1、第三部分： 不完全信息静态博弈第十章贝叶斯博弈与贝叶斯Nash均衡 主要内容： 一、贝叶斯博弈 二、贝叶斯Nash均衡 三、贝叶斯Nash均衡的应用 四、关于混合战略Nash均衡的一个解释一、贝叶斯博弈 前面两部分我们讨论了完全信息博弈问 题，但在现实生活中我们遇到更多的可 能是不完全信息博弈问题。例如 在“新产品开发”博弈中，企业对市场 的需求可能并不清楚； 在连锁店博弈中，潜在的进入者可能并 不知道连锁店在市场上的盈利情况，等 等。 将这种博弈开始时就存在事前不确定性 的博弈问题是不完全信息博弈问题。例如：“斗鸡博弈” 考察这样的情形：假设参与人可能有这 样的两种性格特征(类型)“强硬”(
2、用 s表示)或“软弱”(用w表示)。 所谓“强硬”的参与人是指那些喜欢争 强好胜、不达目的誓不罢休的决斗者； 而“软弱”的参与人是指那些胆小怕事、 遇事希望息事宁人的决斗者。 显然，当具有不同性格特征的决斗者相 遇时，所表现出来的博弈情形是不同的。 令U表示冲上去；D表示退下去，则每种 情况下博弈情形如下图所示。当参与人都为强硬者时 博弈存在两个纯战略Nash均衡 (U， D)和(D,U)。 -4, -4 2, -2 -2, 2 0, 0 U D 2 1 U D当参与人1为强硬者参与人2为软弱者时 博弈存在唯一的Nash均衡(U, D)。 -4, -4 2, 0 -2, 0 0, 1 U D
3、2 1 U D当参与人1为软弱者参与人2为强硬者时 博弈存在唯一的Nash均衡(D, U)。 -4, -4 0, -2 0, 2 1, 0 U D 2 1 U D当参与人都为软弱者时 博弈存在唯一的Nash均衡(D, D)。 -4, -4 0, 0 0, 0 1, 1 U D 2 1 U D-4, -4 2, -2 -2, 2 0, 0 U D 2 1 U D -4, -4 2, 0 -2, 0 0, 1 U D 2 1 U D -4, -4 0, -2 0, 2 1, 0 U D 2 1 U D -4, -4 0, 0 0, 0 1, 1 U D 2 1 U D (1) 参与人都为强硬者 (
4、2) 参与人1为强硬者 参与人2为软弱者 (3) 参与人1为软弱者 参与人2为强硬者 (4) 参与人都为软弱者 在“斗鸡博弈”中，虽然在博弈开始之 前每位决斗者都了解(知道)自己的性格特 征，但对对手的性格特征往往不甚了解 或了解不全。 在这种情况下即使所有的决斗者都看到 了上面的四个战略式博弈 ，但对决斗者 来讲，仍存在着所谓的事前不确定性即 博弈开始之前就不知道的信息。 对于“强硬”的参与人1来讲，虽然他看 到了上面的战略式博弈，但他不知道对 手是“强硬”的还是“软弱”的，所以 博弈开始之前他无法确定博弈是根据(1) 还是(2)进行。 这意味着“强硬”的参与 人1面临着事前无法确定的信息。
5、 同样，“软弱”的参与人1也会面临类似 的问题。此时，“斗鸡博弈”就是一个 不完全信息博弈问题。 对于不完全信息博弈问题，是不可能应 用前面两部分介绍的方法进行求解的。 这是因为给定参与人1为“强硬”的决斗 者，如果对手是“软弱”的，那么博弈 就只存在惟一的Nash均衡(U, D)，参与人 1有惟一的最优选择“冲上去”；如果对 手是“强硬”的，则博弈就会出现两个N ash均衡(U,D)和(D,U)，参与人1的最优选 择取决于对手的选择。 但由于参与人1不知道对手究竟是“强硬” 的还是“软弱”的，因此，此时的参与 人1就觉得自己似乎是在与两个决斗者进 行决斗，一个是“强硬”的，另一个是 “软弱”
6、的。 当一个参与人并不知道在与谁博弈时， 博弈的规则是没有定义的，如何处理不 完全信息？ Harsanyi提出了Harsanyi转换。 为了分析，对“斗鸡博弈”进行简化。 假设参与人1是“强硬”的决斗者，参与 人2可能是“强硬”的也可能是“软弱” 的，参与人1不知道但参与人2清楚，而 且这一假设为所有的参与人所知道。Harsanyi转换 对于简化的“斗鸡博弈”，Harsanyi转换 是这样处理的： 在原博弈中引入一个“虚拟”参与 人“自然”(nature，用N表示)，构造 一个参与人为：两个决斗者和“自然” 的三人博弈。Harsanyi转换 -4,-4 2,-2 -2,2 U D 0,0 -4
