1、1动点轨迹方程的常见求法一、待定系数法；它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。例 1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为 2 ，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴比双曲13线的半实轴大 4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为 3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。解：如果双曲线和椭圆的焦点在 x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在 x 轴上，那么可设椭圆方程为 + = 1，2axby双曲线的方程为 = 1。2mny2c = 2 , c = .13a m = 4 , : = ,
2、 a = 7 , m = 3 .nb = a c = 36 , n = c m = 4 .2222椭圆方程为 + = 1，双曲线的方程为 = 1 ；49x36y92xy如果双曲线和椭圆的焦点在 y 轴上，同理可得：椭圆方程为 + = 1，双曲线的方程为 = 1 。2yx2y4x二、直译解析法；该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。例 2、已知两定点 A、B， = 3，求使PBA = 2PAB 成立的动点 P 的轨迹方程。解： 以点 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴， y建立直角坐标系如右图：
3、P (x,y) 则 B 点坐标为(3, 0)，设 P 点坐标为 (x, y),PAB = , 则PBA =2 A B x= K = tg( 2 ) = - tg23xyPB= = = 21tg2)(xy2yy = 0 (0 ，其轨迹方程为：y = 1 (y -1)A22248x四、几何性质法；根据动点所满足的平面几何性质得到等量关系求出其轨迹方程。例 4、已知圆 O：x + y = 16 及点 A(2, 0)，求过 A 且与圆 O 相切的诸圆圆心 P 的2轨迹方程。解：如右图：过 A 且与圆 O 相切的圆，只能与圆 O 相内切，根据两圆相内切的性质：连心线必过其切点，设切点为 M，则 O、P、
4、M 共线，= + 。又因为 A 在圆 P 上， yMP= 。 + = = 4。 M故 P 的轨迹是以 O、A 为焦点，长轴长为 P= 4 的椭圆。 O A x故 P 的轨迹方程： + = 1。4)2x（ 3y五、相关点法；若动点 P(x, y)依赖于某已知曲线上的另一个动点 P (x ,y )而运动，且 x , y 可用 x, y 表示，则将 P (x ,y )代入已知11 1曲线，求出 P 点的轨迹方程。此法也称代入法或转移法。例 5、定点 A(3,0)为圆 x + y = 1 外一定点，P 为圆上任一点， （除出圆与 x 轴的交点）, POA 的平分线交 PA 于点 Q, 2求出 Q 点的
5、轨迹方程。解：如右图：设 Q(x,y) , P(x ,y ) ,o由于 OQ 平分POA ,则有： y = = =3 ，即 Q 分 AP 的比为 3， P PAO由定比分点公式得： B O C A x 解得 代入 x + y = 1 得：310xyxy3402（x ） + y = 。42169六、复数法；利用复数的几何意义，把动点的运动看成是复数对应的向量的旋转与模的伸长与缩短而得出所求的轨迹方程。例 6、已知椭圆 + = 1 的右焦点为 F，B 为椭圆上的动点，FAB 为正三角形，且 F、A、B 为逆时针方向排序，92x5y求出 A 点的轨迹方程。Q O3解：设椭圆上任意一点所对应的复数是
6、Z ，依题意复数满足方程：B+ = 6。设点 A 所对应的复数是 Z，2BZB因为 F、A、B 为逆时针方向排序，FAB 为正三角形，所以向量 可由向量 沿逆时针方向旋转 而得到。F3Z 2 = (Z 2)(cos + isin ) yB3Z + 2 = (1 + )(Z 2 i) A1 B对、两式分别取模后相加得： X+ = + = 62i32BZB故 A 点的轨迹的复数方程为： + = 6。 iZ32七、引参消参法； 若题目出现当动点运动所受限制条件较多，不易直接建立 x、y 的某种联系，但且发现 x、y 同时受到另外一个变量 t（如角度、斜率、截距等）的制约而将它们用 t 表示，然后通过
7、消去变量 t 而得到所要求的动点的轨迹方程 f(x, y)=0。例 7、过点 M(-2, 0)作直线 L 交双曲线 x y = 1 于 A、B 两点，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB。求动点 P2的轨迹方程。解：设过 M 的直线方程为: y = k (x + 2) (k 0，k 1)，代入双曲线 x y = 1 得：（1 k ）x 4 k x 4 k 1 = 02222OAPB 为平行四边形，则：x = x + x = ； yPAB24ky = y + y = k (x + x ) + 4k = 。 P AB214kBA消去 k 得 x y + 4xp = 0 M O xP2当 L
8、x 轴时，P 点坐标为（-4，0） ，也满足上述方程。而由 k 0，得 x 0。P故所求的轨迹方程为：x y + 4x = 0 (x 0)。2八、交轨法；它常常适用于出现需求两曲线交点的轨迹方程问题 ，解此类问题往往需借助解方程组得出含有某参数的交点坐标，再消去参数而得到所求动点的轨迹方程。例 8、已知椭圆 + = 1（ab0 ）和定点 A(0, b), B(0, -b), C 是椭圆上的动点, 求 ABC 的垂心 H 的轨迹方程。2axby解：设椭圆上 C 点(acos , bsin )，又 A(0, b)、B(0, -b)。AC 边的高线的方程为：y = b ,xasinco而 AB 边的
9、高线的方程为：y = bsin ,设 H(x, y)，则点 H 适合O F 4即 ，由 cos + sin = 1 得bxaysincocosin2abxy22+ = 1。又点 C 不能与 A、B 重合，所以 y b 。24a 故所求的轨迹方程为： + = 1 （x 0） 。24abxy九、极坐标法；根据题意建立极坐标系，引入动点的极坐标，寻找动点变量间的等量关系而求出动点轨迹的极坐标方程，再化极坐标方程为普通方程。例 9、已知AOB =2 (0 )，其内一动点 P,从点 P 向角的两边分别作垂线 PQ、PR，且四边形 OQPR 的面积为定2值 a ，求动点 P 的轨迹方程。2解：以 O 点为
10、极点，AOB 的平分线为极轴建立极坐标系，设 P( , )= cos( + ) , = sin( + ),RR= cos( ) , = sin( )QPsin( + )cos( + ) + B21 Qsin( ) cos( ) = a O P x 2即 sin2( + ) + sin2( ) = a A4122Rsin2 cos2 = a cos2 = 22sin即动点 P 的轨迹方程为：x y = 2a csc2 (在AOB 的内部的一段)。22十、向量法;利用向量具有几何和代数形式的双重属性来探求解析几何轨迹问题也是常见的方法之一.例 10 、两根杆分别绕着定点 A 和 B (AB = 2a) 在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直,求两杆交点的轨迹方程.解：建立坐标系如右图:设点 P 的坐标为(x , y), 则= (x+a , y) , = (xa , y) y PAPB = (x+a)(xa) + y = 0 , A O B x2即所求的轨迹方程为:x + y = a (x a) .
