1、应用弹塑性力学考试用基本公式-1弹性力学基本方程1 平衡方程=+0xzxyxxfzyx、=+0yzyyxyfzyx0=+ f在直角坐标系中：简记为：=+0zzyzxzfzyx 1 , ijji=+=+0210rzrrrrzrrffrzrr在柱坐标系中=+01zrzzzrzfrzrrrzrr在柱坐标系中 ：在球坐标系中应用弹塑性力学考试用基本公式-2() ( )=+1110211sin1fctgrrrrrrrrrr( ) +=+03111023sinfctgfctgrrrrrrr= sin rrrrr2、几何方程：在直角坐标系中+=yuxvxuxyxr在直角坐标系中 ：+=wuwzvywyvyz
2、y+=xzzzxz)(1uu +wvu +简记为体积应变2, jiijij=zyx =简记为 ：体积应变在柱坐标系中 1应用弹塑性力学考试用基本公式-3uururrr+=1 uururuurzrr+=1体积应变urrzz=uurzrzzrz+=( )zuurrrurzr+=11体积应变z zr在球坐标系中 uu1ururr =11( )+=rrurrrri1)(sinuuctguurrr+= 1sin+=+=ruurur1)(s nsinrr =rrrr( ) ( ) sin112+=uuur体积应变sin2 rrrr体积应变3、物理方程（本构方程、广义虎克定律）：应用弹塑性力学考试用基本公式
3、-4其中 为工程弹性常数)(1zyxxE +=xyxyG1=,E 以应力分量表示应变分量：1)(1xzyyE +=yzyzG11=2(1 )EG =+)(yxzzE +=zxzxG =以应变分量表示应力分量：xxGG22+=+=xyxyxyGGGG=22其中 、 G 为拉梅系数。 =EzzyyG 2+=zxzxzxyzyzyzGG = 2( )( )( )+=+12211EGijijijG 2+=简记为： +=体积应变。zyx以应变能密度函数和应变余能密度函数表示应力和应变：应用弹塑性力学考试用基本公式-5ijijdU =0ijijU=0应变能应变余能*则ijijU=*0应变余能00UUiji
4、j= 4、边界条件：外力边界条件： =+xzxyxxTnml 简记为：+=+yzyyxyTlTnml ijjiTl =zzyzxznm 位移边界条件：= uu简记为 ：= vv简记为 ：iiuu = ww5、应变协调方程：222应用弹塑性力学考试用基本公式-6=+yxxyxyyx22=+zyyzyzzy22222=+xzzxzxxz22222+=xzyxzyyzxyzxx22+=yxzyxzzxyzxyy22+=xyzxyzz22zyxzyx2 位移法求解的主要方程 ： 以位移分量为基本未知量时 ，应用弹塑性力学考试用基本公式-7 ： 以位移分量为基本未知量时 ，1应力分量 (), ,ij i
5、j i j j i i iuvwGu u uxyz = + + =+ 其中( )22平衡方程（拉梅方程）,0iiiGGuf + + + =展开为：()20xGGufx+= 其中()20yGGvfy+=2222+=其中( )20zGGwfz +=222zyx 3 外力边界条件 ：外力边界条件 ：(2)( ) ( )xuvu wuGlG mG nTxxy xz += ()(2)( )()()(2)yuv v wvGlGmG nTyx y yzuw vw wGlG GT+ + + = zm nzx zy z+ + + = 3 力法求解的主要方程 ：应用弹塑性力学考试用基本公式-8 ：以应力分量为基本
6、未知量时，协调方程为 (Beltrami-Michell方程 )：( ) ( )221yff f +( ) ( )222121112x zxyx zxxy zff f + + = + + + + = + +() ()222211121yyx zzy x y zff fzx + + = + + () ()2211)yzyzffyz y z + + =+ + () ()22(x zzxf fzx z x + + =+ +() ()22yxxyffx yxy + + =+ + ( ) ( )22112yx zff f + + + +应用弹塑性力学考试用基本公式-92ff21xxx= + M( ) (
7、 )211)yzyzyz y z + + =+ + M其中zyx +=常体力下，有()21,0ij ij+ +=注意 无论是位移法还是力法求解弹性力学问题 需要在严格* 注意 ： 无论是位移法还是力法求解弹性力学问题 ， 需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组，在数学上往往是比较困难的 对于 一 些典型问题 常采用逆解法和半逆解法难的 。 对于 些典型问题 ， 常采用逆解法和半逆解法 。双调和函数 ：应用弹塑性力学考试用基本公式-10：1、提出：由于弹性力学方程的复杂性，为了在求解弹性力学问题时减少盲目性 ， 考察应力 、 应变 、 位移函数的特点 。题时减少盲目性 ， 考察应力 、 应
