5第五讲 对称和旋转、翻折专题 教师版.pdf

1、第 五讲对 称和 旋转 、翻 折专 题对 称 、 旋 转和 翻折 是几 何变 换中 的三 种基 本变 换 所 谓几 何变 换就 是根 据确 定的 法则 ， 对 给定 的图 形 (或 其一 部分 )施 行某 种位 置变 化 ， 然 后在 新的 图形 中分 析有 关图 形之 间的 关系 这 类实体 的特 点是 ： 结 论开 放 ， 注 重考 查学 生的 猜想 、 探 索能 力 ； 便 于与 其它 知识 相联 系 ， 解 题灵 活多变 ，能 够考 察学 生分 析问 题和 解决 问题 的能 力【 例 1】 在 ABC中 ，由 点 A向 BC边 引高 线， 垂足 D落 在 BC上 ，如 果 2CB=。求

2、 证： ACDBD+=.【 解 析 】 如 图所 示， 以 AD为 对称 轴翻 折 ADC到 1ADC的 位置 ，则 1C在 BD上 ， 1ACAC=， 1CDCD=， 1 2ACDACDB=.在1ABC中 ， 根 据外 角定 理可 知 1 1ABCBAC=， 所 以 1 1ACBC=，故 11 11ACDACCDBCCDBD+=+=+=.【 例 2】 如 图所 示 ， 在 四边 形 ABCD中 ， BCD=， 60BCAACD=。求 证： ADCDAB+.【 解析 】 以 AC为 对称 轴将 DAC翻 折到 DAC的 位置 ，连 接 BD.则 CDCDBC=， 60BCDBCAACDBCAA

3、CD=，故 DBC为 等边 三角 形 .从 而 ADCDADBAB+=+，等 号成 立时 AC平 分 BAD.AB CDAB CDC1 DCBA D DCBA【 例 3】 如 图所 示， 在 ABC中 ， 2ACBABC=， P为 三角 形内 一点 ， APAC=， PBPC=。求 证： 3BACBAP=.【 解 析 】 由 已知 条件 PBPC=， 考虑 作直 线 PMBC于 M， 并以 PM为 对 称 轴 将 APC翻 折 至 APB的 位 置 ， 连 接 A.由 轴对 称的 性质 有 /ABC ， 2ABCACBABC=.因 为 ABABCAB =，于 是 AABACAPAP =，即 A

4、P是 正三 角形 ，从 而可 得 60ABCABBAP= ， 2 1202ACBABC BAP= .再 由 ABC三 内角 之和 为 180，即 (60 )(1202) 180BAP BAPBAC+= ，整 理后 得 3BACBAP=.【 例 4】 命 题： 如图 1， 已知 正方 形 ABCD的 对角 线 AC、 BD相 交于 点 O， E是 AC上 一点 ，过 点 A作 AG EB， 垂足 为 G， AG交 BD于 F， 则 OE=OF.对 上述 命题 ，若 点 E在 AC的 延长 线上 ， AG EB交 EB的 延长 线于 点 G， AG的 延长 线交 DB的 延长 线于 F， 其 它条

5、 件不 变 .如 图 2， 则 结论 “ OE=OF”还 成立 吗？ 如成 立， 请证 明； 如不 成立 请说 明理 由 .图 1 图 2P CBA P CBAMA【 解析 】 结 论 OE=OF成 立 .在 BOE和 AOF中OA=OB， AOF= BOE又 AFO+ FAE= BEO+ EAF AFO= BEO AFO BEO OE=OF.【 例 5】 如 图 1， 在 六边 形 ABCDEF中 ， AB/ED， AF/CD， BC/FE， AB=ED， AF=CD， BC=EF， 又 知对角 线 FD BD， FD=24cm， BD=18cm， 则六 边形 ABCDEF的 面积 为多 少

6、？【 解析 】 本 题初 看无 法下 手 ， 但 仔细 观察 ， 题 中彼 此平 行且 相等 的线 段有 三组 ， 于 是产 生将 DEF平 移到 BAG， 将 BCD平 移到 GAF的 位置 则 长方 形 BDFG的 面积 等于 六边 形的 面积 即 S六 ABCDEF=S正 BDFG=18 24=32cm2【 例 6】 如 图 2， P为 正方 形 ABCD内 一点 ，若 PA=a， PB=2a， PC=3a（ a0） ， 求：（ 1） APB的 度数 ；（ 2） 正方 形的 边长 【 解 析 】 将 APB绕 点 B顺 时 针 转 90 ， 得 CQB， 显 然 CQB APB， 连接

