1、10.4.3 雷诺方程对于不可压缩粘性流动，在不考虑质量力的情况下， N S 方程具有下列形式（ 10.54a ）利用不可压流瞬时运动的连续方程可将式（ 10.5 4 a ）改写成（ 10.54b ）然后对式（ 10 .5 4b ）中的第一式进行时间平均运算，则有（ 10.55 ）由于 ，应用时均物理量与脉动物理量之积的时均值等于零的运算规则，即（ ），可得这样式 （ 10.55 ） 经过化简后，可表示为再应用时均运动的连续方程 （ 10.53 ） ，上式可化为同理可得 （ 10.56 ）（ 10.56 ）方程组 （ 10.56 ） 就是著名的不可压缩流体作湍流运动时的时均运动方程称为雷诺方程
2、。10.5.1 附面层的概念1 附面层厚度及流动阻力粘性是流体的重要属性。根据流体粘性的特点，在靠近物体表面处，流体将粘附在物面上而流速为零，即满足无滑移条件。而沿物面的法线方向上，流速逐渐增加，到某一距离处，流速与外边界速度近似相等。我们定义靠近物体表面，存在较大速度梯度的簿层称为附面层或边界层。通常定义当 V=0.99V 0 （ V 0 为附面层外边界的速度）时的垂直物面的法向距离为附面层厚度，用 表示。在航空上，有实际意义的问题大多属于大雷诺数下的流动问题。此时紧帖物面法线方向速度梯度很大的这一层都是很薄的，因此附面层厚度 是个小量。气流流过物体表面的距离越长，附面层厚度也越大，即附面层
3、厚度随气流流过物体的距离而增加。粘性影响较大的另一种情况是流体在物体后面的部分，通常要离开物体的表面，即在物体后面形成所谓的尾迹区。由于粘性的作用较强，粘性切应力作用较大，因而形成流动阻力。显然，该阻力产生的根源是流体与物体表面之间的摩擦以及附面层分离引起的。之外，由于附面层脱离后的尾迹区中，还会导致物体表面上产生流动方向的压力差，因而形成所谓的压差阻力。在附面层外边界，流速接近于外边界速度，因此附面层外边界的速度梯度很小。而空气的粘性系数也很小，所以在附面层之外，可以忽略粘性的影响，而作为理想流动来处理。总之，在靠近物体表面的附面层内以及在物体之后的尾迹区内，粘性都有显著的影响。2 附面层中
4、沿物面的法向压强保持近似不变在附面层内，除了速度梯度 很大外，还有另外一个重要的特点，对于物面曲率半径比较大，即物面不太弯曲的情况，沿着其物面的法线方向流体压强保持近似不变。如果测量流体流过平板的附面层内沿 y 方向的压强梯度，的确可以得到在附面层内压强 p 沿 y 方向不变 , 即 。该结论非常重要，它可以使附面层运动方程大大简化。同时它还使得理想流体的结论具有实际意义。当按理想流体理论计算附面层外边界的压强分布后，即可得到物面上对应点的压强。3 位移厚度 和动量损失厚度 所谓的位移厚度 就是由于附面层内速度降低而要求流道加宽的厚度，即全部粘流所占的流道比无粘流体流动应占流道所加宽的部分，即
5、是位移厚度。设物体上某点处的附面层厚度为 如图 10.6 所示，垂直纸面方向为单位宽度。则粘性流体与理想流体同时流过该物面时，由于粘性流体中附面层的影响，所减少的质量流量为图 10.6 附面层位移厚度其中 是附面层外边界处理想流体的密度和速度； 分别是附面层内的密度和速度。这些减少的质量流量要在主流中挤出 的距离才能流过去。因此它应等于以理想流体 流过 距离上的质量流量，即所以得（ 10.62 ）由此可见，在质量流量相等的条件下，犹如将理想流体的流动区域自物面向外移动了一个 的距离。它表示了由于粘性的作用，附面层内流体质量流量相对理想流体减小的程度。计算流体力学中的附面层与相应的计算网格对于不
