1、整式的乘法复习与测试知识网络归纳 222()(, )():()mnnnaabbmabnambnab 特 殊 的=幂 的 运 算 法 则 为 正 整 数 ， 可 为 一 个 单 项 式 或 一 个 式 项 式单 项 式 单 项 式单 项 式 多 项 式 :多 项 式 多 项 式 ：整 式 的 乘 法 平 方 差 公 式 乘 法 公 式 完 全 平 方 公 式 ：难点讲解：正确处理运算中的“符号” ，避免以下错误，如： 等；例 由（1） 、 （2）可知互为相反数的同偶次幂相等；互为相反数的同奇次幂仍互为相反数1、下列各式计算正确的是（ ）A、 B、632ba5252baC、 D、1243 4623
2、912、 的值是（ ）1mA、1 B、1 C、0 D、 13m3、 7352aa12a2b(xy)4ab(yx) (7m11n) (11n7m) = _； _,)yxy )1(1xy_2,_3(2 baba )()() 22yx(4 x y)(5 x2 y)_(x2)( x3)( x6)( x1) _4、求( a b)2( a b)24 ab 的值，其中 a2002， b20015化简 的结果是()ccb专题综合讲解专题一 巧用乘法公式或幂的运算简化计算方法 1 逆用幂的三条运算法则简化计算（幂的运算是整式乘法的重要基础，必须灵活运用，尤其是其逆向运用。 ）例 1 (1) 计算： 。19619
3、63()()0(2) 已知 39m27 m3 21，求 m 的值。(3) 已知 x2n4，求(3x 3n)24(x 2) 2n的值。思路分析：(1) ，只有逆用积的乘方的运算性质，才能使运算简便。310(2)相等的两个幂，如果其底数相同，则其指数相等，据此可列方程求解。(3)此题关键在于将待求式(3x 3n)24(x 2) 2n用含 x2n的代数式表示，利用(x m)n(x n)m这一性质加以转化。已知： ，求 m.6937m方法 2 巧用乘法公式简化计算。例 2 计算： . 2481511()()2思路分析：在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公式的形式，如果符合则
4、应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。观察本题容易发现缺少因式 ，如果能通过恒等变形构造一个因式 ，则运用平方差公式就1()21()2会迎刃而解。点评：巧妙添补 2 ，构造平方差公式是解题关键。1()方法 3 将条件或结论巧妙变形，运用公式分解因式化简计算。例 3 计算：2003002 220030212003023点评：此例通过把 2003021 化成(20030231)，把 2003023 化成(20030221)，从而可以运用平方差公式得到(2003022 21)，使计算大大简化。由此可见乘法公式与因式分解在数值计算中有很重要的巧妙作用，注意不断总结积累经验。例 4 已知(xy
5、) 21，(xy) 249，求 x2y 2与 xy 的值。点评：解决本题关键是如何由(xy) 2、(xy) 2表示出 x2y 2和 xy，显然都要从完全平方公式中找突破口。专题二 整式乘法和因式分解在求代数式值中的应用（格式的问题）方法 1 先将求值式化简，再代入求值。例 1 先化简，再求值。(a2b) 2(ab)(ab)2(a3b)(ab)，其中 a ，b3.12思路分析：本题是一个含有整式乘方、乘法、加减混合运算的代数式，根据特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键。解：原式点评：(1) 本题要分沮是否可用公式计算。(2) 本题综合应用了完全平方公式、平方差公式及多项式乘法法则。(3) 显
