是”的否定为“不都是”等等； 有时一个命题的叙述方式比较简略，应先分清条件和结论，再改写成“若 p，则q”的形式； 原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的逆命题与否命题同真同假，所以对一些命题的真假判断(或推证)， 我们可通过对与它同真同假的命题(具有逆否关系的命题 )来判断(或推证) ； 判断充要条件的关键是分清条件和结论；说明不充分或不必要时，只要举出反例即可.2. 易错、易漏点:（一）集合的概念与运算 判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判 断复合命题的真假； 写四种命题时应先分清题设

16、和结论； 要注意一些常用的“结论的否定形式”，如“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式是“一 个也没有”、“至少有两个”、“不都是”；复合命题中“且”、“或”的否定；“不都是”与“至多”、“至少”的关系. 课后练习1. 下列说法: 若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题； 若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题； 若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题； 若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题.其中正确的说法是 ( ).A. B. C. D. 2. 设集合 23MxPx， ，那么“ xM或 P”是“ xMP”的( ).A.

17、 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件3. 函数 2()(0)fbc是单调函数的充要条件是 ( ).A. 0b B. C. b D. 0b4. “aR、 ”是“ 2a”的 ( ).A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件5. 下列判断中正确的是 ( ).A. “12 是偶数且是 18 的约数” 是真命题B. “方程 210x没有实数根 ”是假命题C. “存在实数 x，使得 23且 216x”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于 0”是假命题6. 命题“若 y，则 2y”的逆命题、否命题和逆否命题

18、中，假命题的个数为( ).A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. “ 4ab且 03a”是“ 01a且 3b”成立的 ( ).A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件8. 命题甲为: 5x，命题乙为: x，则甲是乙的( ).A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件9. 下列命题中，与命题“a 是一个有理数”是等价命题的是( ).A. 2是一个有理数 B. 3a是一个有理数 C. 1a是一个有理数 D. a是一个有理数10. 如果 A 是 B 的必要条件， B 是 C 的充要条件，D 是 C 的充分条

19、件，则 D 是 A 的( ).A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件11. 对任意实数 a、b、c ，给出下列命题，其中真命题的个数是 ( ). “ ”是“ ”的充要条件；（一）集合的概念与运算 “ 5a是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； “ b”是“ 2b”的充分条件； “ ”是“ 3”的必要条件.A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. “ xy”的_条件是“ 1x且 y”.13. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 如果 0a，那么 0b；(2) 对顶角相等.14. 已知关于 x 的一元二次方程 24

20、0m， 22450()mxmZ，求方程和都有整数解的充要条件. 增补习题15. 对于非零实数 a、b，以下四个命题都成立: 10； 22()ab； 若 ab，则 ； 2ab，则ab.那么，对于非零复数 a、b 仍然成立命题的所有序号是_.16. 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种，已知 、 是两个相交平面，空间两条直线 12l、 在 上的射影是 12s、 ， 12l、 在 上的射影是 12t、 . 用 12s、 ，12t、的位置关系，写出一个总能确定 l、 是异面直线的充分条件: _.17. 求证: “数列 na是公比不等于 1 的等比数列”的一个充要条件是“ (1)nSab”

21、，其中 0ab、 且 1.（一）集合的概念与运算【附录】一、集合与命题要求内容记忆性水平 解释性理解水平 探究性理解水平集合及其表示知道集合的意义。会对集合的意义进行描述。认识一些特殊集合的记号。懂得元素及其与几何的关系符号。初步掌握基本的集合语言。会用“列举法”和“描述法”表示集合。体会数学抽象的意义。掌握用区间表示集合的方法。子集理解集合之间的包含关系。 掌握子集的概念。能用集合语言表述和解决一些简单的实际问题。交集、并集、补集 知道有关的基本运算性质。 掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算。命题的四种形式了解一些基本的逻辑关系及其运用，了解集合与命题之间的联系，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用。理解否命题、逆否命题，明确命题的四种形式及其相互关系，建立命题与集合之间的联系。领会分类、判断、推理的思想方法。充分条件、必要条件、充分必要条件理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义。能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。子集与推出关系 知道子集与推出关系之间的联系。 初步体会利用集合知识理解逻辑关系。