7、,-4 2,0 -2,0 0,1 N () p 强硬 (1 ) p 软 弱 2 2 0 x 1 x 2 x D D D D D U U U U U 1 “自然”首先行动决定参与人2的性格特征(即选择 参与人2是“强硬”的还是“软弱”的)，“自然” 的选择参与人1不知道，但参与人2知道。 Harsanyi通过引入“虚拟”参与人，将博 弈的起始点由x 1 (或x 2 )提前至x 0 ，从而将 原博弈中参与人的事前不确定性转变为 博弈开始后的不确定性(即参与人1不知 道“自然”的选择)。这种通过引入“虚 拟”参与人来处理不完全信息博弈问题 的方法亦称Harsanyi转换。 在Harsanyi转换中规
8、定：参与人关于“自 然”选择的推断为共同知识。 也就是说，两个决斗者不仅同时一起看 到了“自然”随机选择参与人2的性格特 征，而且同时一起看到了“自然”以一 定的概率分布随机选择参与人2的性格特 征。在应用Harsanyi转换时，需要注意以下问题： 1) “自然”的选择。在一般的不完全信息 博弈问题中，Harsanyi转换规定“自然” 选择的是参与人的类型(type)。 用t i 表示参与人i的一个特定的类型，T i 表 示参与人i所有类型的集合(亦称类型空间， type space)，即 ，t=(t 1 ,t n )表示一 个所有参与人的类型组合， t -i =(t 1 ,t i- 1 ,t
9、 n )表示除参与人i之外其他参与人的 类型组合。所以，t=(t i , t -i )。 ii tT 2) 参与人关于“自然”选择的推断。用 p(t 1 ,t n )表示定义在参与人类型组合上 的一个联合分布密度函数，Harsanyi转换 假定：对于一个给定的不完全信息博弈 问题，存在一个参与人关于“自然”选 择的推断p(t 1 ,t n )，且p(t 1 ,t n )为共同知 识。也就是说，Harsanyi转换假定所有参 与人关于“自然”行动的信念(belief)是 相同的，并且为共同知识。 用 表示参与人i在知道自己类型为t i 的情况下，关于其他参与人类型的推断 (即条件概率)，则 其中
10、， 为边缘密度函数。 ( ) i ii pt t ( ( ,) ( ,) ) () ( ,) ii ii ii i ii i ii tT tt tt pt t t tt pp pp = = ( ) i pt 贝叶斯博弈(the static Bayesian game)是关 于不完全信息静态博弈的一种建模方式， 也是不完全信息静态博弈的标准式描述。贝叶斯博弈的定义 贝叶斯博弈包含以下五个要素： （1 ）参与人集合 ； （2 ）参与人的类型集T 1 ,T 2 ； （3 ）参与人关于其他参与人类型的推断 , ； （4 ）参与人类型相依的行动集A(t 1 ), A(t n )； （5 ）参与人类型相
11、依的支付函数 , 。 1,2,., n = 1 11 ( ), pt t () n nn pt t 11 2 2 1 1 ( ( ), ( ), , ( ); ) nn at at at t u 11 2 2 ( ( ), ( ), , ( ); ) nn n n at at at t u 规定贝叶斯博弈的时间顺序如下： (1) “自然”选择参与人的类型组合t=(t 1 ,t n )， 其中； (2) 参与人i观测到“自然”关于自己类型t i 的选 择；虽然参与人i观测不到“自然”关于其他 参与人类型t -i 的选择，但参与人i具有关于其 他参与人类型的推断 ； (3) 参与人同时选择行动，每
12、个参与人i从行动集 A i (t i )中选择行动a i (t i ) ； (4) 参与人i得到 。 () i ii pt t 11 2 2 ( ( ), ( ), , ( ); ) nn i i at at at t u 贝叶斯博弈中的战略 在贝叶斯博弈 中， 参与人i的一个战略是从参与人的类型集 T i 到其行动集的一个函数s i (t i )，它包含了 当自然赋予i的类型为t i 时，i将从可行的 行动集A i (t i )中选择的行动。 ; ( ); ( ); ( ( ); ( ( ( ); ) i i ii i i G T p A t u at t = 用 表示给定其他参与人的战 略
13、 ，类型为t i 的 参与人i选择行动a i 时的期望效用，则 其中，对 ， 为给定t -i 时由s -i 所确定的其他参与人的行动组合 ( , ;) i i ii vas t 1 11 ( ( ), , ( ), ( ), , ( ) i ii n ss ss s + = (, ; ) ( )(, ( ) ; ) ii ii i i i i iii i i i tT vas t pt tuaa t t = ii tT () ii at 11 1 1 1 1 ( ) ( ( ), , ( ), ( ), , ( ) i i i i i i nn s t st s t s t st + = 在贝
