1、第四章 线性规划的对偶理论,4.1 对偶问题 4.2 对偶问题的基本性质 4.3 对偶问题的解 4.4 影子价格 4.5 对偶单纯形法,4.1 对偶问题,(1) 对偶问题的提出,对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？,引例俩家具制造商间的对话：,唉!我想租您的木工和油漆工一用。咋样？价格嘛好说，肯定不会让您兄弟吃亏。,王老板做家具赚了大钱，可惜我老李有高科技产品，却苦于没有足够的木工和油漆工咋办
2、？只有租咯。,Hi：王老板，听说近来家具生意好惨了，也帮帮兄弟我哦!,家具生意还真赚钱，但是现在的手机生意这么好，不如干脆把我的木工和油漆工租给他，又能收租金又可做生意。,价格嘛好商量， 好商量。只是.,王 老 板,李 老 板,王老板的家具生产模型： x1 、 x2是桌、椅生产量。 Z是家具销售总收入（总利润）。 max Z = 50x1 + 30x2 s.t. 4x1+3x2 120（木工） 2x1+ x2 50 （油漆工）x1，x2 0 原始线性规划问题，记为（P）,王老板的资源出租模型： y1、 y2单位木、漆工出租价格。 W是资源出租租金总收入。 min W =120y1 + 50y2
3、 s.t. 4y1+2y2 503y1+ y2 30y1，y2 0 对偶线性规划问题，记为（D）,所得不得低于生产的获利 要使对方能够接受,两个原则,王老板按（D）的解 y1 、y2出租其拥有的木、漆工资源，既保证了自己不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又使得出租价格对李老板有极大的吸引力（李老板所付出的总租金W最少）。,按时下最流行的一个词，叫什么来着,设三种资源的使用单价分别为 y1 , y2 , y3,y1y2 y3,生产单位产品A的资源消耗所得不少于单位产品A的获利,生产单位产品B的资源消耗所得不少于单位产品B的获利,y1 +3 y2 40,2y1 + 2 y2
4、 + 2y3 50,例1,通过使用所有资源对外加工所获得的收益,W = 30y1 + 60 y2 + 24y3,根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此此问题可归结为以下数学模型：,Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3,y1 + 3y2 40 2y1 + 2 y2 + 2y3 50 y1 , y2 , y3 0,s.t,目标函数,约束条件,原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3为对偶变量，也称为影子价格,(2) 对偶问题的形式,定义 设原线性规划问题为 则称下列线性规划问题,为其对偶问题，其中yi (i=1,2,m) 称为对偶变量。
5、,上述对偶问题称为对称型对偶问题。,原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D),原始问题 Max Z=CX s.t. AXbX 0,b,A,C,Max,n,m,对偶问题 Min W=Yb s.t. YATCY 0,Min,CT,AT,bT,n,m,例2：求线性规划问题的对偶规划,解：由原问题的结构可知为对称型对偶问题,例3：求线性规划问题的对偶规划,解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题，可先化为对称型，再求其对偶规划。,例4：求线性规划问题的对偶规划,解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题，可先化为对称型，再求其对偶规划。,上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶规划,令,则上式化为,对偶
6、关系对应表,原问题 对偶问题 目标函数类型 Max Min 目标函数系数 目标函数系数 右边项系数 与右边项的对应关系 右边项系数 目标函数系数 变量数与约束数 变量数n 约束数 n 的对应关系 约束数m 变量数m 原问题变量类型与 0 对偶问题约束类型 变量 0 约束 的对应关系 无限制 原问题约束类型与 0 对偶问题变量类型 约束 变量 0 的对应关系 无限制,4.2 对偶问题的基本性质,对偶的定义,对偶的定义,定理4(主对偶定理) 若一对对偶问题(P)和(D)都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。,证明：,(1) 当X*和Y*为原问题和对偶问题的一个可行解,有,原问题目
7、标函数值,对偶问题目标函数值,所以原问题的目标函数值有上界，即可找到有限最优解；对偶问题有下界，也存在有限最优解。,(2) 当X*为原问题的一个最优解，B为相应的最优基,通过引入松弛变量Xs,将问题(P)转化为标准型,令,令,所以Y*是对偶问题的可行解，对偶问题的目标函数值为,X*是原问题的最优解，原问题的目标函数值为,推论： 若一对对偶问题中的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等。,一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 都有最优解，且目标函数最优值相等； 两个都无可行解； 一个问题无界，则另一问题无可行解。,证: (必要性）,原问题 对偶问题,Max Z=CX s.t
