1、主 要 内 容,5.1 引 言,5.2 应力计算结果的性质与处理,5.3 子结构法,5.4 结构对称性与周期性的利用,5.6 小 结,5.5 非协调元与分片试验,5. 1 引 言,1. 有限单元法的求解过程,（1）划分单元，输入结点和单元信息；, 前处理器,（2）单元分析：N、Ke、Pe；,（3）整体分析：,引入位移边界条件，得到,（4）求解方程 得解a ；,（5）对位移 a 结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变。, 求解器, 后处理器,的可视化表示。,2. 目前存在的问题：,（1）,的精度较低。,如何由应力、应变结果的特点改善其精度？,（2）,如何利用结构的几何特点、受力特点简化计算
2、，减少工作量，提高计算效率？,（3）,如：结构与受力的对称性、周期性物质等；,子结构法；,非协调元概念与应用,（Wilson非协调元）。,5.2 应力计算结果的性质与处理,应力、应变的计算：, 精度较低。,误差的原因：,（1）,单元内平衡方程不能精确满足；,（2）,单元交界面上应力不连续；,（3）,边界上边界条件不能得到精确满足等；,5.2.1 应力近似解的性质,1. 位移解 a的性质,a有限元近似解，,a 真实解；,由最小位能原理，可知，a具有下限的性质：,原因：,单元离散等相当于加大了原结构的刚度。,2. 应力、应变解 、 的性质,设u 、 、 近似解，,u、 、 真实解，有,近似解对应的
3、位能：,P(u)实际的总位能, P(u)=0, 2P(u),2. 应力、应变解 、 的性质,在线弹性下，有,对于一具体问题， P(u)应为一定值，,则 P(u*)的极值问题归结为：,2P(u)的极小值问题。,将2P(u)表示成单元位能泛函的形式，有,（5.2.5）,（5.2.6）,上式表明：,2P(u)的极小值问题,求解,的加权,二乘最小值问题。即,、 为、 在加权（D、C）最小二乘意义下的近似解。,、 的特点：,（1）、 在真正解、 上下振荡；,（2）在某些点上有： = 、 =，即存在最佳应力点。,利用、 的上述特点，作适当处理，可提高应力、应变结果的精度。,5.2.2 等参元的最佳应力点,
4、如前所说，用位移法进行有限元应力分析归结为求泛函 (,)的极小值问题，即,利用弹性力学的几何方程和物理方程，有,（5.2.7）,（5.2.8）,由式（5.2.8）可见：,若近似解 u*是 p 次多项式，L为 m 阶微分算子，则, 为n= pm 次多项式。当Jacobi行列式为常数时，式（5.2.7）或（5.2.8）中被积函数为 2n 次多项式，因而要使它们能够精确积分，至少应采用 n+1 次Gauss积分。也就是说，真实应力为 n+1 次多项式时，数值积分仍为精确的。即有下式精确成立：,（5.2.9）,假设每一单元中的高斯积分点上 i(i =1,2, , n+1)的每一分量的变分是独立的，则上
5、式成立等价于,或,（5.2.10）,也就是说，即使真实应力 为 n+1 次多项式，仍有近似应力等于真实应力。可见，若取n+1阶积分，则在积分点上具有比其本身高一阶的精度。,对，也有同样的性质。,结论：,在等参单元中，单元中 n+1阶（n =pm）Gauss积分点上的近似应力比其它部位的应力具有较高的精度。,称 n+1阶Causs积分点为等参元中的最佳应力点。,5.2.3 单元平均与结点平均,1. 问题的提出,有限单元法求得位移解（结点位移）a*后，其单元应力为,（1） 通常为单元局部坐标的函数；,（2） 相邻单元边界上应力不连续，存在突跳现象；,（3） 结构边界上应力与边界条件不符，等；,工程
6、实际问题，通常对单元的边缘和结点的应力分布较关注，所以，需要对应力结果作处理。,应力结果的处理方法：,相邻单元平均；绕结点平均；应力磨平；利用边界条件修正等,2. 取相邻单元应力的平均值,适用于3结点三角形单元（常应力单元）。,（1）算术平均：,（2）面积加权平均：,设单元 j 的面积为 Aj ，结点 i 的应力为：,（5.2.11）,3. 取围绕结点各单元应力的平均值,对6结点三角形单元、四边形单元等，单元内各点的应力各不相同，设各单元在结点 i 处的应力为,则，结点 i 处的平均应力为,m 围绕结点 i 周围的全部单元数。,（5.2.12）,5.2.4 总体应力磨平,（1）基本思想：,有限
