第四部分 万有引力与运用.doc

1、高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 1 页第四部分 万有引力与运用知识要点梳理知识点一开普勒行星运动定律知识梳理1开普勒第一定律所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。2开普勒第二定律对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。3开普勒第三定律所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。若用 a 表示椭圆轨道的半长轴，T 表示公转周期，则 （k 是一个与行星无关的常量）。疑难导析1开普勒

2、第一定律告诉我们行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在它的一个焦点上由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道 ，而 k 值只与太阳有关，与行星无关。2开普勒定律的应用（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为；（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为 ，这时 由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的中心星球运行时， 中的 值是不同的。高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运

3、用 第 2 页（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。1、关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：（ ）A所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处C离太阳越近的行星的运动周期越长D所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等答案：D解析：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在一个焦点上，但并非在同一个椭圆上，故 A、B 错。由第三定律知离太阳越近的行星运动周期越小，故 C 错、D 正确。知识点二万有引力定律知识梳理1内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量的乘积

4、成正比，与它们之间距离的平方成反比。2公式为万有引力常量， 。3适用条件公式适用于质点间万有引力大小的计算。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。另外，公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计算，只不过 r 应是两球心间的距离。4万有引力的特点（1）普适性：不但存在于行星和太阳之间，也适合于宇宙中的任何天体，但地球上一般物体之间，由于质量很小，所以人们很难感受或观察到。（2）相互性：两物体间相互作用的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反。（3）宏观性：通常情况下，万有引力很小，只有在质量巨大的天体间，其存在才有宏观物理意义。疑难导析1重力和万有引力重力是地面附

5、近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。如图所示， 产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于 ，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 3 页速度从赤道到两极逐渐增大；但 一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即 常用来计算星球表面的重力加速度。在地球同一纬度处，g 随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即 。说明： 和 不仅适用于地球也适用于其他星球。在赤道处，物体的 分

6、解的两个分力 和 mg 刚好在一条直线上，则有 。2万有引力定律是牛顿分析行星的运动学和动力学规律应用开普勒第三定律和科学推理得出的，并且进行了月地检验。2、对于质量为 和 的两个物体间的万有引力的表达式 ，下列说法正确的是：（ ）A公式中的 G 是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的B当两物体间的距离 r 趋于零时，万有引力趋于无穷大C 和 所受引力大小总是相等的D两个物体间的引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力答案：AC解析：由基本概念、万有引力定律及其适用条件逐项判断。引力常量 G 值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项 A 正确

7、。万有引力表达式只适用于质点间的作用，当 r 趋于零时任何物体都不能再视为质点，公式不成立，此时两物体间的作用力并非无穷大，故 B 错误。两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项 C 正确、D 错误。知识点三应用万有引力定律分析天体的运动知识梳理1基本方法高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 4 页把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供公式为解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。2天体质量 M、密度 的计算测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T，由

8、得为中心天体的半径）当卫星沿中心天体表面绕天体运动时， ，则 。3天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径 r 的关系（1）由 得 ，所以 r 越大，v 越小；（2）由 得 ，所以 r 越大， 越小；（3）由 得 ，所以 r 越大，T 越大。疑难导析1应用万有引力定律列式的思路与技巧应用万有引力定律列式时牵涉到三项；万有引力 、重力 G、向心力 ，就问题不同选取其中两项组成等式列方程。选取哪两项组成方程，是解决问题的关键。一般情况下，凡是牵涉（已知或求）中心天体质量、密度等物质量时，用万有引力 一项；凡是牵涉物体重力加速度时，用重力 G 一项，表达式为 Gmg，g 应为天体（如卫星、

9、宇宙飞船等）所在处的重力加速度；凡是牵涉天体做圆周运动的周期 T、角速度 、线速度 v、向心加速度 a 等运动学量时用向心力 一项，这一项表达形式多样，高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 5 页，解题时选用要准确，公式不能写错三项中选准两项组建方程，解决问题就方便了。另外注意的应是明确各物理量的意义，不能含糊不清，甚至乱套公式。2黄金代换式 的运用在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为 ，且有 。即用地球半径的平方与重力加速度的乘积代替地球质量与万有引力常量的乘积，这是一个常用的变换式。在应用万有引力定律分析天体运

