1、第13卷第2期2007年5月广西民族大学学报(自然科学版)JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY FOR NATIONALITIES(Natnral Science Edition)V0113 No2May 2007奥马海亚姆代数学来源初探+刘 琳1，杨淑辉2(1东北财经大学津桥商学院，辽宁大连 116600；2沈阳师范大学计算机-9数学基础教学部，辽宁沈阳 110034)摘 要：奥马海亚姆的代数学是将代数与凡何结合起来解决问题的代表作，也是阿拉伯数学中最突出的成就之一关于它的来源，在国内这方面的探讨还很少见笔者从代数学的内容、方法等方面与古希腊、古代中国以及阿拉伯本土数学
2、家的有关著作进行了比较，形成下面的一些初步的认识奥马海亚姆在方程代数解法后附有相应的几何证明以及将三次方程写成齐次方程的形式，这都体现了古希腊几何代数学思想的影响；通过与中国古代著作九章算术进行比较，我们发现代数学中的开方算法与中国古代方法非常相近，而与印度数学的算法相去甚远九章算术中的内容可能是沿着中国一印度一阿拉伯的路线传到伊斯兰世界，并对阿拉伯数学家产生了间接的影响；同时，他继承了前辈花拉子米关于一元二次方程的解法事实上，奥马海亚姆博采众长，非常明智地吸收了东、西方不同数学源泉中的合理因素，从而创造性地完成了他的代数学著作关键词：奥马海亚姆；代数学；几何代数；圆锥曲线中图分类号：011文
3、献标识码：A 文章编号：16738462(2007)02一0006041 奥马海亚姆生平及其著作奥马海亚姆全名是吉亚斯丁阿布法斯奥马伊本伊卜拉欣内沙布里(Ghiydth alDin abulFath Umar ibn Ibrahim alNisdbflri)约1048年生于霍拉桑州的内沙布里(今伊朗境内)，约1131(另一说1123年)年卒于同地他的名字海亚姆，意思是帐篷的制造者，这可能来自他父亲的职业有人认为，阿拉伯各民族中有海亚姆族，以制造帐篷为生，海亚姆的祖先可能是从阿拉伯迁入波斯的海亚姆早年在故乡内沙布里和巴尔赫受过广泛的科学和哲学的教育，约1070年去撒马尔罕，在那里完成他的重要科学
4、论著，取得声望后受聘到伊斯法罕，主持天文台工作18年之久，并创造了哲拉里历uo(Jalalean calendar)海亚姆是一位全能学者，在数学、天文学、哲学、文学、法学、历史、药学和音乐等方面皆有著述，可是流传至今的作品很少在西方，他还以诗人而闻名，他的四行诗集在十九世纪被译为多种文字他学识渊博，思想深刻，所注意的问题是宇宙的本质、时间的推移、人与真主的关系等永恒性的问题后人为了纪念他，1934年在海亚姆的故乡内沙布里为他修建了一座宏伟的陵墓*收稿日期：20070402基金项目：吴文俊数学与天文丝路基金资助项目(WSF200302)作者简介：刘琳(1981一)，女，辽宁阜新人，东北财经大学津
5、桥商学院教师；杨淑辉(1978一)，女，辽宁阜新人，沈阳师范大学讲师，硕士，主要研究方向：阿拉伯数学史6 万方数据2007年第2期 刘 琳，杨淑辉奥马海亚姆代数学来源初探在数学方面，海亚姆在算术、几何和代数等学科都有重要贡献他著有算术问题，现藏于莱顿大学，可惜只剩下封面，内容已遗失凹在几何方面，他评注了欧几里得的著作，所著辨明欧几里得公设中的难点流传至今，对伊斯兰数学和东方数学都有深远的影响还原与对消问题的论证是海亚姆最著名的代数著作，完成于1100年左右除了它的阿拉伯文手稿和拉丁文译本，近代还被译为多种文字如1851年由F韦普克(FWoepcke，18261864)译为法文，1931年又由卡
6、西尔(DSKasir)转译为英文，下面我们把它简称为代数学代数学一共由五章组成，它们分别是：(1)基本概念和方程的分类；(2)一次和二次方程的解法；1(3)三次方程的解法；(4)含有三各方幂的方程的解 Z法；(5)结束语在第三章中，海亚姆用圆锥曲线来求解三次方程，并给出了可能有正根的一元三次方程的几何解法，这在代数方程理论的历史上是具有开创性的，将代数方程求解问题与几何联系起来的方法实际上就蕴含着解析几何的思想，他的工作也预示了数学发展的方向笔者从代数学的内容、方法等方面与古希腊、古代中国以及阿拉伯本土数学家的有关著作进行了比较，形成下面的一些初步认识2 古希腊数学的继承和发展代数学第二章中，
7、海亚姆在一元二次方程的代数解法后附有相应的利用几何原本有关性质给出的证明，这恰恰体现了古希腊数学家的几何代数学的思想正如他在代数学开篇中提到的那样：“只有很好地掌握欧几里得几何原本和已知条件(Data)，以及阿波罗尼奥斯圆锥曲线论的前两卷，才能够领会本书的内容，L副此外，他在解方程z3+bxa时，首先将它化为齐次方程x3+夕2XP2q，这也与希腊数学对线段、面积和体积作严格区分是相似的代数学的第三章是关于三次方程的求解海亚姆将方程进行了系统的分类，将三次方程分为14种类型，每种类型都给出了几何解法，即用两条圆锥曲线的交点来确定方程的根关于三次方程的圆锥曲线解法也可以追溯到古希腊时代门奈赫莫斯(