7、单元解得到的单元应力分布特征,构造一改进的应力解 ，此改进解满足：（1）在全域上连续；（2）与有限元求得的应力解符合加权最小二乘原则。,（5.2.13）,式中：,M 单元总数； 为待求的应力改进值，它在单元内的分布可插值形式得到，如,（5.2.14）,式中：,i 为待求的改进后结点应力值； ne 单元的结点数；,插值函数矩阵；可与位移插值函数相同，也可不同。,（2）总体应力磨平方法：,建立如下泛函，并取最小值,将 代入式（5.2.13）作变分运算，并考虑到 i 的任意性，得,（5.2.15）,即：,（5.2.16）,式中：M 应力磨平应力所用的结点数。,由此可求出，改进后各结点的应力值。,磨平
8、后的单元应力状况,总体应力磨平的缺点：,计算工作量十分庞大。相当于求解两个有限无问题。,5.2.5 单元应力磨平,（1）基本思想：,当单元尺寸不断缩小时，单元的加权最小二乘和单元未加权的最小二乘是相当的；另一方面，由于泛函 (, )的正定性，全域的加权最小二乘是各单元的加权最小二乘的和。,当单元尺寸足够小时，应力磨平可在单元上进行。,（2）单元应力磨平的方法,（5.2.16）,在单元上，建立如下泛函（并令权函数 C = I）,并使该泛函取最小，以此求得改进后的结点应力值 。其中改进的应力值仍用结点应力i 的插值表示，即,（5.2.17）,将上式代入式（5.2.16）,并使用权其一阶变分等于零，
9、有,也称局部应力磨平,或：,（5.2.18）,由此可求得单元改进后的单元结点应力i ，再由单元平均或绕结点平均等方法求得精度较高结点 i 的平均应力。,说明：,（1）由单元应力磨平采用权函 C = I ，使得方程（5.2.18）变为解耦方程，因而求解工作量大大减少。,（2）对等参元，方程（5.2.18）中的有限元应力解 采用 Gauss 积分点上的应力，则改进后结点应力值精度更高。,5.2.6 子域局部应力磨平及外推,基本思想：,仅对工程实际问题中感兴趣的区域，如应力集中区域、需专门校核应力的区域进行应力磨平、修正处理。,5.2.7 引入力的边界条件修正边界应力,设有限元法求得单元或结点的应力
10、、应变分量为,它们在边界局部坐标方向的分量为,局部坐标,对此局部坐标有应力、应变关系：,令：,由第三式可求得：,代回第一、二式，得修正后应力：,上述结果可对边界应力得到很大改进。,5.3 子结构法（简介）,1. 基本思想,四层三跨框架结构,单跨横梁结构（12）,对于一工程实际的复杂结构，分成若干个部分，每一部分称为一个 “子结构”。,然后，在子结构上划分单元，计算各单元的刚度矩阵、结点载荷列阵，并将其组集子结构的刚度矩阵、结点载荷列阵。,其次，将得到的子结构刚度矩阵、结点载荷列阵，作自由度凝聚，得到紧缩的子结构刚度矩阵、结点载荷列阵。,最后，将各个子结构紧缩的子结构刚度矩阵、结点载荷列阵，组集
11、成总的结构刚度矩阵、总的结点载荷列阵，引边界条件后求解。,2. 内部自由度凝聚,（1）子结构内部结点的位移分量；,（2）子结构边界结点的位移分量；,需要凝聚掉的位移自由度：,自由度凝聚过程：,对图示子结构已建立有限元方程：,子结构的刚度矩阵,分别为子结构的位移列阵、等效结点载荷列阵,交界面结点位移,内部结点位移,交界面结点等效载荷,内部结点等效载荷,（a）,将子结构的方程写成分块形式：,（5.3.1）,（5.3.1）,由第二个方程求出：,将其代入第一个方程，消去 aii 有,（5.3.2）,（5.3.3）,令：,（5.3.5）,方程简化为：,（5.3.4）,5.4 结构对称性与周期性的利用,5
