1、模块基本信息一级模块名称 积分学 二级模块名称 计算模块三级模块名称 凑微分法 模块编号 4-91、积分基本公式 模块编号 4-7先行知识 2、牛顿莱布尼茨公式 模块编号 4-6知识内容 教学要求 掌握程度1.凑微分法求不定积分 1.会运用凑微分法求不定积分2.凑微分法求定积分 2.会运用凑微分法求定积分熟练掌握1.培养学生的知识迁移能力能力目标2.培养学生的计算能力时间分配 90 分钟 编撰 尧克刚 校对 熊文婷 审核 危子青修订人 张云霞 二审 危子青一、正文编写思路及特点思路：在熟练掌握积分基本公式的基础上，引入凑微分法，按照由易到难的顺序讲题例题、安排习题，使学生能够灵活运用凑微分积分
2、法求函数的不定积分。在学习完不定积分的凑微分法后再来学习定积分的凑微分法。特点：通过变换习题的手段，一方面进一步的巩固积分基本公式，另一方面锻炼学生的观察能力和知识的迁移能力。2、授课部分（一） 新课讲授利用基本积分公式与不定积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的.因此有必要进一步来研究不定积分的求法.由微分运算与积分运算的互逆关系，我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元法积分法，简称换元法。我们来讨论两类换元法-第一类换元法和第二类换元法.本节课我们来学习第一换元法，也称为凑微分法.1、不定积分的凑微分法（第一换元积分法）（1）
3、基本积分公式的推广定理：若 ,则()()fxdFC()(f()()uxfdFuC()x例如：22 2uxxuxedee3coscosinsi3uxd（2）引例：求不定积分 2xe分析：在基本积分公式中只有 .比较 与xxdeCxed这两个积分，我们发现区别只是 的幂次相差一个常数因子，2xed但显然 .如果将 中的 凑上一个常数因子 2，使之2xxeCx成为下式 2221xxxeded然后再令 ，那么上述积分就变为u221xxueded这样就将原不定积分化为可用基本积分公式的问题了，而 ,最后将 代回，从而有uedC2ux21xxueded2uxC由于 ，所以计算结果正确.21()xxe（3）
4、 不定积分的凑微分法（第一换元法）将引例抽象化，对于具有形如 的不定积分，可利()fxd用下面的积分方法： ()()()(uxfxdfxdf定理 1 设 f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式 CxFudffdxf )()()( 其中， , 此称为积分形式的不变形，又称为第一换元积()Fu分法或凑微分法。总结：凑微分法的关键是凑成微分 的形式，即()()xd通过凑成某个函数的微分，进一步的凑成基本积分公式，然后利用基本公式积出来（4）案例讲解例 1. 求下列函数的不定积分(1) （一级） (2) （一级）cos2xd 13dx(3) （一级） 3(1)解: (1) (令 )1cos2c
5、os2cosxdxdud2x1sinsi22uCx注：此题利用凑微分公式 ，从而凑出了d这个积分公式cosinud(2) (令 )11(3)32xxdu3xlnluC注：此题利用凑微分公式 ，从而凑出了(3)dx这个积分公式1lndu(3) （）33(2)(12)()xxd（ ） 3u441(12)8CxC注：此题利用凑微分公式 ，从而凑出了d这个积分公式341ud在计算比较熟练以后，换元这一步可以省略，即按如下方法写出计算过程： 331(12)(2)(1)xdxd4(12)8xC例 2. 求下列函数的不定积分(1) （二级） (2) （二级）2xed 21xd(3) （二级） (4) （二级
6、）1lnx 2cosx(5) （二级） (6) （二级）cosinxd xed（7） （二级）(12l)x解: (1) 2221xxxedeC(2) 2221()xdxd33221()()CxC(3) 1lnllndxx(4) 21coscossidCx(5) in2isinsxdx(6) 2xxxeeC（7） 1(2ln)(12ln)lddxxlxC由以上题目可见，凑微分是通过凑出某个函数的微分进一步的凑成基本的积分公式，从而掌握一些常用的凑微分方法是必要的，下面是一些常用的凑微分方法：（1） 1()()()0;faxbdfaxbda（2） 1()();ff（3） (ln)(ln);fxdf
7、xda（4） 1(;lxxffa特别地， ();xxfedfe（5） (sincosin(i;ff（6） )ico)s;fxdfxd（7） 2(tansec(tant;ff（8） 21t)t)(tan);frxdfrcxdrcx（9） 2(arcsin)(arsi)(rsi);1f fx（10） ()()(;fgdfgdx例 3. 求下列函数的不定积分(1) （二级） (2) （a0） （二级） 21dxa 21dx(3) （二级） 2x解：(1) 22211()dxdxaa Caxxdarctn1)(2 即 21arctnxdxCa(2) 221()dxxa21()dxa rcsinC即 2
8、1arixdx(3) 2 1()dx1axa1()()2ddx1lnlxaCl2x即 这样，我们 得到三个积分公式：21lnxadCxa21arctnxdxa21arcsinxdCx2lxaa(选讲) 例 4 求下列函数的不定积分 （提高部分，可选讲）(1) （三级） (2） （三级）arctn(1)xd lntasicoxd解： （ 1） 2arctnarctnarctn2() 1()xxxdddrtarctx2arctnx（ 2） 2lntllnta1sicocosxxdddtx= 2lntal(lta)txc2、定积分的凑微分法（第一换元积分法）由牛顿莱布尼茨公式可知，定积分的凑微分法与
9、不定积分的凑微法类似，只是多了一步将上、下限代入的步骤.类似于不定积分的思路，我们可以得到如下定理定理 2 设 f(u)具有原函数可导 F(u)则有换元公式 )()()()( aFbaudfxdfba 例 5 求下列函数的定积分（1） （一级） （2） （一级） 402cosxd 13dx（3） （二级） （4） （二级）210xe 120（5） （二级）350sinidx（1） 解： 4440002cocos2()cos2xdxdin1（2）解： 11(32)32dxxd132dx= 1ln()ln5（3）解： 222211110000()xxxxeddee（4）解： 111222000()d1312220 0()()xdx（5）解： 3533000coscosincosdx 5204x3、能力反馈部分1、用凑微分法求下列函数的不定积分（1） （一级） （2） （二级） dx3)2( dtsin（3) （二级） （4） （二级）x)cos(2 x431（5） （二级） （6) （二级）dx3csinxed(7) （二级） （8） （二级）io dx22sin4co31(9) （三级） (10) （三级） dx239ari(1)xd2、用凑微分法求下列函数的定积分（二级） （一级） 320(1)adx 23()1dx（二级） （二级）32()x26(4)cosu