10、动问题时，常把天体的运动近似看成是做匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供，即,这样一来，我们便可以应用变换式 来分析讨论天体的运动。3天体质量的几种计算方法（以地球质量 M 为例）（1）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r。由 得 。（2）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度 v 和半径 r。由 得 。（3）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度 v 和周期 T。由 及 得 。（4）若已知地球半径 R 及表面的重力加速度 g。由 得 。3、从地球上观测到太阳的直径对地球的张角为 ，引力恒量，每年按 365 天计算，试求：（1）估算出太阳的平均密度；（2）如果太阳密

11、度与地球密度之比为 0.3，估算地球的半径。高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 6 页解析：（1） ，又 ，太阳的平均密度（2） ， 联立方程并将 代入，得地球的半径 km。知识点四宇宙航行 人造地球卫星知识梳理1宇宙速度（1）第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，又称环绕速度。（R 为地球半径），所以 7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度。（2）第二宇宙速度（脱离速度）： =11.2 km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。（3）第三宇宙速度（逃逸速

12、度）： =16.7 km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。2近地卫星近地卫星其轨道半径 r 近似地等于地球半径 R，其运动速度 7.9 km/s,是所有卫星的最大绕行速度；运行周期 T=85 min，是所有卫星的最小周期；向心加速度 a=g=9.8是所有卫星的最大加速度。3地球同步卫星地球同步卫星，是指位于赤道平面内相对于地面静止的，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的人造地球卫星，因为同步卫星主要用于通信等方面，故同步卫星又叫通信卫星。（1）同步卫星具有以下特点：周期一定：同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运高考综合复习曲线运动与万有引力复习专

13、题第四部分 万有引力与运用 第 7 页动周期就等于地球自转的周期，即 T=24 h。角速度一定：同步卫星绕地球运行的角速度等于地球自转的角速度。轨道一定：由于同步卫星绕地球的运动与地球的自转同步，这就决定了同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行。又由于同步卫星绕地球运动的向心力是地球对卫星的万有引力，这又决定了同步卫星做圆周运动的圆心为地心。所以，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。如图所示，假设卫星在轨道 B 上跟着地球的自转同步地做匀速圆周运动，卫星运动的向心力由地球对它的引力 的一个分力 提供，由于另一个分力 的作用将使卫星轨道靠向赤道故只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。由 得

14、 （T 为地球自转周期，M、R 为地球质量、半径）代入数值得 m。即：同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为km。环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是 3.08 km/s。向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相同，约为 0.22 。由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件：a.卫星运动周期和地球自转相同（T=24 h= s），运动方向相同。b.卫星的运行轨道在地球的赤道平面内。c.卫星距地面高度有确定值（ m）。（2）同步卫星发射变轨道发射发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发

15、射方法，而是采用变轨道发射高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 8 页（如图）。首先，利用第一级火箭将卫星送到 180 km200 km 的高空，然后依靠惯性进入停泊轨道（A）。当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B），且轨道的远地点（D）为 35 800 km。当到达远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道（C）。这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求较低；二是发射场的位置不局限在赤道上。运行时，所具有的机械能越大，把卫星发射到离地球越远的轨道，在地面应具有的初动能越大，即发射速度越大。疑难导析1物体随地球自

16、转的向心加速度与环绕地球运行的公转向心加速度放于地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力的分力提供的；而环绕地球运行的卫星所需的向心力由地球对它的全部引力提供。两个向心力的数值相差很多，如质量为1kg 的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有 0.034 N，而它所受地球引力约为 9.8 N。对应的两个向心加速度的计算方法也不同：物体随地球自转的向心加速度 ，式中 T 为地球自转周期， 为地表物体到地轴的距离；卫星环绕地球运行的向心加速度 ，式中 M 为地球质量，r 为卫星与地心的距离。2卫星的“超重”和“失重”“超重”：卫星进入轨道前的加速过程，卫星上物体“超重”，此种情况与“升

17、降机”中物体超重相同。“失重”：卫星进入轨道后，正常运转，卫星上物体完全“失重”（因为重力提供向心力），因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用。因失重故浮力不再有，水中的气泡不再上浮，体重计不能使用，但弹簧秤仍可使用，因其利用的胡克定律与重力无关，但不能用弹簧秤来测量重力了。3运行速度与发射速度对于人造地球卫星，由 得 ，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 9 页力做功，增大势能，且卫星在半径较大的轨道与在半径较小的轨道上正常运行时

