1、河南省豫南九校 2018届高三下学期第一次联考试题理科数学第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故 .2. 复数 ( 为虚数单位） ，则 （ ）A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C【解析】3. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选：B4. 抛物线 的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】化为标准方程得 ，故焦点坐标为 .5. 将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标
2、不变） ，再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 经伸长变换得 ，再作平移变换得 ，故选：B6. 某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为 1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体在正方体内 如下图所示，其表面积为7. 九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的 的值为 33，则输出的 的值为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D.
3、 7【答案】C【解析】 ，开始执行程序框图，再执行一行， 退出循环，输出 ，故选 C.8. 已知直三棱拄 中， ，则异面直线 与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示,设 分别为 和 的中点，则 夹角为 和 夹角或其补角(因异面直线所成角为 ，可知 ，；作 中点 Q，则 为直角三角形； ，中，由余弦定理得， ， ；在 中, ；在 中，由余弦定理得又异面直线所成角的范围是 ， 与 所成角的余弦值为故选 C.点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某
4、个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.9. 已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆 以 为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： 关于直线 的对称点为 ，连接 交直线 于点 ，则椭圆 的长轴长的最小值为 ，所以椭圆 的离心率的最大值为 ,故选 A.考点：1、椭圆的离心率；2、点关于直线的对称.10. 已知 的三个内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则 的面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B.11. 在 的展开式中， 项的系数
5、等于 264，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，必须 ， ， 的系数为，解得 ，所以 .【点睛】本题主要考查多项式的展开式，考查定积分计算.由于本题多项式的 次方的式子中，有一个 ，这个数的指数很大，采用二项式定理展开，写出通项的后可知它的指数一定是 ，才能使得存在 的项，由此可求得 ，进而求得 的值，最后求得定积分.12. 已知实数 满足 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】将原式作如下变形得： .由此可构造函数： .不妨设 ，可得 ，由知， 时， ， 时， ，所以 （当且仅当时取“ ”）.即 解得 ，故 .【点睛】本题主要考查构造函数并利用导数证明
6、求解不等式.首先观察已知所给的不等式，左边是一个整式的形式，右边是两个对数的和，将两个对数的真数相加，发现和左边有点类似，故将不等式左边变为右边的形式，从而构造函数 利用导数来解决本题.第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数 满足 则 的最大值为_【答案】1【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，当 时， 取得最大值为 .14. 已知向量 满足 ，则向量 在 方向上的投影为_【答案】【解析】由 ，得 ，故 在 方向上的投影为 .15. 已知直线 过圆 的圆心，则 的最小值为_【答案】【解析】圆心为 ，则代入直线得 ，即 .不妨设 ，则. 1
7、6. 下列结论：若 ，则“ ”成立的一个充分不必要条件是 “ ，且 ”；存在 ，使得 ；若 在 上连续且 ，则 在 上恒正； 在锐角 中，若 ，则必有 ；平面上的动点 到定点 的距离比 到 轴的距离大 1的点 的轨迹方程为 .其中正确结论的序号为_(填写所有正确的结论序号）【答案】【解析】由于 ，所以 ，当且仅当 时取等号.故 是的充分不必要条件. ，不等式成立，故正确. 可以小于零，但是必须有大于零的部分，且 的曲线围成的面积比 的曲线围成的面积大，所以不正确.由 ，所以 ，所以.按定义可得 轨迹方程 ，但还有 这一部分.综上，选.三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说
8、明、证明过程或演算步骤.） 17. 设正项等比数列 ， ，且 的等差中项为 .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，数列 的前 项和为 ，数列 满足 ， 为数列 的前项和，若 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】 【试题分析】 （1）利用基本元的思想将已知转化为 的形式列方程组解出 ，由此得到通项公式.（2）化简 ，是个等差数列，求得其前 项和为 ，利用裂项求和法可求得 的值，代入不等式，利用分离常数法可求得 .【试题解析】（1）设等比数列 的公比为 ，由题意，得解得所以 （2）由（1）得 ， ，若 恒成立，则 恒成立，则 ，所以 .18. 四棱锥 中，底面 为矩形， .侧
9、面 底面 .（1）证明： ；（2）设 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】 【试题分析】 （1）设 中点为 ，连接 ，由已知 ，所以 ，根据面面垂直的性质定理，有 平面 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，计算 可得证.（2）设 ，利用直线 和平面 所成角为 ，计算，再利用平面 和平面 的法向量计算二面角的余弦值.【试题解析】解：（1）证法一：设 中点为 ，连接 ，由已知 ，所以 ，而平面 平面 ，交线为故 平面以 为原点， 为 轴， 为 轴，如图建立空间直角坐标系，并设 ，则所以，所以 .证法二：设 中点为 ，连接 ，由已知 ，所以 ，而平面 平面 ，交线为故 平面 ，从而 在矩形 中，连接 ，设 与 交于 ，则由 知 ，所以所以 ，故 由知 平面所以 . （2）由 ，平面 平面 ，交线为 ，可得 平面 ，所以平面 平面 ，交线为过 作 ，垂足为 ，则 平面与平面 所成的角即为角所以 从而三角形 为等边三角形，（也可以用向量法求出 ，设 ，则 ，可求得平面 的一个法向量为 ，而 ，由 可解得 ）设平面 的一个法向量为 ，则 ， 可取
