1、第四章 对偶问题,对偶问题的一般形式 对偶问题的经济意义 对偶性质 对偶单纯形法 对偶单纯形法的解题原理,一、对偶问题的一般形式,若设一线性规划问题如下 ：,（A）,则以下线性规划问题：,（B）称为原问题（A）的对偶线性规划问题，或称A、B互为对偶问题。,如果采用向量、矩阵来表示,（A）,（B）,其中：,可以将以上关系列成以下对偶表：,例,写出下列线性规划问题的对偶问题,解：,可以将原问题的有关参数列成下表, 对偶规划问题为,比较,以上我们介绍的对偶问题是严格定义的对偶问题，也成为对称对偶问题 。 它满足两个条件：,两个条件：,1、所有变量非负：即X0，Y0 2、约束条件均为同向不等式。若原问
2、题约束条件均为“”，则它的对偶问题的约束条件都是“”。当原问题的约束条件的符号不完全相同时，也存在对偶问题，这种对偶问题称为非对称对偶问题。,例,分析： 为求对偶问题，可先做过渡，将问题对称化：,对称化,则，原问题变为,（A）,（A）,则（A）的对偶问题如下：,（B）,（A）,对比结果,以上对偶问题（B）并非原问题（A）的对偶问题，它是线性规划问题（A）的对偶问题。,（A）,（B）,调整,对照问题B目标函数系数的符号与原问题A中约束条件右端常数项的符号，可做以下调整： 令y1=y1，y2=-y2，y3=y4-y3,令y1=y1，y2=-y2，y3=y4-y3 则得到以下对偶问题,（B）,（B）
3、,合并,（B）,比较,对于任何一个线性规划问题，我们都可以求出它的对偶问题。,（A）,（B）,原问题与对偶问题的相应关系,例：写出下列问题的对偶形式：,解：,例：写出下列问题的对偶问题,解：,二、对偶问题的经济意义：,若原规划问题是“在一定条件下，使工作或成果（产品产量、利润等）尽可能的大”， 那么它的对偶问题就是“在另外一些条件下，使工作的消耗（浪费、成本等）尽可能的小”。 实际上是一个问题的两个方面。,例：某产品计划问题的 线性规划数学模型为,假设生产部门根据市场变化，决定停止生产甲、乙产品，而将原有的原料、设备专用于接受外来订货以生产市场急需的紧俏商品，则需要考虑决策的问题就是“在什么样
4、的价格条件下，才能接受外来订货？”。问题的实质就是如何确定原料、设备的收费标准？,分析,若设y1为单位原材料的价格，y2为设备单位台时价格，由于用了3个单位原料和5个单位设备台时就可以生产一个单位甲产品而获利2个单位，现在不生产甲产品，转而接受外来订货加工，则收取的费用不能低于2个单位，否则自己生产甲产品更有利。因此，可以得到下面的条件：,分析,同理，将生产乙产品的原料和设备工时用于接受外来加工订货，收取的费用不能低于乙产品的单位利润1个单位：,分析,另外，为了争取外来加工订货，在满足上述要求的基础上，收费标准应尽可能低从而具有竞争力，因此总的收费 w=15y1+10y2 应极小化。这样，就得
5、到一个目标函数：,这样，就得到另一个线性规划模型：,比较,生产问题 （要利用资源）,资源利用问题 （会影响生产）,第二节 对偶理论,定理1（对称性定理）,对偶问题（B）的对偶规划为线性规划（A）对称性定理是很重要的。它表明原规划问题（A）和对偶规划问题（B）是互为对偶的。也就是说，如果（B）是（A）的对偶，那么（A）也是（B）的对偶。这就为以后的讨论带来方便。不难理解，如果当A具有某种性质时可以推出B的某些性质，于是可以无需另加证明地得到：当B具有某种性质时，问题A也具有那些性质。,定理2（弱对偶定理）,当原问题A是求最大值max，而对偶问题是求最小值时，如果X0是原问题的任意可行解，Y0是对