18、相比，增大的势能大于减小的动能，所以卫星在半径较大的轨道上运行时具有的机械能较大，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度越大。由 ，第一宇宙速度是把卫星送出地球的最小发射速度，也是卫星环绕地球运行的最大线速度。4直线运动的“追及”与航天器的“对接”有何不同？对地面物体的直线运动而言，当两个运动物体发生追赶运动时，只要“追赶物体”的速度大于“被追物体”的速度时即可追赶成功。且追赶成功时必有“追赶物体”与“被追物体”相对于同一起点的位移相同。这是“追及问题”的必备条件。对于航天飞机与宇宙空间站的“对接”，其实际上就是两个匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是人造天体的变轨运行

19、问题。要使航天飞机与宇宙空间站成功“对接”，必须让航天飞机在较低轨道上加速，通过速度 v的增大所需向心力 增大 离心运动轨道半径 r 增大升高轨道，一系列变速、变轨过程而完成航天飞机与宇宙空间站的成功对接。图是航天飞机与宇宙空间站的对接轨道示意图。其中轨道 1 是地球卫星的一个环绕轨道（圆形轨道），轨道 3 是宇宙空间站的运行轨道，轨道 2 是一个长轴的两端点 Q、P 分别相切于轨道 1 与轨道 3 的椭圆轨道。航天飞机只有从预定的环形轨道1 上的 Q 点，以一定的速度和加速度沿轨道 2 的半个椭圆轨道运动，才能恰好在轨道 3 上的 P 点与宇宙空间站实现“对接”。4、关于人造地球卫星和第一宇

20、宙速度，下列说法正确的是：（ ）第一宇宙速度是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度第一宇宙速度是发射人造卫星所需的最小速度卫星离地面越高，运动速度越大，周期越小同一轨道上的人造卫星，质量越大，向心加速度越大A B C D答案：A解析：第一宇宙速度是所有地球卫星的最大绕行速度，是最小发射速度，卫星离地面越高，运动速度越小，周期越大，同一轨道上的卫星其向心加速度 与卫星质量无关。综上所述只有 A 项正确。典型例题透析高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 10 页题型 1 天体质量、密度的计算（1）天体的运动认为是匀速圆周运动。（2）求解天体的质量：我们只能求中心天体

21、的质量，找一个绕行体，只要知道绕行体的线速度、角速度、周期中的一个量及其轨道半径，即可求中心天体的质量。（3）求解天体的密度：当求出天体的质量后，再求出天体的体积即可，其体积 ，计算时要注意 r 和 R 的区别，r 一般指绕行体的轨道半径，R 指中心天体自身的半径，只有当绕行体在中心天体表面做圆周运动时才有 r=R。5、已知万有引力常量 G，地球半径 R，月球和地球之间的距离 r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期 ，地球的自转周期 ，地球表面的重力加速度 g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量 M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由 得 。（1）请判断上面的结果是否正确，并

22、说明理由。如果不正确，请给出正确的解法和结果。（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。思路点拨：本题主要考查怎样利用万有引力定律来估算天体的质量。解决本题的关键在于对天体或卫星的运动进行正确的分析。解析：（1）上面结果是错误的，地球的半径 R 在计算过程中不能忽略。正确的解法和结果：由 ，得（2）方法一：对月球绕地球做圆周运动，由 ，得 。方法二：在地面重力近似等于万有引力，由 ，得 。总结升华：解决天体运动问题的一条主线就是利用万有引力等于向心力，向心力公式可根据需要采用不同的表达式。再以黄金代换作为辅助。变式练习【变式】火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程

23、之后又一个重大太空探索项目假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为 T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为 T2，火星质量与地球质量之比为 p ，火星半径与地球半径之比为 q，则 T1与 T2之比为 ( )高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 11 页A. B. C. D.pq31pq3 pq3 q3p解析 本题考查了天体运动有关物理量的计算解好本 题 要注意两个方面的问题一是要熟记天体运动的有关公式，二是要注意利用比例式进行计算：万有引力提供向心力： mR ，所以 T2 ，因此( )2 .所以 ，因此 D 正确GMmR2 42T2 R3M T1

24、T2 R13R23 M2M1 q3p T1T2 q3p题型 2 比较分析卫星运行的轨道参量问题（1）卫星（或行星）运行时做匀速圆周运动要牢记，万有引力提供向心力这一基本关系。由 根据题目已知条件灵活选用一种表达式，要注意 只与 r 有关。同一轨道上的卫星 大小是相同的，不同轨道上的卫星可列比例式分析计算。（2）人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系：6、土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒 A 和 B 与土星中心距离分别位 km 和 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）（1）求岩石颗粒 A 和 B 的线速度之比