6、可压流体，上式可改写为(10.63)根据以上的分析，如果按理想流体设计的型面，为了使相同质量流量的粘性流体能够通过，则物面应向外移动一个 的距离。位移厚度的概念，对于流动方向要求严格的流道设计具有重要的意义。特别是对于管道内出现声速截面时，实际管道壁面必须进行修正。由于流通面积的复杂性，精确的的值很难计算准确，下面给出一种 相对简便的近似 方法。设附面层位移厚度取决于当地马赫数和沿流动下游的距离，即假设位移厚度与流向距离成正比，则根据经验知位移厚度随马赫数的变化按下列规律确定：（a）式中， 与马赫数的关系为（ b ）式中， 式（ a ）和（ b ）适合于设计马赫数直到 10 的超声速及高超声速
7、喷管。由于附面层内的流速小于理想流体的流速，因此附面层内流体的动量也会减小。单位时间内通过附面层厚度 的流体实际具有的动量为 ，此部分流体若以附面层外边界上理想流体速度 运动时，所具有的动量为 ，因此其动量损失应等于单位时间内以速度 、密度 的流体流过一层厚度为 的流体所具有的动量，即 称为动量损失厚度，即（ 10.64 ）对不可压缩流体， ， 则（ 10.65 ）10.5.2 附面层的转捩根据雷诺实验，粘性流体存在着两种流态，即层流和湍流。附面层流动和管流一样有层流附面层和湍流附面层之分。实验观察表明，流体从物体前缘开始，先形成层流附面层。层流附面层的存在有一个极限情况，超过此极限时，层流处
8、于不稳定状态，并逐渐过渡为湍流附面层。图 10.7 是均匀来流流过平板时的流动图形，图中 O-A 称为层流附面层， A-B 称为转捩段，转捩起点 A 距平板前缘的距离用 表示，对应于转捩点 A 的雷诺数称为临界雷诺图 10.7 平板上的附面层数，即 , 通常转捩雷诺数的大小要由实验确定。一般地，对于绕平板的流动， 。经过转捩段 A-B 后，即 附面层转变为湍流。由可以得到转捩点的位置：（ 10.66 ）由上式可见，转捩点的位置与流体的粘性系数、密度、来流速度和临界雷诺数有关。文献 5 引用了米歇尔（ Michel ）基于实验提出的转捩点位置 X T 和相应的动量损失厚度之间的关系为（ 10.6
9、6 a ）参考文献 6 给出了经过改进的半经验公式（ 10.67b ）只要速度分布光滑和表面光滑，上式提供了确定转捩点位置的较好的方法。附面层概念的提出，可以将粘性流动的求解简化为求解附面层内的流动和附面层外边界的理想流动。要求解附面层内的详细流动细节，必须求解附面层微分方程。斜板上边界层上的速度分布10.6.1 层流附面层微分方由于附面层内的流动为粘性流动，因此应符合 方程，所以可以根据附面层的特点，将 方程简化得到附面层微分方程。为了简化推导，考虑二维不可压缩层流流动，取物面为 坐标轴，垂直于物面为 轴。如果忽略壁面曲率和质量力的影响，则连续方程和 可表示为（ 10.68 ）为了简化式（
10、10.68 ），对它进行无量纲化。根据附面层流动的特点，选取附面层外边界速度 、物体的特征长度 、附面层厚度 及密度 为特征量，对上式进行无量纲化，即令， ， （ 10.69 ）式中， 。将式（ 10.69 ）代入基本方程式（ 10.68 ）可得（ 10.70 ）上式中带“ ” 的物理量的数量级均为 1 ，因此各项的量级取决于相应的系数的量级。由于在附面层中 ，所以方程中带有 的项可以忽略。方程变为（ 10.71 ）利用式（ 10.69 ），可将上式还原为有量纲形式的方程，即（ 10.72 ）上式即为平面壁的二维不可压层流附面层方程。由上式的最后一个方程可以看出，对于直壁，沿垂直于壁面方向，压
11、强近似保持不变。即附面层内横向截面上的压强近似等于附面层外边界处的主流压强。因此在求解绕平面物体（或物面曲率半径比较大的物体）的流动时，第三个方程可以去掉 , 而压强可以用附面层外边界的压强代替 。因此，平面壁的二维不可压附面层方程为（ 10.73a ）（ 10.73b ）对于曲面物体，采用沿曲面壁方向作为 坐标轴， 轴与 坐标轴垂直并从壁面算起。采用正交曲线坐标系，并采用与上述同样的分析方法，考虑到物面的曲率半径为 ，经数量级分析后，得到曲线坐标系中的附面层方程为（ 10.74 ）由上式可以看出，对于曲壁的情况，由于壁面弯曲产生的离心力，使得横向的压强梯度不为零，显然这是由于壁面弯曲造成的。
