1、上海市杨浦区 2018 届高三上期末（一模）数学试卷2017.12一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 计算 的结果是 1lim()n2. 已知集合 ， ，若 ，则实数 ,2A3,4B3ABm3. 已知 ，则 3cos5sin()4. 若行列式 ，则 1240xx5. 已知一个关于 、 的二元一次方程组的增广矩阵是 ，则 xy120xy6. 在 的二项展开式中，常数项的值为 62()7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具），先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 8
2、. 数列 的前 项和为 ，若点 （ ）在函数 的反函数的图nanS(,)n*N2log(1)yx像上，则 9. 在 中，若 、 、 成等比数列，则角 的最大值为 ABCsiiBsiCB10. 抛物线 的焦点与双曲线 的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近28yx21xya线的夹角为 11. 已知函数 ， ，设 ，若函数3()cos(incos)2fxxxR0a()gx为奇函数，则 的值为 12. 已知点 、 是椭圆 上的两个动点，且点 ，若 ，则实CD214xy(0,2)MDC数 的取值范围为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 在复平面内，复数 对应的点位于（
3、）2izA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限14. 给出下列函数： ； ； ； .2logyx2y|xarcsinyx其中图像关于 轴对称的函数的序号是（ ）A. B. C. D. 15. “ ”是“函数 在 内存在零点”的（ ）0t2()fxt(,)A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16. 设 、 、 、 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足 ，ABCD0ABC， ，用 、 、 分别表示 、 、 的面积，00S23D则 的最大值是（ ）123SA. B. 2 C. 4 D. 8三. 解答题（本大题共 5 题，
4、共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图所示，用总长为定值 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的l篱笆隔开.（1）设场地面积为 ，垂直于墙的边长为 ，试用解析yx式将 表示成 的函数，并确定这个函数的定义域；yx（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18. 如图，已知圆锥的侧面积为 ，底面半径 和 互相垂直，且 ， 是母线15OAB3OAP的中点.BS（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线 与 所成角的大小. SOPA（结果用反三角函数值表示）19. 已知函数 的定义域为集合 ，集合 ，且 .1()lnxfA(,1)BaBA（1）求实数 的取值范围；
5、a（2）求证：函数 是奇函数但不是偶函数.()fx20. 设直线 与抛物线 相交于不同两点 、 ， 为坐标原点.l2:4yxABO（1）求抛物线 的焦点到准线的距离；（2）若直线 又与圆 相切于点 ，且 为线段 的中点，求直线l2:(5)16CMA的方程；l（3）若 ，点 在线段 上，满足 ，求点 的轨迹方程.0OABQABQB21. 若数列 ： ， ， ， （ ）中 （ ）且对任意的 ，A1a2na3*iaN1in21kn恒成立，则称数列 为“ 数列”.1kkaAU（1）若数列 1， ， ，7 为“ 数列” ，写出所有可能的 、 ；xy xy（2）若“ 数列” ： ， ， ， 中， ， ，求
6、 的最大值；U1a2na12017nan（3）设 为给定的偶数，对所有可能的“ 数列” ： ， ， ， ，记0nA0a，其中 表示 ， ， ， 这 s 个数中最大的数，012max,nM 12mx,s1x2x求 的最小值.M参考答案一. 填空题1. 3 2. 3. 2 4. 6 5. 351606. 7. 1 8. 9. 10. 121na3311. 12. *()6kN,二. 选择题13. C 14. B 15. A 16. B三. 解答题17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1）设平行于墙的边长为 ，a则篱笆总长 ，3lx即 ， 2 分a所以
7、场地面积 ， （定义域 2 分） 6 分()yl(0,)3lx（2） ， 8 分2361lxll(0,)3lx所以当且仅当 时， 12 分6max1y综上，当场地垂直于墙的边长 为 时，最大面积为 14 分6l21l18 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）解 1：（1）由题意， 得 ， 2 分5OASBS故 4 分2234S从而体积 . 7 分2113V（2）如图，取 中点 ，联结 . 由 是 的中点知 ，则BHPASBPHSO（或其补角）就是异面直线 与 所成角. APSO10 分由 平面 平面 .SOBH在 中，由 得 ；11 分HA235A在 中，
8、 ， ， 12 分RtP901PS2则 ，35tan4AH所以异面直线 与 所成角的大小 14 分SOP35arctn4(其他方法参考给分)19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1）令 ，解得 ，所以 ， 3 分0xx(1,)A因为 ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 6 分BA1a0aa1,0（2）函数 的定义域 ，定义域关于原点对称 8 分()fx(,)12 分(ln1()f1llnln()xxf而 ， ，所以 13 分)l32f 1l23f()(2ff所以函数 是奇函数但不是偶函数. 14 分(x20 （本题满分 16 分，第 1 小题
9、满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分）解：（1）抛物线 的焦点到准线的距离为 2 4 分（2）设直线 :lxmyb当 时， 和 符合题意 5 分019当 时， 、 的坐标满足方程组 ，(,)A2(,)Bx24xmyb所以 的两根为 、 。240yb1y2， ，所以 ，16()m124m21212xybb所以线段 的中点 7 分AB(,)M因为 ， ，所以 ，得CkABk25CMkm23所以 ，得2216()(3)0b3因为 ，所以 （舍去） 2|5|41rm2综上所述，直线 的方程为： ， 9 分lx9（3）设直线 ，:AByb、 的坐标满足方程组 ，1(,)xy2
10、(,)24xyb所以 的两根为 、240m1y， ，6()b124m2b所以 ，得 或 12 分2140OABx b4时，直线 AB 过原点，所以 ； 13 分0(0,)Q时，直线 AB 过定点 4b4P设 ，因为 ，(,)QxyAB所以 （ ） ， 15 分22(,),)0Oxyxy x综上，点 的轨迹方程为 16 分2421 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分）解：（1） x=1 时， ，所以 y=2 或 3；27yx=2 时， ，所以 y=4； 时， 无整数解42x127xy所以所有可能的 x， y 为 ， 或 3 分123
11、xy24（2） 的最大值为 ，理由如下 4 分n65一方面，注意到： 111kkkkaaa对任意的 ，令 ，则 且 （ ） ，故i1iiibibZb21n对任意的 恒成立 （）1kb2n当 ， 时，注意到 ，得a07n1210a（ ）12 1()()() 1iiii ibbi 个 21in即 ，此时ib（）1112212()()()0()2nnnaaaabnn即 ，解得： ，故 7 分()7656另一方面，为使（*）取到等号，所以取 （ ） ，则对任意的 ，1ib4i264k，故数列 为“ 数列” ，1kbnaU此时由（）式得 ，65163022016所以 ，即 符合题意 综上， 的最大值为 65 9 分65207an（3） 的最小值为 ，证明如下： 10 分M208n当 （ ， ）时，02nm*N一方面：由（）式， ，1kb此时有：21()()()kkmkkkbbbm1212211 1()()(mmmaabb 即 121)()mmaa故 121()1()22maamM因为 ，所以 15 分02n00()8nn另一方面，当 ， ， ， ， ，1b21mb0m1b时，21mb 1 1()()kkkkkaaa 取 ，则 ， ， ，且a1m123122a12()()b212211mmmab此时 2012 8()nMa综上， 的最小值为 18 分08n