8、Menaechmus，约公元前360年)是在研究倍立方体问题时发现圆锥曲线的阿基米德在他的著作论球与圆柱中曾涉及三次方程，第2篇的一个问题4：用一平面截球成两部分，使这两部分的体积成定比，他利用抛物线和双曲线相交的方法求得三次方程的正根通过比较我们发现，希腊数学家是应用圆锥曲线来解决几何问题的，处理的手法因题而异，具有特殊性；而海亚姆把三次方程作为研究对象，几何图形作为辅助工具Ho，并将代数学明确地定义为解方程的科学他对于圆锥曲线的选择也是有规律可循的，方法更具一般性有数学史家甚至认为o，希腊数学在三次方程理论方面没有留下有价值的史料，对海亚姆没7有产生影响同时，我们还注意到，在希腊早期的著作
9、中，三次方程的系数都是线段，处处都离不开几何学的背景出于对无理数的困惑，古希腊人把解方程纳入了几何系统，欧几里得的几何代数法并不是真正意义上的代数；而海亚姆所给出的三次方程，它们的系数都是数字，再附以几何证明，这正显示了代数学与几何学相互联系起来的趋势一3 阿拉伯本土数学的影响海亚姆将一至三次方程分为25类，其中有15类方程，他给出的解法与花拉子米给出关于一元二次方程的解法是相同的。，可见，关于二次方程的解法，海亚姆是完全借鉴和吸收了前辈的思想，未能取得新的改进关于三次方程的解法，阿拉伯本土的数学家们也为之做过了许多努力约公元860年，阿拉伯学者阿尔?马哈尼(alMcihcini，825888
10、)在计算阿基米德问题(即平面切球成定比)时得到了三次方程X3+a2bCX 2 E83，然而，却没有得到方程的解(无论是代数的还是几何的)，最终认为该方程不可解大约1个世纪后，阿尔哈岑(Alhazen，9601039)也考虑了三次方程z3+a2bCX 2，他利用双曲线y(cz)一曲和抛物线z 2一ay相交的方法得到了方程的解与阿尔哈岑同时代的学者阿布朱德(Abal Jdd)利用两条圆锥曲线相交的方法解决了两种类型的三次方程：X3+口一bx 2和z3+bx+C一船29|研究这一问题的还有库希(alKuhi)、伊本海塞姆(Ibn alHaytham，9651040)等遗憾的是，这些先驱们只解决了一些
11、特殊情形的三次方程，没有给出一般三次方程的解法，这项工作是由海亚姆创造性地完成的口他不仅将方程依据项数和系数进行了详细的分类，对每类方程都给出了7 万方数据广西民族大学学报(自然科学版) 2007年5月 第13卷几何解法，同时，还纠正了阿布朱德解法中的错误之处u“，并且给出了三次方程有解(这里是正根)的条件，这些都是史无前例的海亚姆的代数学虽然具有一定程度的系统性，但是也存在一些不足首先，用于求解方程的二次曲线只是给出了一部分(双曲线的一支或半圆)，并非完整的二次曲线，致使他们的考虑带有一定的局限性；其次，他们只是求得方程的正根，而负根和虚根被全部忽略；另外，即使是仅限于正根的情形也仍然不够彻
12、底如海亚姆在讨论方程z3+a=bx 2时，当abe-和a一时均有一正根被忽略而对方程z3+C3Cbx 2+口，当口bc时，方程可能有三个正根，而他只求得一个4 代数学中的开方算法与中国古代数学代数学中有开平方和开立方算法，他在书中写道：“印度人有自己的开平方、开立方的方法我将它们加以推广，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根，这些代数的证明仅仅以几何原本的代数部分为依据”印度数学中确实有关于开平方和开立方的记载，有学者认为，海亚姆是通过两本印度书籍而了解印度算法的，它们分别是吉利(Kushyar ibn Labbdn alJill，9711029)的印度计算原理和奈塞维(Ali
13、ibnAhmad alNasawi，1025前后)的印度计算必备但是将这两部著作与印度文献对比，我们发现，它们的处理方法截然不同，但与中国古代的方法相近在中国古代重要的数学著作九章算术“少广”章中有“开方术”和“开立方术”的记载，其中给出了开平方和开立方的算法，并且后来发展为开高次方根的方法以及高次方程的数值解法，这在世界数学史上都是独树一帜的事实上，古代中国与印度通商甚早，相传汉明帝永平8年，中国就曾派官员至印度求佛法，三国时期印度也曾派僧人来华，4世纪后来往更为密切，很可能九章算术曾传人印度在阿拉伯帝国的大翻译运动时期(89世纪)，大批的印度书籍又被翻译成阿拉伯文，因此，我们可以推断，海亚
14、姆在阅读印度书籍的时候，间接地受到了中国数学的影响自古以来丝绸之路就是中国与中亚的交通要道，至于他是否直接接触到了中国古代数学文献，还需要史料的进一步挖掘8此外，我们还发现，在九章算术的“方程”章中，明确给出了正负数的概念和正负数的加减运算法则，在印度的婆罗摩笈多(Brahmagu pta，约598665以后)的婆罗摩历算书也出现了正负数的加减乘除四则运算法则，但是海亚姆却有意避开负数，如对方程分类的原则就是为了让各项系数全为正数，对于方程的根也只取正根对负数的不承认导致他对方程的分类非常繁琐，并且只画出部分圆锥曲线图形，在这方面比中国和印度数学倒退了一步5 初步结论综上所述，奥马海亚姆博采众