8、变 、 位移函数的特点 。2、不计体力（或体力为常数）时， 、 J1 是调和函数。由拉梅方程2() 0xGGufx+=222() 0GGuxx+=由拉梅方程2() 0yGGvfy+=2222() 0GGvyy+=2() 0zGGwfz+=22() 0GGwzz+= 三式相加 ， 有2222222()( ) ( )0uvwGGxyz xyz += 三式相加 ， 有弹性力学平面问题求解应用弹塑性力学考试用基本公式-111、基本方程和解法：(i).基本方程有 8个 ：()基本方程有 个平衡方程 2 个： =+0Xyxxyx=+0Yyxyxy1( )= 几何方程 3 个： =vxux()1()x xy
9、yyxEE =物理方程 3 个：+=xvyuyxyy2(1 )xy xyE+=其中，对于平面应力问题：对于平面应变问题EE,EE = =对于平面应变问题 ：2 , 11 = = 按位移法求解平面问题：（不妨以求解平面应力问题为例）应用弹塑性力学考试用基本公式-12平衡方程：22 211Eu u v +22 222 2012211xfxyxyEv v uf+ += +（ Lam 方程 ）22 20122yyxxy+ +=（ 方程 ）应力边界条件为：21() ()12xEuv uvlm f + + + = 21()( )12syxy yxEvuvulmfxy y x += s1直角坐标下变形调方程
10、（相容方程）应用弹塑性力学考试用基本公式-13. （）222yxyx += （ 2 20）22yxxy （ - ）22()(1)yxff +=+（ 2 21）22xyyx xy + （ - ）（平面应力情形）2222()0xyxy +=（ 2-23）444 4422420xxyy = + + =(2-25)应力的应力函数表示22x xfxy=22y yfyx=2xyx y = (2-24)：(, )xy=弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：1应用弹塑性力学考试用基本公式-14平衡微分方程 ：（ 4 1） + +0f+ =21 ：（ ）0f + +=u=1uu几何方程： = +（ 4 2）1u
11、uu = +物理方程：1()E =12(1)GE +=1()E =（ 4 3）(平面应力情形 )边界条件位移边界条件 ( )uu=( )uu应用弹塑性力学考试用基本公式-15：,s s =( ) ( )lm f +=应力边界条件：ss( ) ( )sslmf+=,uu 为边界上已知位移，,f f 为边界上已知的面力分量。（ 位移单值条件 ）弹性力学极坐标求解归结为应用弹塑性力学考试用基本公式-16（ 1） 由问题的条件求出满足式（ 4 6）的应力函数(,) 2224110= + + =（ 4 6）（ ）（ 2）由式 （ 4 5） 求出相应的应力分量 ：,（ ）（ ） ：22 =22211 =+
12、1 =（ 4 5）（ 3）将上述应力分量 ,满足问题的边界条件 ：（ ） ：位移边界条件：( ),suu =()suu =应力边界条件：( )()sslm f + =( ) ( )lmf+=（ 位移单值条件 ）ss,uu 为边界上已知位移，,f f 为边界上已知的面力分量。（ ）3. 轴对称问题应力分量与相容方程q应用弹塑性力学考试用基本公式-17轴对称问题： ()=O0=由式 （ 4 5） 和 （ 4 6） 得应力分量和相211 （ ） 和 （ ）容方程为：1 d222 = + 2d d =（ 4 9）2=（ 4 5）2d=应力分量：1 = 0 =相容方程：22210dddd+=平面轴对称问
13、题小结：应用弹塑性力学考试用基本公式-1822ln lnA BCD = + + + （ 4 10）（ 1）应力函数（ 2） 应力分量A（ ）2(1 2 ln ) 2B C=+ +A2(3 2ln ) 2B C =+ +0=（ 4 11） （ 3）位移分量1 A（ ）2(1 ) cos sinCI K + +(1 ) 2(1 ) (ln 1) (1 3 )uBBE =+ + +4sin cosBuHIKE =+（ 4-12）+式中： A、 B、 C、 H、 I、 K 由应力和位移边界条件确定。（ 3） 位移分量应用弹塑性力学考试用基本公式-19（ 4 12）1(1 ) 2(1 ) (ln 1)
14、(1 3 )AuBBE =+ + +4sin cosBuHIKE = + +（ - ）2(1 ) cos sinCI K + +式中： A、 B、 C、 H、 I、 K 由应力和位移边界条件确定。由式（ 4-12）可以看出： 应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但在轴对称应力情况下，若物体的几 何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。这时，物体内各点都不会有环向位移 即不论 和 取何值 都应有0， 和 ， ：。u=对这种情形，有0B HIK= = =式（ 4-12）变为：1(1 ) 2(1 )AuCE =+ + 4 12（ a） 0u=- （ ）2A此 时应用弹塑性力学考试
15、用基本公式-202rcr = +此 时 ：2Ac =+20rr= +=(I cos+K sin),(-I sin+Kcos) 代表物体的刚性平移；H：代表绕 OZ 轴的刚体转动。(4)平面应变问题EE将21 将 ：12斜截面上的正应力：应用弹塑性力学考试用基本公式-21全应力矢量 pN在外法线方向 n上的投影即为斜截面上的正应力 N： =pn=rr()()pi p j pk li mj nk+ +r rr rrrn nx yz+()xTx yz y nppl pm pn l m n p n p=+ + = =)()(llTzxyxxzpnnnmnmijzyzxzzyyxy =即 )( nnij