6、然，先化简再求值比直接代入求值要简便得多。方法 2 整体代入求值。 ）例 2 当代数式 ab 的值为 3 时，代数式 2a2b1 的值是（ ）A、5 B、6 C、7 D、8点评：这里运用了“整体思想” ，这是常用的一种重要数学方法。练习 1：、若代数式 的值为 6，则代数式 的值为 .132a592a2、已知; 求 的值，02a923、已知 ，求 的值3)()12yxxy2综合题型讲解题型一 学科内综合(一) 数学思想方法在本章中的应用1、从特殊到一般的认识规律和方法在探索幂的运算法则时，都是从几个特殊例子出发，再推出法则。如：从以下几个特殊的例子 a2a3 a 5a 23 ，23个 个a4a
7、6 a 10a 46 ，46个 个推广到 aman a m+n。n 个 个从而得到法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加” 。2、化归思想即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的思想方法，如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可转化为单项式乘以单项式，即多多 多 单 单 单。还有：如比较 420与 1510的大小，通常也是将要比较 转 化 转 化的两个数化为底数相同或指数相同的形式，再进行比较，即 420(4 2)1016 10，16 1015 10，所以 42015 10。3、逆向变
8、换的方法（不讲）在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便。这样的例子很多，前边已举了一些，这里再举一例。例： 202032020557()1.4()75.71还有把乘法公式反过来就得出因式分解的公式等。题型二 学科间的综合例 2 生物课上老师讲到农作的需要的肥料主要有氮、磷、钾三种，现有某种复合肥共 50 千克，分别含氮 23%、磷 11%、钾 6%，求此种肥料共含有肥料多少千克？解：题型三 拓展、创新、实践（整除问题）例 3 （拓展创新题）2 481 可以被 60 和 70 之间某两个数整除，求这两个数。思路分析：由 2481(2 24)21(2 241)( 2 241)(2 241)
9、(2 121) (2 121)(2 241)(2 121)(2 61)(2 61)(2 241)(2 121)(2 61)(641)(641)(2 241)(2 121)(2 61)6563，所以这两个数是 65 和 63。同步测试一、填空题1、(a) 2(a) 3 ，(x)x 2(x 4) ，(xy 2)2 .2、(210 5)21021 ，(3xy 2)2(2x 2y) .3、计算：(8) 2004 (0.125) 2003 ，2 20052 2004 .4、计算：(mn) 3(mn) 2(nm) ，(3a)(1a) ，(a2)(a2)(4a 2) ，(mn1)(mn1) .5、x n5，
10、y n3，则(xy) 2n ，若 2xm，2 yn，则 8x+y .6、若 A3x2，B12x，C5x，则 ABAC .8、比较 25180，64 120，81 90的大小用“”号联 .10、在多项式 16a24 上加上一个单项式，使其成为一个整式的平方，该单项式是 .11、四个连续自然数中，已知两个大数的积与其余两个数的积的差等于 58，则这四个数的和是 .12、如图(1)的面积可以用来解释(2a) 24a 2，那么根据图(2)，可以用来解释 （写出一个符合要求的代数恒等式） 。二、选择题13、下列各式中，正确的是（ ）A、m 2m3m 6 B、(ab)(ba)a 2b 2C、25a 22b
11、 2(5a2b)(5a2b) D、(xy)(x 2xyy 2)x 3y 314、与(x 2x1)(x1)的积等于 x61 的多项式是（ ）A、x 21 B、x 31 C、x 21 D、x 3115、已知 5x3，5 y4，则 25x+y的结果为（ ）A、144 B、24 C、25 D、4916、x 为正整数，且满足 3x+12x3 x2x+16 6，则 x（ ）A、2 B、3 C、6 D、12三、解答题23、计算：(1) (2y 3)2(-4y 2)3(2y) 2(-3y2)2；(2) (3x2) 2(3x2) 2(3x2) 2(3x2) 2；(3) 3.765420.46923.76540.