14、叶斯博弈中，对于一个理性的参与 人i，当他只知道自己的类型t i 而不知道其 他参与人的类型时，给定其他参与人的 战略s -i ，他将选择使自己期望效用(支付) 最大化的行动 ，其中 () ii at () ( ) arg max ( , ; ) i ii i i i i ii a At at vas t 纯战略贝叶斯Nash均衡 贝叶斯博弈 的纯战略贝叶斯Nash均衡是一个类型相依的行 动组合 ，其中每个参与人 在给定自己的类型t i 和其他参与人的类型相依 行动 的情况下最大化自己的期望效用。 也就是，行动组合 是一个 纯战略贝叶斯Nash均衡，如果对 ， ; ( ); ( ); ( (
15、); ( ( ( ); ) i i ii i i G T p A t u at t = 11 22 ( ( ), ( ), , ( ) nn at at at () ii at 11 22 ( ( ), ( ), , ( ) nn at at at i () ( ) arg max ( ) ( , ( ); ) i ii ii i i ii i i i iii a At tT a t pt tuaa t t 存在性结论 定理 一个有限的贝叶斯博弈一定存在贝 叶斯Nash均衡。贝叶斯Nash均衡定义的另一种表示方式 在静态贝叶斯博弈 中，战略组合 是一个纯战略贝叶斯 Nash均衡，如果对 及 ,
16、满足 即没有参与人愿意改变自己的战略，即使这种 改变只涉及一种类型下的一个行动。 ; ( ); ( ); ( ( ); ( ( ( ); ) i i ii i i G T p A t u at t = * * 1 (, ,) n ss s = i * , () ii ii st tT * * * * 11 1 1 1 1 () () () ( () ( ) () ( ) ( ) ; m a x , , , , )( ) arg ii ii ii nn i i i ii i i ii ii ii at At tT st ust s t a t s t st tpt t + 三、贝叶斯Nash均衡
17、的应用1.不完全信息古诺模型 在Cournot模型中，每一个企业对其他企 业的成本和自己的成本是已知的，因而 信息是完全的。 然而在实际中，企业往往很难知道其他 企业的成本。当Cournot模型中至少有一 个企业不知道其他企业的成本时所对应 的模型即为不完全信息的Cournot模型。 参与人类型成本函数。假设： 企业1的成本函数为共同知识： 企业2的成本函数为私人信息： 其中， 企业1知道企业2是 的概率为p，是 的的概 率是1-p，p和1-p为共同知识。 11 1 1 () cq cq = 22 2 2 22 2 2 () () lL hH cq c q cq c q = = 22 LH c
18、c 2 L c 2 H c市场需求： 12 P aQ Qq q = = +进一步假设： 12 2 2; 35 1, , ; 44 1 2 LH a cc c p = = = = =企业2： 22 2 2 221 () () q Pc q ac q q = = 令 则 2 ac t = 22 21 () q tq q 2 2 21 1 0, 1 ( )( ) 2 q qq t t q = = 由 得： ， 企业2的反应函数 不仅与企业1的产量有关，而且与自 己的成本有关。 2 q22 21 22 21 , 15 () 24 , 13 () 24 L L H H cc qq cc qq = = =
19、 = 时 时企业1： 企业1不知道企业2的真实成本，因而 也不知道企业2的最优反应是 企业将选择使期望利润最大化的产量。 22 LH qq 还是1 1 112 1 112 1 12 1 12 () (1 ) ( ) 11 (1 ) (1 ) 22 L H LH E pq a c q q pq ac q q q qq q qq = + = + 由最优化一阶条件得： 即企业1的反应函数。 1 22 22 11 1 (1 ) 22 2 1 (1 (1 ) ) 2 LH LH q qq pq p q = = 联立求解两个反应函数，得贝叶斯Nash 均衡为： * 1 22 1 3 11 5 , 24 2