12、求解附面层方程（ 10.73 ）或（ 10.74 ），必须根据具体问题提出相应的边界条件和初始条件。下面给出初始条件和附面层内外边界上的边界条件。初始条件：时， ， 边界条件：在物面上，满足无滑移条件，即 时， ；在附面层外边界，满足外边界条件，即 时， ， 是附面层外边界上的理想流体的速度，可以通过附面层外的无粘流动求出。10.6.2 湍流附面层微分方程对于二维不可压湍流附面层， 方程（ 10.68 ）中的动量方程中存在有湍流切应力的附加应力项，省略各时均化参数的记号，则有（ 10.75 ）经过数量级的分析，湍流附面层方程可以写成如下形式：（ 10.76 ）式中各物理量表示的是时均值。第七节
13、 附面层积分方程虽然附面层微分方程比较 有了很大的简化，但是要求解这一组偏微分方程，其计算工作量仍然很大，需要借助于计算机进行数值求解。求解附面层问题的另一种方法是附面层积分法。这种方法的基本思想是使流动参数在总体上满足附面层基本方程。在求解时，近似的给定一个只依赖于 x 坐标的单参数速度分布来代替附面层内真实的速度分布。解法的精确度取决于所选定的速度分布。10.7.1 附面层的动量积分方程附面层积分方程可以由两种方法导出，一种是将附面层微分方程在整个附面层厚度 的区间上积分，另一种是在附面层内取一微元段，运用基本方程。前者主要是从数学上推导，而后者的物理概念比较清楚。下面我们采用后一种推导方
14、法来得出附面层动量积分方程。图 10.8 给出了附面层内 流体沿某一壁面的流动。设流动为定常的平面不可压缩流动。在附面层中取一微元控制体 ABDCA ，其中 AB 和 CD 是垂直于壁面的两个控制面，相距为 dx ， BD 是壁面， AC 是附面层外边界。垂直于纸面控制体的宽度取单位宽度。对控制体运用动量定理。图 10.8 动量积分方程的推导下表给出了通过各控制面上的质量流量和相应的动量。表 10.3 通过控制面上的质量和动量在单位时间内通过 AB 面流入控制体的质量为（ AB 面）由 CD 面流出的流体质量可按泰勒级数的形式写为（ CD 面）单位时间内从 AC 面流入控制体的流体质量是 AB
15、 和 CD 面这两个流量的差值（ AC 面）在单位时间内通过 AB 面流入控制体的动量在 x 方向的投影为在单位时间内通过 CD 面流出控制体的动量在 x 方向的投影为在单位时间通过 AC 面流入控制体的动量在 x 方向的投影为需要强调一点，由于 dx 是无限小量，所以将 AC 边界上的流体速度都看作是 ，实际上， 是 的函数， 由壁面形状决定。在单位时间内，通过界面流出与流入控制体的动量的差值为进一步分析作用在控制体上的力。因为在附面层内 ，所以在 AB ， CD 面上的压强沿 y 方向没有变化，于是沿 x 方向作用在控制体上的力有如下几项：表 10.4 作用在控制体上沿 x 方向的力AB
16、面上 x 方向的作用力 CD 面上 AC 面上 BD 面上在上表中， AC 面上的压强取 A 点和 C 点的压强的平均值。 AC 面积在 x 方向的投影面积大小为 。符号为 表示壁面上的摩擦应力。 CD 和 BD 上的作用力方向与 x 方向相反 ，所以都带有负号。作用在控制体上沿 x 方向上的合力经过化简整理后得根据动量定理，作用在控制体上所有作用力的合力等于单位时间流出和流入控制体动量之差，即：即： （ 10.77 ）式（ 10.77 ）称附面层积分方程。该方程对于层流附面层和湍流附面层都适用。对于后一种情况，可直接将附面层连续和动量方程相加后沿附面层积分得到，积分时注意到在壁面上及附面层外