25、。（2）求岩石颗粒 A 和 B 的周期之比。（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为 10N，推算出他在距土星中心 km 处受到土星的引力为 0.38N。已知地球半径为 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？思路点拨：根据万有引力提供向心力。向心力公式选择有线速度的、周期的公式求比可得（1）、（2）两问。根据万有引力公式及万有引力和重力的关系可得（3）问。解析：高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 12 页（1）设土星质量为 ，颗粒质量为 m，颗粒距土星中心距离为 r，线速度为 v，根据牛顿第二定律和万有引力定律 解得 。对于 A、B 两颗粒分别有 和 ，得 （

26、2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为 T，则 对于 A、B 两颗粒分别有 和 得 （3）设地球质量为 M，地球半径为 ，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为 ，在地球表面重力为 ，距土星中心 = km 处的引力为 ，根据万有引力定律 由得： （倍）。总结升华：本题考查考生对天体运动基本规律的认识和理解，考查理解能力，推理能力和应用数学处理物理问题的能力。根据所学的基本知识和基本规律即可解决。变式练习【变式】最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用时间为 1 200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的 100 倍，假设该行星绕恒星运行的轨

27、道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有：（ ）A恒星质量和太阳质量之比 B恒星密度和太阳密度之比C行星质量与地球质量之比 D行星运行速度与地球公转速度之比答案：AD高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 13 页解析：由天体运动的受力特点：可得中心天体的质量表达式：进一步可得恒星质量与太阳质量之比：由周期和速度的关系： 可得行星运行速度与地球公转速度之比：故选项 A、D 正确。题型 3 双星问题解决双星模型的问题时，应注意以下几点：其一，两星之间的万有引力提供各自需要的向心力；其二，两星绕某一点做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三，两

28、星的轨道半径之和等于两星间的距离。7、神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了 LMCX3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期。（1）可见得 A 所受暗星 B 的引力 可等效为位于 O 点处质量为 的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 、 。试求 （用 、 表示）；（2）求暗星 B 的质量

29、 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 之间的关系式；思路点拨：根据双星的特征判断出 A 和 B 具有相同的角速度和周期，再根据万有引力提供向高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 14 页心力列式分析。解析：（1）设 A、B 的轨道半径分别为 ，它们做圆周运动的周期 T、角速度 都相同，根据牛顿运动定律有 即A、B 之间的距离根据万有引力定律得（2）对可见星 A 有其中得：总结升华：此类题目容易错误地认为引力距离与运行半径相同，或认为 A、B 两星的轨道半径相等，等于引力距离的一半。出现这些错误的原因，主要是没有建立正确地运动模型。变式练习【变式】如图所

30、示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L.已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和 B 分别在 O 的两侧引力常数为 G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行的周期为 T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为 T2.已知地球和月球的质量分别为 5.981024kg 和 7.351022 kg.求 T2 与 T1 两者平方之比(结果保留 3 位小数)高考综合

31、复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 15 页解析 (1)设两个星球 A 和 B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为 r 和 R，相互作用的引力大小为 f，运动周期为 T.根据万有引力定律有 fG MmR r2由匀速圆周运动的规律得 f m( )2r2TfM( )2R2T由题意有 LRr联立得 T2 L3GM m(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心 O 不在地心，月球做圆周运动的周期可由式得出T12 L3GM m式中，M 和 m分别是地球与月球的质量， L是地心与月心之间的距离，若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G m( )LMmL2 2T2式中

32、，T 2 为月球绕地心运动的周期由式得 T22 L3GM由式得，( )21 T2T1 mM代入题给数据得( )21.012T2T1题型 4 万有引力定律与抛体运动知识的综合应用星球表面的重力加速度一方面与星球有关（ ），另一方面又可以从它与运动的关系（平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动）中求出重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。8、宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间 t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L，若抛出时的初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点间的距离为 L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，引力常量为 G，

33、求该星球的质量 M 和密度 。思路点拨：在其他星球表面上做平抛运动，与地球上的平抛运动具有相同的运动规律，所以运用相同的分析方法，要注意两处的重力加速度不同。解析：此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度。高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 16 页根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为设初始平抛小球的初速度为 v，则水平位移为 x=vt。有 当以 2v 的速度平抛小球时，水平位移为 。所以有在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有 mg=G联立以上三