20、4 LH q qq = = =2 暗标拍卖(一级密封拍卖) 假设1:只有两个参加投标的人，他们对标的的估价分别 为V1和v2，因此博弈方i用价格p 拍得标的的得益为vi-p, 假设2 ：两个博弈方的估价V1 和v2 时相互独立的，且 V1U0,1, V2U0,1, 各博弈方知道自己的估价和另 一 博 弈 方估价的概率分布。 假设3 ：各博弈方都是风险中性的。 暗 标 拍 卖的静态贝叶斯表示 1 ） 博 弈方i的行为就是标价bi, 行动空间 2) 博弈方i 的类型就是它的估价Vi 0, ) 0,1 i A = + =3)博弈方i的得益 要找贝叶斯纳什均衡，必须先找两博弈方的策略空间。 他们的策略
21、是根据类型决定行为的函数关系。即是 如果 是贝叶斯纳什均衡，那么 是对方的最 佳反应。 此时 = = j i j i i i j i i i i i b b b b b v b b b v v v b b u u ，当 ，当 ，当 0 2 / ) ( ) , , , ( 2 1 2 1 () ii bv 11 2 2 ( ), ( ) bv bv () ii bv ) ( 2 1 ) ( max j i i i j i i i b b b P b v b b P b v i = + ( ), ( ) i ii j j j b bv b b v = = 满 足 上述策 略的贝 叶斯均 衡很多 ，
22、不加 限 制 的讨论 意义不 大。 只 考 虑线性 策略线性策略均衡 假设 0 ; ) ( = = + = j i j j j j j b b P v c a v b j 的策略为 设博弈方 1 1 1 11 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) , ( ) , 1, 1, 0. 0 b v a cv b v a cv a a c c =+ =+ () 2 ij ii i j va bv v a + = 一 阶 条件 ： ，当 注意到可能有 ，这时 博弈方i不可能中标，不妨设： 综上 线性策略为 () i i i ii b v a cv = +() 2 22ijj i ij ii j i
23、j va a v va bv a va + = =+ ， 当 ， 当 ij va () 22 ij jj i i j j jj j va a a b v a a cv b + = =+ = () ii j bv a = 由 于 是 分 段 函数， 加上是 线性策 略，只 有当 时 比较得： 有对称性有 联立解得： 结论： 实际意义： 1 , 22 j ii a ac = = 0 j a 1 , 22 i jj a ac = = 1 0, , 2 j i ji aa cc = = = = i ii v 即b(v )= 2二级密封拍卖(Vickrey auction)一个评注 ： 拍卖理论 依 据
24、 竞标规 则的差 异，拍 卖可以 被分成 许 多 种 不同的 类型， 这里我 们只分 析其中 最 为 重 要可能 也是最 为常见 的四种 ，即： 一 级 密封价 格拍卖(first price sealed bi d) 二 级 密封价 格拍卖(second price sealed bid) 英式拍 卖(English auctions) 荷 兰 式拍卖(Dutch auctions) 英 式 拍卖与 二级密 封价格 拍卖实 际上是 等价 的 ， 两者都 是让代 理人说 真话的 机制， 并且 在 结 果上， 两者都 是让估 价最高 者以第 二高 的 那 个估价 得到竞 标物， 这是一 种帕累
25、托有 效 的 结果。 荷 兰 式拍卖 与一级 密封价 格拍卖 。实际 上也 是 等 价的。 在荷兰 式拍卖 中，每 个竞标 者都 需 要 确定一 个他愿 意接受 的最高 报价， 一旦 拍 卖 人的喊 价达到 该报价 时，竞 标者就 将举 牌 得 到该竞 标物。作业： 请列举有哪些拍卖方式？3 双方报价拍卖 模型 区间上 ， 分布于 相互知道对方估价标准 ，卖方估价为 买方对货物估价为 否则不成交。 成交， ，以价格 如果 ，卖方报价 买方报价 1 0 2 / ) ( s b s b s b s b v v P P P P P P P + = 贝叶斯纳什均衡 ) ( 2 ) ( | ) ( ma
26、x ) ( 1 0 s s b s s b s s b b P b b b v P P P v P P v P E P v v P v b + 必须满足 ， ， 对任意 ) ( 2 ) ( | ) ( max ) ( 1 0 s b b s s b b b b s P s s s P v P P v P v P v P E P v P v s + 必须满足 ， ， 对任意 ) ( b b v P ) ( s s v P 双方策略为一价均衡给定价格水平上的均衡 s 0 1 0 1 bb b ss x v x Px P v x Px P = = 给 定 ， 中任 意 一 个 值 ， 可 以 看 成