8、. AX+XS=bX, XS 0,Min W=Yb s.t. ATY-YS=CW, WS 0,XTYS=0 YTXS=0,m,n,=,Y,YS,AT,-I,C,n,=,A,XS,I,b,n,m,m,X,原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数,y1 yi ym ym+1 ym+j yn+m,x1 xj xn xn+1 xn+i xn+m,对偶问题的变量 对偶问题的松弛变量,原始问题的变量 原始问题的松弛变量,xjym+j=0 yixn+i=0 (i=1,2,m; j=1,2,n) 在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0,4.3 对偶问题的解,令,设原问题为,为原问题的一最优解,则,为对偶
9、问题,的一最优解,例1 Max Z=40X1+ 50X2,X1+2X2 30 3X1+2X2 602X2 24X1 , X2 0,s.t,y1 y2 y3,Min W = 30y1+ 60y2 + 24y3,y1+3y2 + 0y3 40 2y1+2y2 + 2y3 50y1 , y2 , y3 0,s.t,Max W = -30y1- 60y2 - 24y3,y1+3y2 + 0y3 y4 = 40 2y1+2y2 + 2y3 y5 = 50y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0,s.t,Max W = -30y1- 60y2 - 24y3 +0(y4 + y5 )-M (y6 +
10、 y7 ),y1+3y2 + 0y3 y4 + y6 = 40 2y1+2y2 + 2y3 y5 + y7 = 50y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0,s.t,例1、Max Z=40X1+ 50X2,X1+2X2 30 3X1+2X2 602X2 24X1 , X2 0,s.t,X1+2X2 +X3 = 30 3X1+2X2 +X4 =602X2 +X5 = 24X1 X5 0,s.t,例3,解：,(P),单位产品消耗的资源(吨/件),4.4 影子价格,(1) 原始问题是利润最大化的生产计划问题,总利润(元),产品产量(件),单位产品的利润(元/件),消耗的资源(吨),剩余的资源
11、(吨),资源限量(吨),(2) 对偶问题,对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、.、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）,原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 Max z=Min w,总利润(元),资源限量(吨),资源价格(元/吨),(3) 资源影子价格的性质,影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于0,0,X2,X1,X= (15,7.5) Z=975,X= (15.5,7.25) Z=982.5,X= (14.5,8.25) Z=992.5,y1 y2ym,(
12、4) 产品的机会成本,机会成本 表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润,增加单位资源可以增加的利润,减少一件产品可以节省的资源,机会成本,利润,差额成本,(5) 产品的差额成本（Reduced Cost）,差额成本=机会成本 - 利润,(6) 互补松弛关系的经济解释,在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产,4.5 对偶单纯形法,定义：设A=(B N)，其中B是一个非奇异的m m阶方阵，对应地C=(CB CN)，则YB=CB的解Y*=CBB-1称为对偶问题(D
13、)的一个基本解；若Y*还满足Y*NCN，则称Y*为(D)的一个基可行解；若有Y*NCN，则称Y*为非退化的基可行解，否则称为退化的基可行解。,(1) 对偶单纯形法的基本原理,定义：如果原问题(P)的一个基本解X与对偶问题(D)的基可行解Y对应的检验数向量满足条件则称X为原问题(P)的一个正则解。,原问题(P)的正则解X与对偶问题(D)的基可行解Y一一对应,原问题(P)的基本解X与对偶问题(D)的基本解Y一一对应,原问题(P)的最优解X*与对偶问题(D)的最优解Y*一一对应,原问题解空间,对偶问题解空间,可行解,可行解,基本解,基本解,正则解,正则解,基可行解,基可行解,最优解,对偶单纯形法的基
14、本思想,从原规划的一个基本解出发，此基本解不一定可行(正则解)，但它对应着一个对偶基可行解（检验数非正），所以也可以说是从一个对偶基可行解出发；然后检验原规划的正则解是否可行，即是否有负的分量，如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个正则解，此正则解对应着另一个对偶基可行解（检验数非正）。 如果得到的正则解的分量皆非负则该正则解为最优解。也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行性（即检验数非正），使原规划的正则解由不可行逐步变为可行，当同时得到对偶规划与原规划的可行解时，便得到原规划的最优解。,(2) 对偶单纯形法的迭代步骤,建立初始对偶单纯形表,对应一个基本解,所有检验数均非正,转2； 若b0,则得到最优解,停止;否则,若有bk0则选k行的基变量为出基变量,转3 若所有akj0( j = 1,2,n )，则原问题无可行解,停止;否则,若有akj0 则选=minj / akjakj0=r/akr那么xr为进基变量,转4； 以akr为主元,作矩阵行变换使其变为1,该列其他元变为0,转2。,例,例,例,第四章作业 1（选2）、2、4、6、8、9（选2）,补充例题,