15、长，非常明智地吸收了东、西方不同数学源泉中的合理因素，从而创造性地完成了他的代数学著作在古希腊数学中一元三次方程的各项系数都被赋予明确的几何含义，方程是深深植根于几何学中的，并不是真正意义上的代数伊斯兰本土数学家们只是对几类特殊类型的三次方程进行了求根，他们的方法缺乏一般性和严密性海亚姆首次将代数学定义为“解方程的科学”，同时应用两条圆锥曲线相交的方法给出了一元三次方程的几何解法，具有一定的系统性箍发展了欧几里得的几何代数学，使得几何和代数更紧密地联系起来，这其中蕴含着笛卡尔解析几何的核心思想可惜，这朵数学史上奇葩，对文艺复兴时期的代数方程理论却没有产生任何影响，在韦普克的译本出现之前，欧洲人
16、几乎完全不知道他的工作，只是在17世纪土耳其图书馆学家哈只赫勒法(Hajji Khalfah卒于1658年)所著的书名释疑有所提及在西阿拉伯，几乎无人知道这本书伊本赫勒敦(ivnKhaldfln，13321406)是伊斯兰公认的最伟大的历史学家，他在自己包罗万象的历史书中论述了数学科学的发展当论及代数学时，他只提到了花拉子米的名字这种“销声匿迹”现象与花拉子米代数的影响形成鲜明的对比，在数学史上是一个值得深入思考研究的课题参 考 文 献1杜瑞芝数学史辞典EM济南：山东教育出版社，20002粱宗巨世界数学通史上册M沈阳：辽宁教育出版社，1996：5433DEKasirThe algebra of
17、 Omar KhayyamMNew York：Teacher College，Columbia University，19314Ronald CalingerA contextual history of mathematicsMWashington：The Catholic University of America，1999：345万方数据2007年第2期 刘 琳，杨淑辉奥马海亚姆代数学来源初探 ：=一E5R RashedThe development of Arabic mathematics：between arithmetic and algebraFMLondon：1994E6cB
18、BoyerA history of mathematicsM1964：268-2707杜瑞芝奥马海亚姆和三次方程的几何解法J科学探索1987，7(1)E8DESmithHistory of mathematics(II)MGinn and Company，1925：455456E9“BLvan der WaerdenA history of algebraEMBerlin：SpringerVerlag，1980：29103JLBerggrenEpisodes in the Mathematics of Medieval IslamMBerlin：Springer-Verlag，1986：119
19、E11包芳勋阿拉伯代数方程求解几何方法的比较研究J自然科学史研究，1997，16(2)责任编辑黄祖宾责任校对苏琴The preliminary discussion about the sourceof Omar KhayyamS AlgebraLIU Linl，YANG Shu hui2(，1Ki扎96ridge Business College of Dongbei University of FinancP&Economics，Dalian 116600，China；2Primnr了Department of Computer and Mathematics Teaching，Sheny
20、an9110034，China)Abstract：Omar KhayyamS Algebra is the masterpiece of combining algebra with geometry，it is outstanding in Arabian mathematics On the source of it，there is very little discussion interiorly We makecomparisons with relevant treatises of ancient Greece，ancient China and Arabian mathemat
21、icians in contentand method of Algebra，and finally get some preliminary cognitionOmar Khayyam gave the geometricaldemonstrations after algebraic solution and wrote the cubic equation as the form of homogeneous equationItshows the influence of geometrical algebra in ancient Greece；Comparing with The