17、边界处湍流应力等于零。对不可压流，式（ 10.77 ）化为（ 10.78 ）式（ 10.78 ）右端的压强梯度可以根据附面层外边界的理想流动得出。根据柏努利方程对 x 求导后得 注意到 ，则（ 10.78 ）式右侧第一项写为a)式（ 10.78 ）左侧第二项，按两函数乘积的求导法则，有b)将 a) 、 b) 两式带入式（ 10.78 ）可得根据 和 的定义式，上式可进一步化成展开合并同类项，最后得到（ 10.79 ）式（ 10.79 ）即为附面层动量积分方程。在式（ 10.79 ）中，一共有四个未知数 、 、 和 ，其中， 是由理想流动计算获得，而 和 由 和 决定，因此方程尚有三个未知量 、
18、 和 。在求解式（ 10.79 ）时，通常补充附面层内速度分布 和壁面摩擦切应力 的表达式。10.7.2 速度分布在边界上应满足的边界条件用积分法求解附面层时，需要补充附面层内的速度分布。虽然所选定的速度分布不能精确地表示附面层内的流动，但是可以精确地满足边界条件。在附面层外边界上，粘性流可以近似地看作理想流体，因此在外边界上，它们的速度和各阶导数都相等，即时， （ 10.80 ）在壁面上，应满足无滑移条件，即 时（ 10.81 ）如果将此条件用于附面层动量积分方程则可得到另一个边界条件，即时 （ 10.82 ）再把动量方程对 y 求导，有根据连续方程和无滑移条件，又可得到一个边界条件，即 时
19、（ 10.83 ）只要选定的速度分别满足边界条件，则表明它在近物体表面和边界层外部附近都和真实速度分布接近。在附面层中间部分虽然可能有一定的误差，但是在应用积分法时，由于总体上满足动量积分方程，因此可以得到满足工程需要的结果。在上述边界条件中，无滑移条件（ 10.81 ）和压强梯度条件（ 10.82 ）反映了物面及物面形状对速度分布的影响，因此在附面层计算中，为了保证一定计算精度，应满足这些条件。10.7.3 不可压缩平板层流附面层计算有一直匀流速度为 ，密度为 流过如 图 10.7 所示的平板。假设平板的厚度 无限薄，平板 长度为 1 ，宽度为 b, 下面用上节介绍的附面层积分法对其进行求解
20、，求解的内容有：速度近似分布；附面层厚度；切应力；摩擦阻力系数等。根据假设，可以认为平板不影响附面层外的流动，仍然可以将附面层以外的流动看成是与平板平行的理想流动。于是，附面层外的流速 ，且沿平板 。将其代入动量积分关系式（ 10.79 ），则方程简化为（ 10.84 ）为了求解式（ 10.84 ），需要补充两个关系式，即附面层内的速度分布和壁面上的摩擦应力关系式。求速度分布的步骤为：首先假设速度分布为 的幂函数 ，即式中的待定系数 是未知的，它们必须由速度分布应遵循的边界条件确定。式中的幂次方 可根据具体要求选取。实验证明，取 ，即可与实验得到的速度分布曲线吻合很好，即式中的三个系数必须由三
21、个边界条件确定。这些边界条件是： 在物面上， ，代入上式，得 在附面层外边界上， ，可得 在附面层外边界上， ，可得 由以上各式，可以确定 。于是，速度分布为或 （ 10.85 ）需要补充的第二个关系式是牛顿内摩擦定律，它提供了 的关系式（ 10.86 ）利用补充方程（ 10.85 ）、（ 10.86 ）和动量积分方程（ 10.84 ），联立求解即可得到附面层内所需要的有关结果。由速度分布可求得动量损失厚度于是， （ 10.87 ）将（ 10.86 ）、（ 10.87 ）代入式（ 10.84 ）得整理上式后得积分为 故得附面层厚度随的 的变化关系为（ 10.88a ）或 （ 10.88b ）式