12、2346 2.24、因式分解：(1) (a3) 2(62a)；(2) 81(ab) 24(ab) 2；(3) (x25) 28(5x 2)16.25、解方程不等式：3(x2) 2(2x1) 27(x3)(x3)28；26、化简求值：(1) (x23x)(x3)x(x2) 2(xy)(yx)，其中 x3，y2；(2) 已知 x23x10，求下列各式的值， ； .41x四、应用题27、如图大正方形的面积为 16，小正方形的面积为 4，求阴影部分的面积。28、如图四边形 ABCD 是校园内一边长为 ab 的正方形土地（其中 ab）示意图，现准备在这块正方形土地中修建一个小正方形花坛，使其边长为 ab
13、，其余的部分为空地，留作道路用，请画出示意图。 (1) 用尺规画出两种图形的情形，保留痕迹，不写作法，并标明各部分面积的代数式。(2) 用等式表示大小正方形及空地间的面积关系。附 1：中考热点透视分解因式一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）. 具体要求有：1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系.2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）. 3、通过乘法公式：（a +
14、b） （a - b）=a 2 - b2， （ab） 2= a22ab + b2的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力.在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意. 一、构造求值型例 1（2004 山西）已知 x+y=1，那么 的值为_.221xy分析：通过已知条件，不能分别求出 x、y 的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出 x+y 的整体形式. 在此过程中我们要用完全平方公式对因式分解中的 . = （x 2+2xy+y2）= (x+y)2 = 12 = 1
15、 = .221xy112在此过程中，我们先提取公因式 ，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x+y 的整体形式，最后将 x+y=1 代入求出最终结果. 例 2（2004 广西桂林）计算： _.2019832分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来” ，即原式 = 231890 = )(21= 389= )2(21= 38= = 22 + 2 = 4+2 = 6.此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来. 此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题. 二、探索规律型例 3(2002
16、 福建福州)观察下列各式：l 2+1=12，2 2+2=23，3 2+334，请你将猜想到的规律用自然数 n(n1)表示出来 .例 4（2003 青海）请先观察下列算式，再填空：， 183228352（1） 8 ；7（2） （ ） 84；92（3） （ ） 9 85；（4） （ ） 8 ；212通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： . 分析：类比各式，可以发现：（1） 8 3 ；257（2） （ 7） 84；9（3） （ 11 ） 9 85；2（4） （ 11 ） 8 7 ；1通过观察归纳，得到这种规律的一般结论是两个连续奇数的平方差能被 8 整除（或说是 8 的倍数）.如果我们分别用
17、2n+1 和 2n-1 表示两个相邻的奇数，则利用平方差公式四、你能很快算出 吗？2195为了解决这个问题，我们考察个位上的数字是 5 的自然数的平方，任意一个个位数为5 的自然数可写成 即求 的值（n 为正整数） ，你分析 n=1、n=2，这些，0n20简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论（在下面的空格内填上你探索的结果） 。（1）通过计算，探索规律152=225 可写成 101（1+1）+25252=625 可写成 102（2+1）+25352=1225 可写成 103（3+1）+25452=2025 可写成 104（4+1）+25可写成 。5672可写成 。8（2）从第（1）题的
18、结果归纳、猜想得： 。2510n（3）根据上面的归纳、猜想，请算出： 。9三、开放创新型例（2003 四川）多项式 9x2 + 1 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是_(填上一个你认为正确的即可 ).分析：根据完全平方公式 a22ab+b2= (ab)2的特点，若 表示了 a2+b2的话，192x则有 a=3x，b=1，所以，缺少的一项为2ab=2（3x）1=6x ，此时，9x 2 + 16x=(3x1)2；如果认为 9x2 + 1 表示了 2ab+b2的话，则有 a=4.5x2，b=1，所以，缺少的一项为 a2=（4.5x） 2= 20.25x4，此时，2
19、0.25x 4+9x2 + 1=(4.5x2+1)2.从另外一个角度考虑， “一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式. 注意到 9x2=(3x)2，1=1 2，所以，保留二项式 9x2 + 1 中的任何一项，都是“一个整式的完全平方” ，故所加单项式还可以是 -1 或者 - 9x2，此时有 9x2 + 1-1=9x2=(3x)2，或者 9x2 + 1-9x2=12. 四、数形结合型例（2002 陕西）如图 1，在长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(ab)把余下的部分剪拼成一个矩形(如图 2),通过计算两个图形(阴影部分 )的面积，验证了一
