1、热点追踪宜未雨而绸缪,毋临渴而掘井. 河北 赵春祥(特级教师)圆锥曲线是解析几何的重要组成部分,它涉及的知识深广,所用方法又灵活多变,因此是学习的重点和难点.由于圆锥曲线问题运算量大,很多问题可能会因冗长的运算、烦琐的推导而无法进行到底,最终只好望题兴叹.因此,在解题中,尽量减少运算则成为迅速、准确解题的关键.为此,本文介绍优化椭圆运算的1 0种方法与技巧,供读者参考.1 回归定义凡是涉及圆锥曲线焦点坐标、离心率、准线方程、焦半径等问题,往往与定义有关,求解时回归定义是优化解题过程的途径之一.例1 已知椭圆x24 +y 23 = 1 ,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M ,使它到左准线
2、的距离为它到2个焦点F 1 、 F 2距离的等比中项?由椭圆方程可知a = 2 , b = 3 ,并求得c = 1 ,离心率e = 12 ,准线x = 4 .设椭圆上y轴左侧部分存在点M ( x 0 , y 0 ) ( - 2 x 0 b 0 )的弦中点与椭圆中心连线的斜率(两斜率均存在时)与此弦的斜率之积为- b 2 / a 2 .设弦两端点为A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,中点为P ,则k O P = y 1 + y 2x1 + x 2, k A B = y 2 - y 1x2 - x 1,由b 2 x 21 + a 2 y 21 = a 2 b 2
3、,b 2 x 22 + a 2 y 22 = a 2 b 2 ,可得b 2 ( x 2 + x 1 ) ( x 2 - x 1 ) + a 2 ( y 2 + y 1 ) ( y 2 - y 1 ) =0 ,所以y 1 + y 2x1 + x 2 y 2 - y 1x2 - x 1= - b2a 2 ,即k O P k A B = -b 2a 2 .3 运用曲线系方程对于曲线C 1 : f 1 ( x , y ) = 0 , C 2 : f 2 ( x , y ) = 0 ,设它们有一交点A ( x 0 , y 0 ) ,则有f 1 ( x 0 , y 0 ) = 0 , f 2 ( x 0
4、,y 0 ) = 0 ,那么曲线系C : f 1 ( x , y ) + f 2 ( x , y ) = 0 ( 为实数)一定过点A ,所以C表示过曲线C 1 、 C 2交点的曲线系.因此,在处理有关二次曲线问题时,如果能把所求曲线归结为曲线系C ,然后由其他条件求得其中的参数,这样解题,可以简化运算,优化解题过程,将使一些问题得到巧妙地解决.例3 一椭圆长短轴平行于坐标轴,与直线2 x +y = 1 1相切于点P ( 4 , 3 ) ,它还经过点Q ( 0 , - 1 ) ,R ( 1 , 1 0 + 1 ) ,求椭圆方程.由题意,将点P ( 4 , 3 )视为退化椭圆,其方程为( x -
5、4 ) 2 + n ( y - 3 ) 2 = 0 ( n 0 , n 1 ) .由此所求椭圆长、短轴与坐标轴平行且与直线2 x + y =1 1相切于点P的椭圆方程可设为( x - 4 ) 2 + n ( y - 3 ) 2 + ( 2 x + y - 1 1 ) = 0 . 将Q 、 R点坐标代入式得n = 1 / 2 , = 2化简得2 ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = 1 2 ,即所求椭圆方程为( x - 2 )26 +( y - 1 ) 21 2 = 1 .4 借用平面向量由于平面向量融数、形于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份” ,使它成为中学数学知识的
6、一个交会点和联系多项内容的媒介.例4 椭圆x29 +y 24 = 1的焦点为F 1 、 F 2 ,点P为椭圆上的动点,当 F 1 P F 2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.由题意,设P ( x 0 , y 0 ) 、 F 1 ( - 5 , 0 ) 、 F 2 ( 5 ,0 ) ,则P F 1 = ( - 5 - x 0 , - y 0 ) , P F 2 = ( 5 -x 0 , - y 0 ) .由 F 1 P F 2为钝角,得P F 1 P F 2 0 )与连接2点A ( 1 , 2 ) 、 B ( 3 , 4 )的线段没有公共点,求a的范围.此题若从正面解需分A 、 B 2点都在椭圆
7、外或都在椭圆内2种情况考虑,如果利用补集思想求解,则可以避免分情况讨论,运算简洁.设a的允许值的集合为全集I = a | a R, a 0 ,先求椭圆和线段A B有公共点时a的取值范围.易得线段A B的方程是y = x + 1 , x 1 , 3 ,由方程组x2 / 2 + y 2 = a 2 ,y = x + 1 ,得a 2 = 32 x 2 + 2 x + 1 , x 1 , 3 ,解得9 / 2 a 2 4 1 / 2 .因为a 0 ,所以3 2 / 2 a 8 2 / 2 .故当椭圆与线段A B无公共点时a 8 2 / 2或0 0 ,二次函数y =f ( x )的图象与k轴在( - ,
