1、1,复变函数论多媒体教学课件,Department of Mathematics,第二节 用留数计算定积分,2,留数定理的应用-积分的计算:,（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论； （3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。,利用留数计算积分的特点： （1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；,3,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被
2、积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,形如,4,z的有理函数 , 且在单位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 .,包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.,注 :,5,例1,解,故积分有意义.,6,7,因此,8,注 :,此时,例2 计算积分,解,则,9,10,由留数定理,例3 计算,解,11,由留数定理,12,注 :,例4 计算积分,解,13,14,在许多实际问题中，往往要求计算反常积分的值，如,数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷.,15,1引理6.1,证明,因为,于是有,16,于是有,17,2定理6.7,18,证明,由条件(1),(2)及数学分析的结论,知,根据留
3、数定理得 :,19,或写成,因为,20,解,例5,21,22,解,例6,23,24,引理6.2,25,证明,于是就有,于是由Jordan不等式,26,将(6.13)化为,应用引理6.2,完全和证明定理6.7一样可得,27,2定理6.8,则有,注:将(6.14)分开实虚部,就可得到形如,的积分.,28,证明,根据留数定理得 :,29,或写成,因为,30,例7 计算积分,解,且在上半平面只有二级极点,31,32,四 计算积分路径上有奇点的积分,引理6.3,证明,因为,于是有,33,于是有,34,例8 计算积分,解,即,35,由引理6.2知,由引理6.3知,36,解,五 杂例,例9,它是一个整函数,则,37,而,38,比较两端实部与虚部即得,弗莱聂尔(frensnel)积分,即,39,本节结束谢谢！,Complex Function Theory,Department of Mathematics,