12、.4.1 具有对称面的结构,对称面上边界条件的确定：,（1）将对称面上位移分量分为对称分量和反对称分量，如：垂直对称面为对称位移分量；与对称面相切为反对称位移分量；,（2）将载荷分为对称和反对称；,（3）对称面上边界条件的确定：,（a）对同一对称面，在对称载荷时，反对称的位移分量为零。,（b）对同一对称面，在反对称载荷时，对称的位移分量为零。,5.4.2 轴对称体受非轴对称载荷的情况,5.4.3 旋转周期结构,单元划分时注意事项：,在结构形状变化剧烈处，单元设置稠密一些；,在载荷变化剧烈处，单元设置稠密一些；,5.5 非协调元与分片试验,（1）对边界有良好的适应性；,引 言,1. 等参元的优点
13、,（2）如同其母单元一样，表达格式简明；,（3）具有与母单元同样的收敛性；,2. 等参元的局限性,其计算精度和效率不够高，具有提高的潜力。,原因：,Ni 中存在不完全的高次多项式，它们对单元精度提高不起作用。如：,（1） 4结点四边形单元：, 双线性（完全的多项式仅为一次）,就线性的完全多项式而言，仅需3个结点6个自由度即可描述。,（2） 8结点四边形单元：, 二次单元（完全的多项式为二次的）,就完全二次多项式而言，仅需6个结点12个自由度即可描述。多余2个结点。,上述情况，在空间问题中更为严重。,不完全的高次多项式不但不能提高精度，有时可起负面作用。,例如：用二维双线性单元描述纯弯曲应力状态
14、,该问题的精确解为：,（5.5.1）,由平面问题的几何方程和物理方程，得：, 为纯弯曲的应力状态。E、 为弹性常数。,若用双线性矩形单元模拟该应力状态：,对照式（5.5.1）有：,（5.5.3）,由几何方程，得,由物理方程,近似位移,近似剪应力,近似的 y,误差原因：,位移中缺完全的二次多项式。,5.5.1 Wilson 非协调元,1. 基本思想,在不增加单元自由度情况下，位移插值函数中，增加一些附加项，使其构成完全多项式，以弥补原位移插函数中非完全多项式的不足。,Wilson称这些附加项为：内部无结点位移项。,以4结点四边形等参元为例，,采用自然坐标，其附加项为,附加项的特点：,在4结点处，
15、附加项的值为零，不影响结点位移；,附加项的二次项使位移成为完全二次多项式；,2. 二维4结点Wilson非协调元,位移模式：,其中：, 称为内部自由度，无明确的物理意义。,将式（5.5.4）用矩阵表示：,（5.5.5）,其中：,应变、单元位能泛函、单元有限元方程：,将式（5.5.4）或（5.5.5）代入几何方程：,得：,（5.5.6）,代入单元位能泛函,由,得：,（5.5.7）,其中：, 原4结点线性单元的刚度阵,（5.5.8）,单元的自由度凝聚：,（5.5.7）,由上式中的第二式可解出：,（5.5.9）,将上式的第一式，有,整理，消去e , 有,令：,（5.5.10）,说明：,（1）方程（5
16、.5.10）包括了附加内结点位移项得到的单元刚度阵和载荷列阵。,（2）方程（5.5.10）阶数与原线性单元相同。消去附加自由度 14 的过程，称为自由度凝聚。,（3）若不存在体积力（ f 0）,则有,进一步略去,中的第二项，则, 与原线性单元中相同,实践证明， 作以上处理后，计算量大大减少，且对精度影响不太大。,例：,悬臂梁受载荷A和载荷B作用，如图所示。采用4结点矩形单元计算。,其中：, 附加的内部自由度,存在的问题：,单元边界上位移分布：, Wilson元 不满足协调条件，为非协调单元。,相邻单元边界的位移不能连续。,Wilson非协调元单元收敛性如何？,实践证明：,对于 C0 类型问题，
17、若在单元尺寸趋于零（即单元应变趋于常应变）时，其位移的连续性能得到恢复，则非协调元的解仍能趋于精确解。,检验非协调元是否收敛性的条件为：,（1）位移模式能否描述常应变？,（2）在常应变的条件下，能否自动地保证位移的连续性？,检验方法：,分片试验, 检验采用非协调元任意网格单元时能否达到上述连续性的要求。, 能通过分片试验的非协调元，其有限元解一定收敛于精确解。,5.5.2 分片试验,艾恩斯（Irons）,1965,j,1. 分片试验原理,考虑一任意的单元片，如图所示，其中至少有一个结点是完全被单元所包围的，如图中的结点 i ，结点 i 的平衡方程为：,（5.5.11）,其中：m 单元片包含的单
