1、1姓名：樊元君 学号：2012200902 日期：2012.11.06 一、实验目的掌握MATLAB语言、C/C+语言编写计算程序的方法、掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。掌握使用MATLAB程序求解常微分方程问题的方法。二、实验内容1、分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。求 ，步长h=0.25。2、实验注意事项的精确解为 ，通过调整步长，观察结果的精度的变化三、程序流程图：2 改进欧拉格式流程图： 四阶龙格库塔流
2、程图：3四、源程序： 改进后欧拉格式程序源代码：function = GJOL(h,x0,y0,X,Y)format longh=input(h=);x0=input(x0=);y0=input(y0=);disp(输入的范围是： );X=input(X=);Y=input(Y=);n=round(Y-X)/h);i=1;x1=0;yp=0;yc=0;for i=1:1:n x1=x0+h;yp=y0+h*(-x0*(y0)2);%yp=y0+h*(y0-2*x0/y0);%yc=y0+h*(-x1*(yp)2);%yc=y0+h*(yp-2*x1/yp);%4y1=(yp+yc)/2;x0=
3、x1;y0=y1;y=2/(1+x02);%y=sqrt(1+2*x0);%fprintf(结果=%.3f,%.8f,%.8fn ,x1,y1,y);endend 四阶龙格库塔程序源代码：function = LGKT(h,x0,y0,X,Y)format longh=input(h=);x0=input(x0=);y0=input(y0=);disp(输入的范围是： );X=input(X=);Y=input(Y=);n=round(Y-X)/h);i=1;x1=0;k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;for i=1:1:n x1=x0+h;k1=-x0*y02;%k1=y0-2*x0/
4、y0;%k2=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k1)2);%k2=(y0+h/2*k1)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k1);%k3=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k2)2);%k3=(y0+h/2*k2)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k2);%k4=(-(x1)*(y0+h*k3)2);%k4=(y0+h*k3)-2*(x1)/(y0+h*k3);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%x0=x1;y0=y1;y=2/(1+x02);%y=sqrt(1+2*x0);%fprintf
5、(结果=%.3f,%.7f,%.7fn ,x1,y1,y);endend五、运行结果：5改进欧拉格式结果：四阶龙格库塔结果：6步长分别为：0.25和0.1时，不同结果显示验证了步长减少，对于精度的提高起到很大作用，有效数字位数明显增加。六、实验小结：通过这次实验学习，首先第一点对改进欧拉格式和四阶龙格库塔的原理推7导有了深入的理解，改进欧拉格式采用（预报+校正）模式得到较精确的原函数数值解；而四阶龙格库塔则采用多预报几个点的斜率值，采用加权平均作为平均斜率的近似值的思想达到更高精度的数值解，二阶龙格库塔的特例就是改进后的欧拉格式。七、思考题：如何对四阶龙格-库塔法进行改进，以保证结果的精度。答：可以通过计算结果的精度处理步长来保证结果的精度。（1）步长折半。对于给定精度 ，如果某次计算结果精度 ， (/2)1|hiiy，反复将步长减半，直到 ，这时的 可作为结果。(/2)1hiy（2）步长加倍。对于给定精度 ，如果某次计算结果精度 ，(/2)1|hii，反复将步长加倍，直到 ，这时的 可作为结果。()1hi