27、 政 府 指 导 价 ，或 者 市 场 理 论 价 格 买方 策 略 ： 时 ， ， 否 则 ， 即 不 买 卖 方 策略 ： 时， ， 否 则 ， 即 不 卖- -0 - - 0, 1 sb ss ss s s ss s v xv Px Px Pv xv Px vx P x P vx v P = = = = = = 对卖方的决策： （1）可能成交的情况， ，是卖方的最高要价， ，不可能成交。 成交收益 所以 是能够成交的最佳反应 （2）当 时， 成交。成交 给定买方的 收益 所以直接要价 ，不成交至少能 策略： 避免损失0 0, 0 sb bb bb b b bb b v xv Px Px
28、v Pv x Px v x Px v Pv x P = = = = = = 对 买 方的 决 策 ： （1 ）可 能 成交 的 情 况 ， ， 是 买方 的 最 低 报 价 ， ， 不 可 能 成交 。 成 交收 益 所 以 是能 够成 交 的 最 佳 反应 （2 ）当 时 ， 成 交 。 成交 给 定 卖方 的 收益 所 以直接 报价 ， 不 成 交 至少能 策略 ： 避免损 失交易区域 b v 1 s v 1 x x 非 交易 区域 非交易 区域线性策略均衡 ) ( 2 ) ( | ) ( max ) ( 1 0 s s b s s b s s b b P b b b v P P P v
29、P P v P E P v v P v b + 必须满足 ， ， 对任意 s s s s s b b b b b v c a v P v c a v P + = + = ) ( ) ( 卖方策略 买方策略 0 1 ( ) , 1 ( ) | ( ) ( ) b s s ss s s s p a s s s b ss b ss v U Pv Ua a c xdx c E Pv P Pv prob P P v + = 因 为 ， ，0 1 ( ) , ( ) s ss s s s b s s b s ss bs bs s ss v U Pv Ua a c prob P P v prob P a c
30、 v Pa Pa prob v cc + = + = 因 为 ， ， 22 0 1 ( ) , 1 2 b s s ss s s s p bs a ss v U Pv Ua a c pa xdx cc + = 因 为 ， ， 22 2 ( ) | ( ) 2 bs s sb s s b ss bs s pa c ap E Pv P Pv Pa c + = 线性策略均衡 s s s s s b b b b b v c a v P v c a v P + = + = ) ( ) ( 卖方策略 买方策略 s s b b s b b P c a P P a P v b + + ) 2 ( 2 1 ma
31、x 1 max ( ) 22 s bb s bb s ss P b acP acP Pv c + + + 同理21 , 3 12 21 34 bb ss Pv Pv = + = + 分别求一阶条件 1/4 bs bs PP vv + 交易的条件是：交 易区 域 b v 1 s v 1 非交易区域 1 4 bs vv = +一价交易区 域 b v 1 s v 1 x x 两种均衡的比较和均衡效 率 1 4 bs vv = + 最优效率点（0,1） , xx 无多 大 价值 的点 （ ） 线性交易区域 有 价值的点两种均衡的比较和均衡效率 线性策略均衡 比 一价 均 衡效 率 高 不 存 在 能
32、实 现所有 潜在交 易利益 的贝叶 斯纳什 均衡。 这 正 是 信 息 不完全 的效率 损失， 代价。 估 价 在 均 匀 分布下 线性策 略均衡 的效率 是最高 的（Myerson,et,1983 ）4 拍卖规则设计问题和揭示原理 4.1 拍卖规则设计问题 4.2 直接机制和揭示原理4.1 拍 卖 规 则设 计问题 投 标 人 较 少 ，且不 识货时 ，买方 的出价 可能非 常 低 ， 使 拍 卖商品 得不到 应有价 格，如 果投标 人 之 间 形 成 某种形 式的串 通，则 卖方更 吃亏。 投 标 人 参 与 投标而 不中标 没有任 何代价 ，投标 人 就 不 会 积 极争取 成交， 会采