34、个方程解得而天体的体积为 ，由密度公式 得天体的密度为 。总结升华：本题属于万有引力与抛体运动的题目，应抓住关键切入点即抛体运动的加速度就是天体表面的重力加速度，而后根据抛体运动规律运动的合成与分解，分两个方向分别研究，同时要注意结合万有引力定律求出该天体表面的重力加速度。变式练习【变式】在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为 h，速度方向是水平的，速度大小为 ，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为 r，周期为 T。火星可视为半径为 的均匀

35、球体。解析：以 表示火星表面附近的重力加速度，M 表示火星的质量，m 表示火星的卫星的质量，表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有 设 v 表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为 ，水平分量仍为，有 高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 17 页由以上各式解得 。题型 5 卫星的变轨问题卫星绕地球稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由 G ，得，由此可知，轨道半径 r 越大，卫星的线速度 v 越小，当卫星由于某种原因速度 v突然改变时，受到的万有引力 G 和需要的向心力 不再相等，卫星将偏离原轨道运动。当 G 时

36、，卫星做近心运动，其轨道半径 r 变小，由于万有引力做功，因而速度 v 越来越大。反之，当 G 时，卫星做离心运动，其半径 r 越来越大，速度 v 越来越小。9、我国于 2010 年发射的“嫦娥二号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测已知地球与月球的质量之比为 a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为 b，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则( )A卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为abB卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为baC卫星在停

37、泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度D卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道，卫星必须加速解析 根据 G m 得 v ，卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为mMr2 v2r GMr ，A 项正确；根据 T 2r ，卫星在停泊轨道和工作轨道运行v1v2 M1M2r2r1 ab 2rv rGM高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 18 页的周期之比为 b ，B 错误；由 v 知 r 越大，v 越小，卫星停泊轨T1T2 r1r2M2M1r1r2 ba GMr道运行的速度小于地球的第一宇宙速度，C 项错；卫星从停泊轨道轨移到地月转移轨道，要远离地球卫星必须加速才能做离心运

38、动，故 D项正确变式练习【变式】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3，轨道 l、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于P 点，如图所示，当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（ ） A卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率B卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度C卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度D卫星在圆轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度答案：BD解析：在卫星绕地球

39、做匀速圆周运动的问题中，应明确轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小，而要想使卫星从低轨道上升至较高的轨道，则必须提供卫星更多的动能。高轨道和低轨道上的动能差用于克服引力做功，卫星在运行过程中的加速度的值应该用 来计算。注意题中 P 点为 2、3 轨道的切点，Q 点为 1、2 轨道的切点，“相切”隐含着两轨道在切点有瞬时相同的轨道半径，再结合 。由上述分析可判断 B、D 选项正确题型 6 同步卫星类问题10：设同步卫星离地心的距离为 r，运行速率为 v1，加速度为 a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2，第一宇宙速度为 v2，地球的半径为 R，则下列比值正确的是( )A.

40、B. C. D. v1v2 rR a1a2 rR a1a2 R2r2 v1v2 rR解析 同步卫星与地球自转的角速度相同，由向心加速度公式 a 2r，可得 a1a2，B 正确，C 错误；第一宇宙速度是在地球表面附近做匀速圆周运动的卫星具有的速rR度，计算方法和同步卫星的运行速率计算方法相同，即万有引力提供向心力，由牛顿第高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题第四部分 万有引力与运用 第 19 页二定律得 G m ，G m ，解得 ，A 、 D 错误Mmr2 v12r MmR2 v22R v1v2 Rr变式：人造地球卫星可在高度不同的轨道上运转，已知地球质量为 M、半径为 R、表面重力加速度为

41、g，万有引力恒量为 G，则下述关于人造地球卫星的判断正确的是( )A各国发射的所有人造地球卫星的运行速度都不超过 vmGMRB各国发射的所有人造地球卫星的运行周期都应小于 Tm2RgC若卫星轨道为圆形，则该圆形的圆心必定与地心重合D地球同步卫星可相对地面静止在广州的正上空解析 卫星做匀速圆周运动需要的向心力由万有引力提供，即 G m ，解Mmr2 v2r得 v ，可见，当 rR 时，人造地球卫星的运行速度 v 最大，即 vm ，故 AGMr GMR正确；由 G m( )2r 得 T ，可见，r 越小，卫星的运行周期越小，当Mmr2 2T 42r3GMrR 时，G mgm( )2R，解得 Tmin2 ，故 B 错误；Mmr2 2Tmin Rg所有的人造卫星均围绕地心运行，若轨道为圆形，则该圆形的圆心必定与地心重合，故 C 正确；所有的地球同步卫星均相对静止在赤道正上空，故 D 错误.