20、个等式,则这个等式是( ) Aa 2b 2(a 十 b)(ab)B(ab) 2a 22ab 十 b2C(ab) 2a 22abb 2D(a 十 2b)(ab)a 2ab 2b 2分析：图 1 表示的是 a2b 2，图 2 表示的是(a 十 b)(ab)，两者面积相等例（2002 年山东省济南市中考题）请你观察图 3，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是_ 图 3分析：根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公式，是“数形结合思想”的具体体现. 例（2003 山西）有若干张如图 4 所示的正方形和长方形卡片，(3)(2)(1)abbbaa图 4表中所列四
21、种方案能拼成边长为 的正方形的是（ ）ba卡片数量（张）方案（1） （2） （3）A 1 1 2B 1 1 1C 1 2 1D 2 1 1分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是（a+b） 2.因为 a2+2ab+b2=（a+b） 2，对照图 4 所示的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面积分别为 a2、b 2和 ab例（2003 山西太原）如图 5 是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于 a、b 的恒等式 图 5分析：外框围成的大正方形面积为（a+b） 2，4 个矩形的面积之和为 4ab，中间的空白部分的面积为(a-b) 2.29、在通常的日
22、历牌上,可以看到一些数所满足的规律,表 1 是 2005 年6 月份的日历牌。表 1 星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六1 2 3 45 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30(1)在表 1 中，我们选择用如表 2 那样 22 的长方形框任意圈出 22 个数，将它们交叉相乘，再相减，如：28197，142013217，241817257，你发现了什么？再选择几个试试，看看是否都是这样，想一想，能否用整式的运算加以说明。(2)如果选择用如表 3 那样 33 的长方形方框任意圈出 33 个数，将
23、长方形方表 2表 3框四解位置上的 4 个数交叉相，再相减，你发现了什么？请说明理由。30、为了美化校园环境，争创绿色学校，某区教育局委托园林公司对 A，B 两校进行校园绿化，已知 A 校有如图(1)的阴影部分空地需铺设草坪，B 校有如图(2)的阴影部分空地需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮 3500 米 2和 2500 米 2出售，且售价一样，若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下：路程、运费单价表A 校 B 校路程(千米) 运费单价(元) 路程(千米) 运费单价(元)甲地 20 0.15 10 0.15乙地 15 0.20 20 0.20（注：运费单价表示每平方米草皮运
24、送 1 千米所需的人民币）求：(1) 分别求出图 1、图 2 的阴影部分面积；(2) 若园林公司将甲地 3500m2的草皮全部运往 A 校，请你求出园林公司运送草皮去 A、B 两校的总运费；(3) 请你给出一种运送方案，使得园林公司支付出送草皮的总运费不超过15000 元。 第 30 题图附反映情况资料学习目标1理解幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的基础2理解幂的乘方和积的乘方法则的导出是根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则3同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据所以要求每个学生都能得三个运算法则的数学表达式“都为正整数） ”和语言表述“同底数
25、幂相乘，底数不变，指数相加，幂的乘方，底数不变，指数相乘，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方”搞清楚，并能正确运用重点难点本节的重点是：正确理解幂的三个运算法则，并能熟练运用这三个法则进行计算与化简本节的难点是：（1）正确运用有关的运算法则，防止发生以下的运算错误，如：等；（2）正确处理运算中的“符号” ，避免以下错误，如：等；（3）在进行加、减、乘、除、乘方的混合运算时处理好运算程序问题，防止用运算程序混乱产生的错误，如 等等典型例题例 1 计算： 【点评】在运用幂的运算法则进行计算时，要避免出现繁杂运算的现象，如运算的结果虽然没有错误，但由于运算的过程中没有直接运用幂的乘方法则，而采取
26、幂的乘法法则，致使运算出现了思维回路，达不到“简洁”的要求例 2 【点评】当两个幂的底数互为倒数或负倒数时，底数的积为 1 或1这时逆用积的乘方公式可起到简化运算的作用例 3 【点评】在运用幂的运算法则时，不仅要分清何时指数相加？何时指数相乘？还要能对法则灵活运用，即能顺用又能逆用例 4 求下列各式中的 ：【分析】【点评】由幂的意义，我们容易知道，两个幂相等时，如果底数相同，则指数一定相同；但如果指数相同，其底数应就指数为奇数和偶数两种情况进行研究当指数为奇数时，则底数相同；当指数为偶数时，则底数相同或互为相反数例 5 【分析】（1）比较两个数的大小常用比较法即考察两数差的值当差为正数时，第一量大于第二量；当差为零时，第一量等于第二量；当差为负数时，第一量小于第二量即【点评】由（1） 、 （2）可知互为相反数的同偶次幂相等；互为相反数的同奇次幂仍互为相反数技能训练（一）选择题（ ） （ ）（ ）（ ）（2）填空题： （3）计算题：