33、用 低标价 多次参 加 投 标 的 方 法，希 望投机 获较大 利益。 如果投 标 人 都 这 样 做，价 格肯定 会偏低 ，对卖 方不利 。 拍 卖 规则设 计、拍 卖方式 选择： 底价、 保证 金 、 中标规 则和价 格。 实 现 理论、 实施理 论 信息揭 示 真实 类型和 估计是 可以了 解的 吗？4.2 直接机制和揭示原理 直接机制 1. i i T 投标人同时声明自己对标的的估价 （即他们的类型）。因为并不要求诚实， 因此投标人 可以选择其类型空间 中的任意类型做声明，不管他的真实 类型是什么 1 1 1 1 1 21 1 2. ( , , ) (, ,) (, ,) (, ,)
34、(, ,) (, ,) (, ,)1 n in i in n in n nn tt i qt t q i pt t tt q tt q tt q tt + + 假如各投标人的声明是 ， 则投标人 拍得标的的概率为 ，即要随机选择哪个 投标方中标，随机选择的概率为 。 如果投标方 中标，则价格为 。 对各种可能的声明情况 ，概率之和 必须成立说实话的直接机制 12 12 12 0 1 1. 0,1 2. / 2 1, / i ii ii VV VVV i qV qq pV = + = 只有两个投标人，他们的估价类型 、 都是 ， 上标准分布 两投标人同时声明 、 ， 投标人 中标的概率为 ， 中
35、标的价格为 设线性齐次策略： 说真话 i i i V a V = 2 2 ( )( ) 22 max ( ) ( ) 22 i i i ii ii ii i ii ii i i ii a V V aV aV Eu V V aV aV V V aa = = i i i i V V a a = = = = ， 时， ，当 一阶条件 1 2 2 / 1 = i a揭示原理（显 示 原理 ） 定 理： 任何贝叶斯博弈 的任 何 贝叶 斯 纳什 均 衡， 都 可 以 被 一 个说实 话的直 接机制 “代表 ”。四、关于混合战略Nash均衡的一个解释 性别战博弈 2 , 1 0 , 00 , 0 1, 2
36、 丈 夫 B 妻 子 F F B 上述博弈除了存在两个纯战略Nash均衡 外，还有以下混合战略均衡： 21 12 ( , ),( , ) 33 33Harsanyi认为： 参与人i对参与人j的混合战略表示了 参与人i对参与人j所选择的纯战略的不确 定性，而j的选择又依赖于他(她)的一点 私人信息。不完全信息的性别战博弈 2+ , 1 0 , 00 , 0 1, 2+ 丈 夫 B 妻 子 F F B p t c t0, cp cp tt tt x、 分别为参与人的私人信息， 假设： 、 相互独立且为区间 上的均匀分布。, ;,; , ;, 0, , 1 () () c pc p c pc p c
37、p cp cc p p G AATT p p uu AA TT x pt pt x = = = = = = =不完全信息的性别战博弈可表示为：其中，行动空间 足球，芭蕾 ，类型空间Nashc p tc tp构造这样的贝叶斯 均衡： 女方在 超过临界值 时选择芭蕾， 否则选择足球；男方在 超过临界值 时选择足球，否则选择芭蕾。Nash xc x p xx 在上述贝叶斯 均衡中，女方以 的概率选择芭蕾，男方以 的 概率选择足球。 (2 ) 0 (2 )01 cc p xp p tt x xx p xp xp xx x + =+ + =给定男方的选择，女方选择芭蕾与 足球的期望收益分别为： 与 (2
38、 ) 3 c c p xp t xx x tc p + =所以，当且仅当 即 时，女方选择芭蕾最优。 0 (2 ) (2 )10 pp xc c c tt xx x xc c xc xx x +=+ + +=给定女方的选择，男方选择足球与 芭蕾的期望收益分别为： 与 (2 ) 3 p p c xc t xx x tp c + =所以，当且仅当 即 时，男方选择足球最优。2 30 pc p px = + = 由上述分析可知：3 94 2 3 94 2 x p x c + + = + + = 解二次方程可得：3 941 2 3 941 2 xc x xx xp x xx + + = + + = 女方选择芭蕾的概率男方选择足球的概率0 3 94 2 1 23 3 94 2 1 23 x xc x xx xp x xx + + = + + = 当 时， 完全信息博弈的混合战略 Nash 均衡可以 解释为与之密切相关、存在一小点非完 全信息的博弈的纯战略贝叶斯 Nash 均衡。