6、偶问题的任意可行解，则有以下关系式成立：,定理3（最优性定理）,设 和 分别是问题A和B的可行解，若相应于 和 ，A和B的目标函数值相等，即 ，则 和 分别是A和B的最优解。,定理4（无界性定理）,如果原问题A的目标函数值无界，则对偶问题B无可行解；如果对偶问题B的目标函数值无界，则原问题A无可行解。,以上三个定理可以这样记忆,原问题A和对偶问题B如果有可行解，则它们的可行解区域只可能相接，不可能相交。两个区域的交界线即是它们的最优解，如果原问题A的目标函数无界，意味着可行解区域无界，向外扩张，挤占了对偶问题B的可行解区域，则对偶问题无可行解，反之同理可说明。,对偶问题(B) minW,原问题
7、(A) maxZ,y0b,cx0,定理5（强对偶定理）,若线性规划A存在最优解，则对偶规划B也存在最优解，并且它们的最优值相等；相反地，若规划B存在最优解，则规划A也存在最优解，并且它们的最优值相等。,定理6（存在性定理）,若线性规划A和B都存在可行解，则A和B都存在最优解。,第三节 对偶单纯形法,条件： b列中至少有一个bi0； 原问题A的检验数满足符号条件。,例,解： min max,解：引入松弛变量，化为标准形式：,观察A矩阵,解,以上标准形式中没有完全单位向量组，我们将约束条件进行变换，两边同乘（-1）。A矩阵中存在完全单位向量组，但bi0，考虑求解。 用单纯形法求解。,步骤1,判断对
8、偶单纯形法的条件是否满足。,步骤2,在对偶单纯形表中，检验数是b列。 当b0时，得到最优解。 否则，进行换基迭代,步骤3：换基迭代,（1）找主元行：找到b列中绝对值最大者所在行为主元行，记为Pi*，主元行对应的变量Xi*为调出变量。,（2）计算j：,找出主元行Pj*中所有负分量，计算注：若主元行中没有负分量，则问题无解。,（3）找主元列,j中绝对值最小者所在的列为主元列，记为Pj*，主元列所对应的变量xj*为调入变量。,（4）找主元素,主元行与主元列相交处的元素即主元素，记为Pi*j*。,（5）迭代,用高斯消去法，使原主元列中除了原主元素为1外，其余元素均为0。,计算结果,找主元行、确定调出变
9、量、 计算zj-cj,计算j、确定调入变量,继续换基迭代：,继续换基迭代：,继续换基迭代：,得到最优解：,计算到第三段时，b0且Cj-Zj0，得到原问题的最优解：,五、对偶单纯形法的求解思路：,一般单纯形法的思路： 在使用表格单纯形法求解线性规划标准型的最优解时，是从一个初始基本可行解（可行域的一个顶点）开始，按照一定的规则进行迭代，求出第二个基本可行解（另一个可行域的顶点），同时，逐步使检验数都变成正值，目标函数的当前值则逐步变优，直至所有检验数全部变成非负值，对应的基本可行解就成为最优解。 由于迭代过程中出现的基本可行解既是满足约束条件的基本解，又是保持取非负值的可行解，即使解答列中基变量
10、的取值（b列）始终保持非负，通过迭代逐步消除检验数行中的不满足符号条件的检验数。,检验数 也可以用向量形式写出：（这里只写出非基变量的检验数向量） 从 可以很容易得推出 ，这说明原问题的最优基正是对偶问题的可行基。换言之，当原问题的基B即是原问题的可行基又是对偶问题的可行基时，B就是最优基。因此，单纯性法求解过程正是在保持原始可行（解答列基变量取值均非负）的条件下，通过迭代逐步实现对偶可行性。,在对偶关系中，由于价值系数C和约束条件右端常数系数b互换位置，因此可以设想，能否在保持检验数Cj-Zj非正的条件下，逐步消除基本解中的负分量，使之成为可行解。这样，该基本解就是基本最优解。 对偶单纯形法正是基于这种思想而产生的，其基本思想就是在保持对偶可行性的条件下，通过逐步迭代实现原始可行性。,所以，对偶单纯形法的使用条件是： b列中至少有一个bi0； 原问题A的检验数Cj-Zj0；,