22、Nine Chapters on theMathematical Art，we find that the arithmetic of extraction in Algebra is similar to the method of ancient Chinese mathematics and different from the method of ancient Indian mathematicsHence we infer that the content of The Nine Chapters on the Mathematical Art exerted the indire
23、ct influence on the Arabian mathematicians through the route of China-India-ArabiaAnd he inherited al-Khwarizmis solution to quadratic eq uationIn fact，Omar Khayyam learnt wildly from others strong points，had absorbed the rational factorfrom both the east and western mathematics source wisely，thus f
24、inished his algebra work creativelyKey Words：Omar Khayyam；Algebra；Geometrical algebra；Quadric curve9 万方数据奥马海亚姆代数学来源初探作者： 刘琳， 杨淑辉， LIU Lin， YANG Shu-hui作者单位： 刘琳,LIU Lin(东北财经大学,津桥商学院,辽宁,大连,116600)， 杨淑辉,YANG Shu-hui(沈阳师范大学,计算机与数学基础教学部,辽宁,沈阳,110034)刊名： 广西民族大学学报（自然科学版）英文刊名： JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY
25、FOR NATIONALITIES(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)： 2007,13(2)参考文献(11条)1.B L van der Waerden A history of algebra 19802.D E Smith History of mathematics() 19253.包芳勋 阿拉伯代数方程求解几何方法的比较研究 1997(02)4.J L Berggren Episodes in the Mathematics of Medieval Islam 19865.杜瑞芝 奥马海亚姆和三次方程的几何解法 1987(01)6.C B Boyer A h
26、istory of mathematics 19647.R Rashed The development of Arabic mathematics:between arithmetic and algebra 19948.Ronald Calinger A contextual history of mathematics 19999.D E Kasir The algebra of Omar Khayyam 193110.粱宗巨 世界数学通史 199611.杜瑞芝 数学史辞典 2000本文读者也读过(10条)1. 郭园园 花拉子米代数学的比较研究学位论文20092. 程小红 卡尔达诺大术的
27、思想来源及影响期刊论文-首都师范大学学报(自然科学版)2002,23(2)3. 杜瑞芝.刘琳 中国、印度和阿拉伯国家应用负数的历史的比较期刊论文-辽宁师范大学学报(自然科学版)2004,27(3)4. 罗继秋.赵田娜 两种不同的数学观念浅见期刊论文-临沂师范学院学报2002,24(6)5. 刘琳.杜瑞芝.LIU Lin.DU Rui-zhi 花拉子米代数学探源期刊论文-广西民族学院学报（自然科学版）2006,12(2)6. 周畅.徐泽林.ZHOU Chang.XU Ze-lin 中世纪印度数学家婆什迦罗及其莉拉沃蒂期刊论文-自然辩证法通讯2006,28(1)7. 方建波 简述历史文化,激活三角教学期刊论文-数学教学研究2010,29(8)8. 章勤琼.张维忠.ZHANG Qin-qiong.ZIIANG Wei-zhong 多元文化下的方程求解期刊论文-数学教育学报2007,16(4)9. 杜瑞芝.刘琳.DU Rui-zhi.LIU Lin 910世纪伊斯兰世界两部代数著作的比较研究期刊论文-辽宁师范大学学报（自然科学版）2006,29(3)10. 唐泉.曲安京.TANG Quan.QU Anjing 希腊、印度、阿拉伯与中国传统视差理论比较研究期刊论文-自然科学史研究2008,27(2)本文链接：http:/