8、 4 )和( 4 , 9 )内各有一个交点,即f ( x ) = 0有2个实根k 1 、 k 2 ,且k 1 0 ,x 1 + x 2 = 2 k1 - k 2 0 ,所以1 2 .9 参数思想处理圆锥曲线问题,可以通过引入参变量替换,使许多相关或不相关的量统一在参变量下,其妙处在于减少未知量的个数或通过“设而不求的参数”转化原命题的结构,以达到简化解题过程的目的.例9 求证:过椭圆的焦点的诸弦中点的轨迹是一个椭圆.01ChaoXing重点辅导世界上最壮丽的宫殿是藏书最多的图书馆.设椭圆的方程为x2a 2 +y 2b 2 = 1 ( a b 0 ) ,M 1 ( x 1 , y 1 ) 、 M
9、 2 ( x 2 , y 2 ) , M 1 M 2的方程为y = k ( x - c )( k为斜率) .因为P ( x , y )是弦M 1 M 2的中点,所以x = x 1 + x 22 .由y = k ( x - c ) ,b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ,得( a 2 k 2 + b 2 ) x 2 - 2 a 2 k 2 c x + a 2 ( k 2 c 2 - b 2 ) = 0 .再由根与系数的关系得x 1 + x 2 = 2 a2 k 2 ca 2 k 2 + b 2 ,所以x = a2 k 2 ca 2 k 2 + b 2 .因为P点在直线y =
10、k ( x - c )上,所以y = k ( a2 k 2 ca 2 k 2 + b 2 - c ) = -b 2 k ca 2 k 2 + b 2 ,所以P点轨迹的参数方程为x = a2 k 2 ca 2 k 2 + b 2 . y = - b2 k ca 2 k 2 + b 2 . 由 ,再采用代入,消去参数k ,得b 2 x 2 -b 2 c x + a 2 y 2 = 0 ,配方得b 2 ( x - c2 ) 2 + a 2 y 2 = b2 c 24 ,整理得( x - c / 2 )2(c / 2 ) 2 +y 2( b c / 2 a ) 2 = 1 ,它的轨迹是一个椭圆.10
11、转化思想有些圆锥曲线问题的求解过程,实际上就是数学问题的转化过程.它主要体现在条件由“隐”转化为“显” ,结论由“暗”转化为“明” ,即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程.例10 当a为何实数时,椭圆( x - a )22 + y2 = 1与曲线C : y 2 = 12 x有公共点?椭圆方程变形为( x - a2) 2 + y 2 = 1 .设x - a2 =c o s , y = s i n ,即x = a + 2 c o s , y = s i n 代入曲线C得s i n 2 = 12 ( a + 2 c o s ) ,即a = 2 s i n 2 - 2 c o s . 椭圆与曲
12、线C有交点,等价于方程有解,即等价于求函数y = 2 s i n 2 - 2 c o s 的值域,所以a =2 s i n 2 - 2 c o s = 9 / 4 - 2 ( c o s + 2 / 4 ) 2 - 2 9 / 4 .因为- 2 ( c o s + 2 / 4 ) 2 9 / 4 ,所以a的取值范围是 - 2 , 9 / 4 .(作者单位:河北省乐亭县第二中学) 浙江 刘允忠从近几年全国各地高考试题来看,高考对线性规划问题的考查主要题型是在不等式约束条件下,求线性或非线性目标函数的最值,或以最值为载体求含参数值、范围问题,或探求区域面积问题、解决实际问题及隐性线性规划问题等.本
13、文就此类常见题型与解题策略总结如下.1 约束条件下的线性目标函数的最值问题线性约束条件下的线性目标函数的最值问题是近几年高考中的重点题型,当然解决这类问题也相对简单.解题策略主要是借助直线的截距的几何意义以及平面区域图形求解.例1 已知实数x 、 y满足y 1 ,y 2 x - 1 ,x + y 8 ,则目标函数z = x - y的最小值为( ) .A - 2 ; B 5 ; C 6 ; D 7如图1 ,由z = x - y ,得y = x - z .作出不等式对应的平面区域B C D ,平移直线y = x - z ,由平移可知,当直线y = x - z经过点C时,直线的截距最大,此时z最小.易求得C ( 3 , 5 ) ,代入z = x - y得最小值为z = 3 - 5 = - 2 .故选A .图1平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域” ,二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集.线性目标函数z = a x + b y中的z不是直线a x + b y = z在y轴上的截距,把目标函数化为y = - ab x + zb可知zb是直线a x + b y = z在y轴上的截距,要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得11ChaoXing
