1、第另卷第 null期null nullnull 年 nullnull 月nullnull null null null 。null 。,冬舞玉器粼袋靡蒸得null null nullnull null nullnull null null null null nullnull nullnull null null nullnullnull null nullnullnullnullnull无穷级数收敛性的狄利克雷判别null定理条件的必要性null祁正涛null盐城工业专科学校,盐城null null。null在无穷级数与无穷积分的收敛性判别定理中, 狄利克雷nullnull null nul
2、l nullnull nullnull判别法占有相当重要的地位。 对此判别定理中所设条件的充分性在大多数数学分析教材中都作了论证null 然而该定理中条件是否必要呢null 本文对此提出一点看法 , 并就在常数项级数, 函数项级数及无穷积分中狄利克雷定理条件的必要性作出论证。null 常数项级数中狄利克雷定理原定理的内容是 null 如果级数名null null 的部分和有界, 而数列 nullnull 是单调减少且nullnullnull 瓦一 。, 则级数月null null null null null名null。 收敛。定理中两个条件null null 公null 。 部分和有界 nu
3、ll null 数列瓦单调减少且null null一。, 不仅是充分的而且也是必要的, 即有如下定理。定理 null 常数项级数习“。 收敛的充分且必要条件是 null 存在分解式null一入nullnull 使得级数习null月” null 月居null的部分和有界, 数列 nullnull 单调减少且nullnull null二 null null。证 充分性 见数学分析教材, 本文不再重复。必要性 设级数兄“。 收敛, 则对任意正数。, 必存在正整数null , 使得当 null null null 时 , 有沙 nullnull 成立。那么, 对于 null 、 null 一 null
4、 为正整数null , 必存在正整数null nullnull null null 一 、null ,使得null二 峥当null null 风时, 有】名“二 nullnull null 一null , null null null, null , null, nullnullnull令 ”一气null一 当null 镇 null 簇null ,null 、null null 镇null 亡null null null null null null , null , null, null null null 华, , 一 , null null , null, null仇则 气 一 气而且数
5、列” 是单调减少的, null咬瓦一 “。下面证明级数叠二即级数叠瓮的部分和有界, 为此记null凡一叠会, 即证 null 有界null nullnull 当 , null 簇null , 时, null , null 三null null 。 null一 null弓null刀、成名nullnull nullnull 习nullnull 苦 null 一 null,球多 斌城工业专科学狡学报 null nullnull null 年nullnull 为某确定常数, 故null null 有界。卿肖元null 万null 时, 必存在一个正整数null , 满足null null ”簇null
6、。, ,终时null绮一认null 。 一习 子 null口null衬 ,习null留null 。 null null月, null、令null 十 又甘亡 云生柑, 。 null nullnull null null今 兰一程null , nullnull,null伙一,null了飞入、洲又null刀、,十从一认价云间一null一氏刀null习 “十十“价云一公 null,、null 、null公“, nullnull null, 月一null null , null null null nullnull nullnull 十 十 云 nullnull 一 null “ null 习 nul
7、l从null null null 一null null null 扣盆null null名 “一洲一null null习明扣之null null。nullnull null null 名 约一衬含十主名null 衬nullnull null“nullnullnull习帐份null nullnull 一 null null null 云, 拟一null null习扣null null 十null null 一 习绮二十 nullnull 从 null null null 习null 匆柑 null null nullnull nullnull null 名柑null null nullnull
8、nullnull null null null null 名, 柑null null nullnull nullnull null 云亡null 柑nullnull null“nullnull null null nullnull null null null nullnullnullnullnullnull卜nullnull上一如下nullnullnullnullnull null尺一null null null 名 null 卜 null二扮一null null null 尧null 材null null null告null 奋nullnull null nullnull nullnull
9、补补奋nullnull null null nullnull 一 null null加,null nullnull null一, null nullnullnull null null null 卜 null null null , null nullnull琢不二而十万null十八null万十万nullnull 材nullnull nullnull null从 null null nullnull null一从 null 尽一 nullnull综合null null null 、 null null 得级数习null , 的前 null 项和 null 。 有界。于是定理 null 的必要性
10、得证。null 函教项级数中狄利克留定理类似地关于函数项级数中判别收敛性的狄利克雷定理可以改述为如下定理。定理 “ 函数项级数属“在区间null “上一致收敛的充分必要条件是 null 存在分解式。null null null null null null null null null null null null null null null , 使得函数项级数名null null null null null 部分和在区间null, 习上null 致有界, 且函数序列null null null null null 对一切 null 任 null ,习是单调减少且一致趋近于零。证 充分性
11、可参见有关教材。必要性 设习“null null null 在null , 习上一致收敛, 那么, 对于任意正数。, 必存在正整数null null是与无关的, 使得当null null null 时, 对一切 null null , ”都有null旦叭“, nullnull 成立。于是, 对于。二 null 一null为正整数null, 必存在nullnull是与null 无关的 , null 、null null null 一 , null, 使得当null null null null时,对一切金叙二, null, 都有null只“ null, nullnull null , “一 ,
12、“, 令 null null null null nullnull null , 。 簇 null 簇川null气甲nullnull第null 期数学专辑 祁正涛null 无穷级数收敛性的狄利克雷判别定理条件的必要性nullnullnull nullnull null 弓N,l 习u( x )一1当x 任 I时当x 任a, b 且x 百I时作函数序列(S(x)b( , 一飞,一当1簇nN ,当N , N , 时, 必存在正整数K , 满足N K 。, 积分伽(, dx存在且有界。现对此定理的必要性部分证明如下。证 设犷一f (二)d二 收敛, 则对任意正数。, 必存在正数B ,使得当广一, (
13、X , dXIB 时(B a), 有成立 。那么, 对于e一 i一 , 必存在正数B( B a 且B ) 及一 : , 使得当b B、时 ,有犷一f (X )dX 卜告, “一 , 2 , 3 , ,令 / X)一1 当a镇x 镇B;时l 、 , , , , , n了 兰场夭x、玖 一 1, 乙, 击 “ 盯g(x) f(x)抓x) (a 镇x a, 因为f(x )在a,习上可积, 则 f(x )l 在a ,妇也可积。1)当”簇B, 时,J:g ( 二)dx 一仁f(二)dx, 故仁g(二)d二存在。丁:g(X)dx(仁If(X, d X 镇丁”fx , l“x 一从M;是一确定常数。那么仁g
14、(二)d二有界。(2 ) 当b 召, 时, 一定存在正整数K , 使得BK 。 ,积分仁g(x)f(二) 一定存在有界, 定理必要性得证。参考文献江泽坚.数学分析.人民教育出版社.1978(上接第110页)一夕1 aj*, 卜 .” a今红阵|队l|Ia一D其中1( jl 气(A)气(A) d户(D )(D )因而D 为广义对角占优实矩阵, 又因D 的对角线元素(亦为A 的对角线元素)皆为正 , 由推论2, de tD O。rAI : l 关 !(z)th于det 、。,所以、!存在, 且A一忐”2.1,其中Aij 沁的元l 关 L A 。j素a、的代数余子式, 由(l) 显然有A。 O , j 一1, , n , 而detA 0 , 从而A 一 对角线元素皆为正。参考文献1 咚文廷.关于几类矩阵特征值分布.数学学报.197 , 2 。(4 ):272 2752 张家驹.共扼对角占优矩阵的特征值分布.数学学报.1980 , 2 3 ( 4):5 4 一5463 Pullman , N.J.Ma t rixT he o r y a nd A p p l ie a tio n s.Ma r e el Dek ke rIn e.New Yo rka ndBa s el.1 9 7 6:2 0 9 2 2 7