7、PQ， PBQ=90 ，PB=QB=2a，所 以 PQB= QPB=45 ，PQ=于 是 APB=90 45 =135 （ 2）【 例 7】 如 图 3， P是 等边 ABC内 一点 ， PA=2， PB， PC=4， 求 BC的 长【 解析 】 将 BPA绕 点 B旋 转 60 ，则 BA与 BC重 合，BP=BM， PA=MC，连 接 MP， 则 MBP为 正三 角形 ，即 ， PC=4，因 为 ，所 以 MPC=30 ，又 因为 MPB=60 ，所 以 CPB=90 ，得 BC 【 例 8】 如 图 5， 已知 ABC是 等腰 直角 三角 形， C=90 ， ECF=45 ， 求证 ：

8、EF2=EA2 BF2【 解析 】 将 AEC和 BCF向 内翻 折， 所以AE=O， BF=OF，因 为 ECF=45 ，所 以 AC与 BC重 合于 OC，且 EOF=90 则 ，即 【 例 9】 如 图 ， 将 ABC绕 顶点 A顺 时针 旋转 60后 得到 ABC， 且 C为 BC的 中点 ， 则 CD:B=（ ）A 1:2B 1:2C 1:3D 1:3【 解析 】 由 于 ABC是 ABC绕 顶点 A顺 时针 旋转 60后 得到 的 ， 所 以 ，旋 转角 CA =60， ABC ABC， AC=AC， CA =60， AC是 等边 三角 形 ， AC=AC 又 C为 BC的 中点

9、， BC=C， 易 得 B C A B C D ABC、 ABC是 含 30角 的 直 角 三 角 形 ， 从 而 ACD也 是 含 30角 的 直 角 三 角 形 ， CD=21AC， AC=21BC， CD=41BC， 故 CD:B=1:3【 例 10】 已 知矩 形纸 片 ABCD， AB=2， AD=1， 将纸 片折 叠， 使顶 点 A与 边 CD上 的点 E重 合(1)如 果 折 痕 FG分 别与 AD、 AB交 与点 F、 G(如 图 1)， 23AF=， 求 DE的 长；(2)如 果 折 痕 FG分 别与 CD、 AB交 与点 F、 G(如 图 2)， AED的 外接 圆与 直线

10、 BC相 切，求 折 痕 的 长 【 解析 】 (1)在 矩 形 ABCD中 ， AB=2，AD=1， AF=32， D=90根 据轴 对称 的性 质， 得 EF=AF=32 DF=AD-AF=31在 DEF中 DE= =22 )31()3( 33(2)设 AE与 FG的 交点 为 O根 据轴 对称 的性 质， 得 AO=EO取 AD的 中点 M， 连接 MO则 MO=21DE， MO DC设 DE=x， 则 MO=x21在 矩形 ABCD中 ， C=D=90， AE为 AED的 外接 圆的 直径 ， O为 圆心 延 长 MO交 BC于 点 N， 则 ON CD CNM=180-C=90 ON

11、 BC， 四边 形 MNCD是 矩形 MN=CD=AB=2 ON=MN-MO=2-x1， AED的 外接 圆与 BC相 切， ON是 AED的 外接 圆的 半径 OE=ON=2-x1，AE=2ON=4-x在 Rt AED中 ， AD2+DE2=AE2， 12+x2=(4-x)2解 这个 方程 ，得 x=815 DE=815， OE=2-x1=1617根 据轴 对称 的性 质， 得 AE FG FOE= D=90 FEO= AED， FEO AED DEA= FO=ADE可 得 FO=3017又 AB CD， EFO= AGO， FEO= GAO FEO GAO FO=GO FG=2FO=151

12、7 折 痕 FG的 长是 15171、 如 图五 ， 在 Rt ABC中 ， AB 6cm， BC 4cm， 点 D是 斜边 AB上 的中 点 ， 把 ADC沿 着 AB方 向平 移 1cm得 EFP， EP与 FP分 别交 边 BC于点 H和 点 G， 则 GH 2、 在 Rt ABC中 ， C=90 ， AB=5， BC=3， 点 D、 E分 别在 BC、 AC上 ，且 BD=CE， 设点 C关 于 DE的 对称 点为 F， 若 DF AB， 则 BD的 长为 ；3、 已 知： 如图 十， 在 ABC中 ， AB AC 15， cos A 54 点 M在 AB边 上， AM 2MB， 点P