16、TN =（ 2-15）3斜截面上的切应力：全应力矢量 pN在斜截面内的投影即斜截面上的切应力分量为：|nnnp =rr或222 222 2()( )l+ + + （ 2 16）或nnn xyz x y zp ppp p pm pn = = + （ - ）主应力方程 ： 由 0lzxyxx应用弹塑性力学考试用基本公式-22主应力方程 ： 由=00nmzyzxzzyyxy方程有非零解，必须有：0xzxyx（ 2 20）=zzyzxyzyyx（ - ）行列式的展开式给出：032213=+ III （ 2-21）应力特征方程其中 ：zyxI 1+=（ 2-22）应力特征方程其中 ：zxyzxyxzzy
17、yxI 2222222+=（ ）（ 2-23）zxyzxyxyzzxyyzxzyxI 23+=321, III分别称为第 一 第二 第三 应力不变量（ 2-24）分别称为第 、 第二 、 第三八面体平面 上 的正应力 和切应力88应用弹塑性力学考试用基本公式-23八面体平面 的正应力 和切应力131321312332222118)( Illl =+=+= （ 2-32）2321912322213122332222112323222221218)()()()( llllll+=+=13322123222131)(2)(2 += （ 2-33）212132322213162)()()(II =+=
18、 213由此可知，正八面体各面上的应力分量是不变量。1)(而应用弹塑性力学考试用基本公式-2483 =+=zyxm而(2) 球形应力张量和应力偏量 的应力不变量： i 球张量 ：ijS 00 球张量=mmi0000)(应力特征方程m应力特征方程 ：0)(3=m即0333223=+mmm三个应力不变量：3)(332321223211+=+=mmmmII27)(332133+=mmI应力偏量 ： xzxyxxxzxymxSSS应用弹塑性力学考试用基本公式-25应力偏量 ：=yzyyyxyzmyyxijSSSSSSS)(zzzyzxmzzyzx应力偏量的三个不变量：2222103zxyzxyxxzz
19、zzyyyyxxmzyxzzyyxxSSSSSSSSSJSSSJ +=+=+=22222233mmzxyzxyxzzyyxI =+=222222222)(6)()()(61zxyzxyxzzyyx +=212332mmxyzzzxyyyzxxzxyzxyzzyyxxIIISSSSSSSSSSSSJ +=+=主应力状态下的应力偏量应用弹塑性力学考试用基本公式-26=mmijSSS 212100000000)( mS 3300000SSS232221212132322216123211)()()()( SSSJJ+=+=+=3213SSSJ =由SSSSSSJ*由利用1332212+=0321=+
20、 SSS即故0)(2133221232221=+ SSSSSSSSS)(23222121133221SSSSSSSSS +=+故1 2 3 4 5 6应用弹塑性力学考试用基本公式-27l= 0 0 012121m= 0 0 0n= 0 0 0111211212 2=N( )232 ( )231 ( )221=N ( )232 +( )231 +( )221 +平分 YOZ 平分 XOZ 平分 XOY3 2 1结论：在 123时，存在三个主切应力：2311=2322=2213=其中231max=最大切应力发生在与 所在截面成 的截面上最大切应力发生在与 1,3所在截面成 45 的截面上 。在过该
21、点 P的任一指定方向方向 上的线应变 ),( nmlNr应用弹塑性力学考试用基本公式-28 nnmlnmlijTyzyyxxzxyxN )(=lllnzzyzx222（ 3-21）过 P点任意两垂直方向 间的nmnmnmzxyzxyzyx 222 +=),(),(22221111 nmlNnmlNrr剪应变： 12lxzxyx)(221221112121nnnmnmlijTzzyzxyzyyxNNNN= )()()(212121lnlnnmnmmlmlnnmmllzyx+=（ 3-22）122112211221 zxyzxy3、应变特征方程：11应用弹塑性力学考试用基本公式-290212122
22、=zyyxyzxyxx（ 3-25）2121 zyzxz（ ）032213=+ JJJ 展开：其中（ 3-26）zyxJ +=1其中（ 3-27）)(412222 zxyzxyxzzyyxJ +=（ ）（ 3-28）)(412223 xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ +=（ 3-29）11应用弹塑性力学考试用基本公式-30=zxyxmxSD 1122=mD 0000mzyzxzzymyxy212122 mmm00为偏斜应变张量，又称应变偏量为球形应变张量mSSDDT +=又称应变偏量则有： （ 3-34）3偏斜应变张量 Ds的体积应变：03)()()( =+=+= J（ 3 35）1mzyxmzmymx（ - ）在偏斜应变状态下的体积应变为零，这在塑性力学中是很重要的个结论一 个结论 。