18、元数，j 表示单元片内除结点 i 以外的所有结点。,考察：当赋于单元片各个结点以与常应变相应位移值和载荷值时，校验方程（5.5.11）是否满足，即此时结点 i 的平衡条件是否满足。,分片试验原理：,如果满足，则认为通过分片试验，即单元满足常应变的要求，此时，当单元尺寸不断缩小时，有限元解能收敛于真正解。,2. 分片试验的方法步骤,（1）赋单元片中各结点以（与常应变状态相对应）位移和载荷值;,（2）将赋的各结点位移和载荷值代入式（5.5.11）;,（3）判别：式（5.5.11）是否满足。若满足，则通过分片试验，解能收敛于真正解。,平面问题中非协调元的分片试验,平面问题中，与常应变对应的位移为：,
19、（5.5.12）,取各结点的位移值为：,（5.5.13）,与常应变（常应力）对应的结点载荷：,应有：, 无体力, 无面力, 无集中力,此时，分片试验条件变为：,（5.5.14）,分片试验条件变为：,（5.5.14）,分片试验条件的意义：,（1）若式（5.5.14）不成立，表明单元片具有与常应变相应的位移时，结点 i 不能平衡。必须在结点 i 处施加外力(如加约束力)，才能保持结点 i平衡。反应这种非协调单元不能反应常应变的要求。,（2）若式（5.5.14）不成立，从能量角度看，由于单元间的不协调变形损失外力的功。,分片试验的另一提法：,当单元片的边界结点赋予和常应变相对应的位移时，求解方程（5
20、.5.14）得到分片内部结点 i 的位移 ai。若 ai 和常应变状态一致，则通过分片检验。,平面4结点四边形非协调元的分片试验条件,位移模式：,其中：, 附加的内部自由度,两种情形：,（1）当,时，单元一定满足收敛性条件，,（2）当单元片各点赋予与常应变相应有位移：,因而，必定通过分片试验。,时，也应有：,平面4结点四边形非协调元的分片试验条件,（5.5.9）,4结点四边形非协调元的方程为：,由第二式可求得：,当不存在体积力（ f 0）时, 可近似取,式（5.5.9）变为：,（5.5.15）,记：常应变状态相应的结点位移为：,（5.5.16）,记：常应变状态相应的结点位移为：,应有,另一方面
21、，与常应变对应的一定为常应力，即,其中：, 单元相应等参变换的Jacobi矩阵,显然，当：,时，,成立，即通过分片试验，该非协单元是满足收敛性条件的。,结论：,平面4结点四边形非协调元的收敛条件：,说明：,（1）满足,的单元为：,平行四边形单元和矩形单元；,（2）对一般四边形单元不能通过分片试验，不满足收敛性条件。但可作如下近似处理：,取：,可得较好的结果。, Wilson 建议,（3）类似可构造8 结点六面体非协调单元：,（3）类似可构造8 结点六面体非协调单元：,（5.5.4）,位移模式：,其中：,通过分片试验的条件：,（1）平行六面体，,（2）对非平行六面体，取,其精度可与达到20 结点
22、六面体的精度相当。,5.6 小 结,1. 应力解的特点及改善应力结果的方法,n+1阶Gauss积分点为等参元中的最佳应力点。,应力解的特点,改善应力结果的方法,相邻单元应力平均,算术平均,面积加权平均,围绕结点各单元应力的平均,m 围绕结点 i 周围的全部单元数。,总体应力磨平,（5.2.16）,（5.2.14）,单元应力磨平,（5.2.17）,（5.2.18）,子域局部应力磨平及外推,引入力的边界条件修正边界应力,仅对工程实际问题中感兴趣的区域，如应力集中区域、需专门校核应力的区域进行应力磨平、修正处理。,以上应力结果的处理方法是自适应分析的基础。,2. 子结构法、对称结构和周期性载荷的利用,子结构法的基本思想与方法,对称结构的利用,周期性载荷的利用,3. 非协调单元及其分片试验,非协调单元构造的基本思想, 在不增加自由度的情况下，加一些附加项，使其构成完全多项式,Wilson非协调单元构造方法, 平面4结点四边形非协调元；空间8结点六面体非协调元。,非协调单元收敛性的检验方法：, 分片试验, 分片试验的原理、方法,非协调单元收敛性的检验方法：, 分片试验, 分片试验的原理、方法,平面4结点四边形非协调元通过分片试验的条件：,空间8结点六面体非协调元通过分片试验的条件：,
