1、2018 年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）1已知集合 A=1，2，5，B=2，a，若 AB=1，2，3，5，则 a= 2抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 3不等式 0 的解是 4若复数 z 满足 iz=1+i（i 为虚数单位） ，则 z= 5在代数式（x ） 7的展开式中，一次项的系数是 （用数字作答）6若函数 y=2sin（x ）+1（0）的最小正周期是 ，则 = 7 （5 分）若函数 f（x）=x a的反函数的图象经过点（ ， ） ，则 a= 8 （5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的
2、直线旋转一周，所得几何体的体积为 27cm 3，则该几何体的侧面积为 cm 29 （5 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）=2 xax，且 f（2）=2，则 a= 10 （5 分）若无穷等比数列a n的各项和为 Sn，首项 a 1=1，公比为 a ，且 Sn=a，则 a= 11 （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法 （用数字作答）12 （5 分）在 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC，AC 于点 D，E若 =6，| |=2，则 A
3、C= 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）13 （5 分）展开式为 adbc 的行列式是（ ）A B C D14 （5 分）设 a，bR，若 ab，则（ ）A Blgalgb Csin asin b D2 a2 b15 （5 分）已知等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“S 4+S62S 5”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16 （5 分）直线 x=2 与双曲线 y 2=1 的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线上任一点，若 =a +b （a，bR，O 为坐标原点） ，则下列不等式恒成立的是（ ）Aa
4、2+b21 B|ab|1 C|a+b|1 D|ab|2三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17 （14 分）如图，长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AB=BC=2，A 1C 与底面 ABCD 所成的角为 60，（1）求四棱锥 A1ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1B 与 B 1D1所成角的大小18 （14 分）已知 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1（1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时 x 的值；（2）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若 a= ，b= ，且 f（ ）=，求边 c 的值19 （14 分）2016 年崇明区政府投
5、资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长 50%记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （nN*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入累计投入，单位：千万元） ，且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由20 （16 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： +y2=1 （a0，a1）的两个焦
6、点分别是 F1，F 2，直线 l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于 A，B 两点（1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF 1F2是直角三角形，求 a 的值；（2）若 k=1，且OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形，求 a 与 m 满足的关系；（3）若 a=2，且 kOAkOB= ，求证：OAB 的面积为定值21 （18 分）若存在常数 k（k0） ，使得对定义域 D 内的任意 x1，x 2（x 1x 2） ，都有|f（x 1）f（x 2）|k|x 1x 2|成立，则称函数 f（x）在其定义域 D 上是“k利普希兹条件函数” （1）若函数 f（x）= ， （1x4）是“k利普希兹条件函
7、数” ，求常数 k 的最小值；（2）判断函数 f（x）=log 2x 是否是“2利普希兹条件函数” ，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若 y=f（x） （xR ）是周期为 2 的“1利普希兹条件函数” ，证明：对任意的实数x1，x 2，都有|f（x 1）f（x 2）|1三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17解：（1）长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AB=BC=2，AA 1平面 ABCD，AC= =2 ，A 1CA 是 A1C 与底面 ABCD 所成的角，A 1C 与底面 ABCD 所成的角为 60，A 1CA=60，AA 1=ACtan60=2 =2 ，S 正方形
8、ABCD=ABBC=22=4，四棱锥 A1ABCD 的体积：V= = = （2）BDB 1D1，A 1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1所成角（或所成角的补角） BD= ，A 1D=A1B= =2 ，cosA 1BD= = = A 1BD=arccos 异面直线 A1B 与 B 1D1所成角是 arccos 18解：f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）（1）当 2x+ = 时，即 x= （kZ） ，f（x）取得最大值为 2；（2）由 f（ ）= ，即 2sin（A+ ）=可得 sin（A+ ）=0A A A = 或A= 或当 A=
9、时，cosA= =a= ，b= ，解得：c=4当 A= 时，cosA= =0a= ，b= ，解得：c=219解：（1）由题意知，第 1 年至此后第 n（nN *）年的累计投入为 8+2（n1）=2n+6（千万元） ，第 1 年至此后第 n（nN *）年的累计净收入为 + + + = （千万元） f（n）= （2n+6）= 2n7（千万元） （2）方法一：f（n+1）f（n）= 2（n+1）7 2n7= 4，当 n3 时，f（n+1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递减；当 n4 时，f（n+1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递增又 f（1）= 0，f（7）= 5 21= 0，f（8）
10、= 232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利；方法二：设 f（x）= 2x7（x1） ，则 f（x）= ，令 f（x）=0，得 = =5，x4从而当 x1，4）时，f（x）0，f（x）递减；当 x（4，+）时，f（x）0，f（x）递增又 f（1）= 0，f（7）= 5 21= 0，f（8）= 232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利20解：（1）M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF 1F2是直角三角形，MF 1F2为等腰直角三角形，OF 1=OM，当 a1 时， =1，解得 a= ，当 0
11、a1 时， =a，解得 a= ，（2）当 k=1 时，y=x+m，设 A（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，由 ，即（1+a 2）x 2+2a2mx+a2m2a 2=0，x 1+x2= ，x 1x2= ，y 1y2=（x 1+m） （x 2+m）=x 1x2+m（x 1+x2）+m 2= ，OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形， =0，x 1x2+y1y2=0， + =0，a 2m2a 2+m2a 2=0m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当 a=2 时，x 2+4y2=4，设 A（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，k OAkOB= ， = ，x 1x2=4y
12、1y2，由 ，整理得， （1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0x 1+x2= ，x 1x2= ，y 1y2=（kx 1+m） （kx 2+m）=k 2x1x2+km（x 1+x2）+m 2= + +m2= ， =4 ，2m 24k 2=1，|AB|= = =2 =O 到直线 y=kx+m 的距离 d= = ，S OAB = |AB|d= = = =121解：（1）若函数 f（x）= ， （1x4）是“k利普希兹条件函数” ，则对于定义域1，4上任意两个 x1，x 2（x 1x 2） ，均有|f（x 1）f（x 2）|k|x 1x 2|成立，不妨设 x1x 2，则 k = 恒成立1x 2
13、x 14， ，k 的最小值为 （2）f（x）=log 2x 的定义域为（0，+） ，令 x1= ，x 2= ，则 f（ ）f（ ）=log 2 log 2 =1（2）=1，而 2|x1x 2|= ，f（x 1）f（x 2）2|x 1x 2|，函数 f（x）=log 2x 不是“2利普希兹条件函数” 证明：（3）设 f（x）的最大值为 M，最小值为 m，在一个周期0，2内 f（a）=M，f（b）=m，则|f（x 1）f（x 2）|Mm=f（a）f（b）|ab|若|ab|1，显然有|f（x 1）f（x 2）|ab|1若|ab|1，不妨设 ab，则 0b+2a1，|f（x 1）f（x 2）|Mm=f（a）f（b+2）|ab2|1综上，|f（x 1）f（x 2）|1