13、是 边 AC上 的一 个动 点， 设 PA x（ 1） 求底 边 BC的 长；（ 2） 若 点 O是 BC的 中 点 ， 联 接 MP、 MO、 OP， 设 四 边 形 AMOP的 面 积 是 y， 求 y关 于 x的 函数 关系 式， 并出 写出 x的 取值 范围 ；（ 3） 把 MPA沿 着 直 线 MP翻 折 后 得 到 MPN， 是 否 可 能 使 MPN的 一 条 边 （ 折 痕 边 PM除 外） 与 AC垂 直？ 若存 在， 请求 出 x的 值； 若不 存在 ，请 说明 理由 4、 在 ABC中 ,AB=C=2, ABC=120 ,将 ABC绕 点 B顺时针旋转角 (0 120 )

14、,得 A1BC1， 交AC于 点 E， AC分 别交 A1C1、 BC于 D、 F两 点（ 1） 如 图 ， 观 察并 猜想 ， 在 旋转 过程 中 ， 线 段 EA1与 FC有 怎样 的数 量关 系？ 并证 明你 的结 论 ； （ 2） 如图 ， 当 =30 时 ，试 判断 四边 形 BC1DA的 形状 ，并 说明 理由 ；（ 3） 在（ 2） 的情 况下 ，求 ED的 长 C1A1 FEDBA图C1A1 FED CBA图图五HFGEDA BCP图十COPBAM备用图CBAM5、 如 图 ， 将 正 方 形 ABCD中 的 ABD绕 对 称 中 心 O旋 转 至 GEF的 位 置 ， EF交

15、 AB于 M， GF交 BD于 N 请猜 想 BM与 FN有 怎样 的数 量关 系？ 并证 明你 的结 论参考答案 1、 232、 13、 （ 1） 作 BH AC于 点 H（ 如图 一 ） ， 在 Rt ABH中 ， cos A 54， AB 15， AH 12 BH 9 AC 15 CH 3 BC2 BH2 CH2， BC2 92 32 90， BC 310（ 2） 作 OE AB于 点 E， OF AC于 点 F（ 如图 一 ） ， 点 O是 BC的 中点 ， OE OF 21BH 29 AM 2MB， AB AC 15， AM 10， BM 5 PA x， PC 15 x， y S A

16、BC S BOM S COP 21BH AC 21OE BM 21OF PC 21 9 15 21 29 5 21 29 （ 15 x） 49x 452定 义域 ： （ 0 x 15） （ 3） 当 PN AC时 （如 图二 ） ， 作 MG AC于 点 G， 在 Rt AMG中 ， cos A 54， AM 10 AG 8， MG 6 若 点 P1在 AG上 ，由 折叠 知： AP1M 135 ， MP1G 45 图二GN1CP1BAMP2N2 MG AC， P1G MG 6， AP1 AG P1G 2 若 点 P2在 CG上 ，由 折叠 知： AP2M 45 MG AC， P2G MG 6

17、， AP2 AG P2G 14 当 MN AC时 （如 图三 ） ，由 折叠 知： AMP3 NMP3， P3N3 AP3 x， MN3 MA 10， P3G 8 x， GN3 4 P3N32 P3G2 GN32， x2 （ 8 x） 2 42， x 5综 上所 述， x 2或 5或 14时 满足 MPN的 一条 边与 AC垂 直4、 (1)证 明： AB BC， A C由 旋转 可知 ， AB BC1， A C1， ABE C1BF ABE C1BF BE BF 又 BA1 BC， BA1 BE BC BF， 即 EA1 FC(2)四 边形 BC1DA是 菱形 证 明： A1 AB1 30

18、， A1C1 AB， 同理 AC BC1 四 边形 BC1DA是 平行 四边 形又 AB BC1， 四 边形 BC1DA是 菱形 (3)如 图 23 4(c)， 过点 E作 EG AB于 点 G， 则 AG BG 1图 23 4(c)在 Rt AEG中 ， .32cos301coso=AGAE 由 (2)知 四边 形 BC1DA是 菱形 ， AD AB 2 .3322=AEADED5、 猜 想： BM=FN证 明： 在正 方形 ABCD中 ， BD为 对角 线， O为 对称 中心 , BO=DO, BDA= DBA=45 GEF为 ABD绕 O点 旋转 所得 FO=DO, F= BDA OB=OF OBM= OFN在 OMB和 ONF中 =FONBOMOFNOBM OBM OFN BM=FN图三N3CP3BAMG