22、中， 是距平板前缘为 x 处的当地雷诺数。由上式可见，层流附面层厚度与 成正比，与当地雷诺数的平方根成反比。将 代回式（ 10.86 ），经化简后可得平板表面上的切应力分布为（ 10.89 ）当地摩擦阻力系数 定义为 ，将式（ 10.89 ）代入可得层流附面层的 ，即（ 10.90 ）作用在宽度为 b 的平板上表面的摩擦阻力，积分式（ 10.89 ），即（ 10.91 ）整个平板的上表面的摩擦阻力系数定义为（ 10.92 ）式中， 10.7.4 光滑平板不可压湍流附面层计算一般情况，如果绕物体的附面层不发生严重的脱体现象，曲壁附面层的摩擦阻力与平板情形相差不大，因此可以简化计算。一、光滑平板湍
23、流附面层当流动雷诺数足够大时，在靠近平板前缘一段是层流附面层，而靠近平板后一段是湍流附面层，下面讨论假设平板从前缘开始就是湍流附面层的情况。为了求解湍流附面层，根据普朗特的假设：沿平板的附面层流动与管流的情况没有显著的差别。因此对于充分发展的湍流，可以把管流看作一种附面层流动，其中附面层厚度已达到管道半径，管中心的最大速度 相当于附面层外边界的速度 。实验证明，当 时，平板湍流附面层的速度分布与管流的速度分布一致。切应力的关系也可采用圆管的结果。湍流流动的速度分布可以根据半经验的对数分布规律，也可以根据经验的幂次方的分布规律，现采用后者作为第一个补充方程，即（ 10.93 ）代入附面层动量损失
24、厚度的表达式可得故 （ 10.94 ）第二个补充方程为 的关系式。对于光滑圆管中的湍流流动，当 时，沿程损失系数（ 10.95 ）式中， ， 是平均速度，当用七分之一次方分布时，它与圆管轴线上的速度 的关系是 。当用圆管中的结果于附面层计算时，要用附面层厚度去代替管径，即 ：用附面层外边界上的速度 去代替 ，这样，应用壁面切应力 与 的关系，并应用式（ 10.95 ）就可得到 的表达式。（ 10.96 ）将式（ 10.94 ），（ 10.96 ）代入附面层积分关系式得简化后得到积分后得到附面层厚度随 的变化（ 10.97 ）或 应用式（ 10.96 ），（ 10.97 ），可以得到平板湍流附面
25、层当地摩擦系数为平板上部的摩擦阻力系数及摩擦阻力为其中，上面的公式是应用七分之一次方速度分布得出的结果，一般认为在 的范围内较合适，随着 的增加，偏差也增大。通常在 的范围内采用下列计算公式二、湍流附面层与层流附面层的比较湍流附面层与层流附面层在基本特性上有较大差别：（ 1 ）湍流附面层的速度分布曲线比层流速度分布曲线要饱满得多，附面层内流体平均动量比层流的大，因此不易分离；（ 2 ）湍流附面层的厚度比层流附面层的厚度增长的快，因为湍流附面层的 与 成正比，而层流附面层的 与 成正比，可见湍流附面层比层流附面层要厚得多；（ 3 ）对于湍流附面层来说，作用在平板上的摩擦阻力 与 及 成正比；对于
26、层流附面层来说，作用在平板上的摩擦阻力 与 及 成正比；因此，从减小摩擦阻力来看，层流附面层将优于湍流附面层。10.7.5 光滑平板混合附面层计算在高雷诺数的情况下，绕物体流动的附面层往往是混合附面层，即从平板前缘开始先是一段层流附面层，经过过度段再变为湍流附面层如图 10.9 所示。在计算中忽略过渡段，即认为从转捩点开始，都是湍流附面层，混合附面层的摩擦阻力计算方法如下：图 10.9 高雷诺数的情况下混合附面层令 表示平板总长度；表示平板上层流附面层长度；表示从前缘开始平板上全为湍流附面层时的摩擦阻力系数；表示 段上为湍流附面层的摩擦阻力系数；表示 段上层流附面层的摩擦阻力系数；表示混合附面层的摩擦阻力系数。它们之间的关系为故 又 ， 因此式中， 当 很大时，以上几节讨论了压强梯度为零（平板）的情况，对于有压强梯度时的曲壁附面层计算可参看粘性流体力学的教材及有关文献。
