1、1多面体外接球半径常见求法知识回顾：定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。球心到截面的距离 d与球半径 R及截面的半径 r有以下关系： 球面被经过球心的平面截得的圆叫 被不经过球心的平面截得的圆叫 球的表面积表面积 S ；球的体积 V 球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为 ，球半径为 。aR如图 3，截面图为正方形
2、的内切圆，得 ；EFGH2aR2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作截面图，圆为正方形 的外接圆，易得 。Oa3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5，以对角面 作截面图得，圆1A为矩形 的外接圆，易得 。CA1 aOAR231一、公 式法例 1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为，则这个球的体积为 .98小结 本题是运用公式 求球的半径的， 该公式是求球的半径的常用公式 .22Rrd图 3 图 4图 52二、多面体几何性质法例 2 已知各顶点都在同一个球面上
3、的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是A. B. C. D.16202432小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 .3小结 一般地，若一个三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且其 长 度分别为 ，则就可以将这个三棱abc、 、锥补成一个长方体，于是长方体的体 对角线的长就是该三棱 锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 ，R则有 .22Rabc变式 1：三棱锥 中， 两两垂直，且 ，则三棱锥OABC,O2AOBCa外接球的表面积为（ ）A B C D26a29a21
4、a24四、寻求轴截面圆半径法例 4 正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，SABD2SABCD、 、 、 、都在同一球面上，则此球的体积为 .而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思 想方法值得我们学习.变式 1：求棱长为 a 的正四面体 P ABC 的外接球的表面积变式 1：底面边长为 的正三棱柱外接球的体积为 ，则该三棱柱的体积为 33CDA BSO1图33五、确定球心位置法1：三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形， 底面 ，且 ，则此PABCPABC2PA三棱锥外接球的半径为（ ）A B C D252321六构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球
5、，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例 4.已知三棱柱 的六个顶点在球 上，又知球 与此正三棱柱的 5 个面都相切，1BA1O2求球 与球 的体积之比与表面积之比。1O2分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。练习1、球面上有三点 、 、 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中 ，ABC 18AB、 ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积24BC302、.在球面上有四个点 、 、 、 .如果 、 、 两两互相垂直，且PABPABC,那么这个球的表面积是_.aBPA3：一棱长为 的框架型正方体，内放一能充
6、气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不2至于变形时的球的体积。（答案为 ）33264aV图 644、 （2006 年广东高考题）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 5 、 （2007 年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,23，则此球的表面积为 .6、 （2006 年全国卷 I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为（ ）.A. 1 B. 20 C. 24 D. 327、 （2008 年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 .8、 （2003 年全国卷）一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3 B. 4 C. 3 D. 69、 （2008 年浙江高考题）已知球 O的面上四点 A、 B、C、D ， ABC平 面 ，ABC， D=B3，则球 的体积等于 .10、已知球面上的三点 A、 B、 C， AB=6， BC=8， AC=10，球的半径为 13，求球心到平面 ABC 的距离.11、已知过球面上 A、 B、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）A. B. C.4 D.91638 964
