1、 2.5 线性谐振子 经典谐振子 2221F =- k x ( ) k x21k()2Uxx 22200d x Uxd t xx = As i n ( t + )A- 振 幅 ； 初 始 相 位每一时刻振子位置是确定的 其位移不能超过振幅决定的最大位移！ 量子谐振子的例子 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光学课程） 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当作谐振子（统计物理部分） 222x=0 x=0x=022 2 22x=0U 1 U( ) U(0)+ x x x 2 xUU(0)= 0 0x1 U 1( ) x x2 x 2UxUx 取 ； 因 平 衡 位 置 ， 故定态薛定谔方
2、程： 是谐振子的固有圆频率。 ,21)( 22 xxU 2 2 222 2 22 0.dE xdx 2222d UEdx 无量纲化变换： E2.0)()( 222 dd得到 ,xx无量纲化的定态方程 2 2 222 2 22 0.dE xdx 观察 方程近似为： .222 dd.e)(221 ),(e)(221 H于是令 22/ 2 / 2ee取 （ 舍 去 发 散 的 解 ）代入 无量纲化的定态方程（ 1）得 .0)()( 222 dd（ 1） .0)1(222 HddHd Hd 230 1 2 3( ) . . .nnH a a a a a 比 较 同 次 项 得设 级数求解： 时 H 一
3、 般 是 发 散 的 ， 下 面 分 析 其 发 散 的 “ 速 度 ” ,看 看 是 否 也 发 散 。221aa( 1 ) ( 2 )( 0, 1 , 2 , 3 .)+)(e)(221 H发散 趋于 0 ？ 2e 与 “ 发 散 的 速 度 ” 相 等 ， 这 是 因 为22nn=0n2en2 n b/2b / 2 / 2l i m l i m l i mb 2 / 2 / 2 +21 ！（ 令 ）（ ） ！（ ） ！ （ ） ！（ ） ！ （ ） ！2a 2lima 由 于 ，212( ) e ( )H 故 波 函 数 也 发 散221aa( 1 ) ( 2 )+2212120li m
4、 li m e ( ) li m e .()0(.n).nnHaa 束 缚（ ） （态有 限 ）221aa( 1 ) ( 2 )+212n避 免 发 散 的 唯 一 途 径 是 取 ，（ n = 0 ,1 ,2 ,3 . ） , 这 时 n+ 的 项 全 为 零 ， 于 是21n 所 以 截 断 条 件 限 制 了 的 取 值 。能量本征值 由截断条件 ,3,2,1,0,12 nn ,3,2,1,0,21 nnEn )2( E得 波函数在无穷远不发散 截断条件 能量量子化 讨论： (1)能级是等间隔的， (2)零点能是 ,3,2,1,0,21 nnEn 210 E再次看到束缚态能量的不连续性
5、x E 0E1E2EHermitian多项式的计算公式 .0)1(222 HddHd Hd .02222 nnn nHddHdHd0 , 1 , 2 , )nn 取 不 同 值 ( 时21n 230 1 2 3()nnnH a a a a a 将 代 入 ，22212n21aa(a a( 1 )(12)( 2 )n+（ ）（ ）由 前 面 递 推 公 式 得偶宇称解 奇宇称解 0n n - 2 n - 4n n - 2 n - 14a a a .(2a) a a a . a （ 1 ） 当 n 为 偶 数 时 ， 递 推 序 列 ：当 n 为 奇 数 时 ， 递 推 序 列 ：24n 0 2
6、4( ) . . .nnH a a a a 35n 1 3 5( ) . . .nnH a a a a .ee)1()(22 nnnnddH易证：以上递推公式得到的结果可以写成以下形式： 有限多项的多项式 举例 前 3个 .24)(,2)(,1)(2210HHH能级和波函数 能级： 波函数： ,3,2,1,0,21 nnEn 2212( ) ( ) e .xn n nx N H x .ee)1()( 22 nnnn ddH（是归一化常数） 2e x dx （ ）.!2 nN nn，231 E（偶宇称）2221222/12 )12(2)(xexx 221 / 2 120 ()xxe （ 偶 宇
7、称 ）221 / 2 121 ()2 xx x e （ 奇 宇 称 ）第二激发态,2n第一激发态,1n012E （ 零 点 能 ）基态，0n最常用的几个态：，252 E线性谐振子波函数 线性谐振子位置概率密度 00nx1 1nx2n2x20 0nx222nx211nx21111nxn=11 时的概率密度分布 经典粒子不能出现在 E 0， 没有束缚态 (可以出现在无穷远 ) 0)( UU0 0)( U能量连续的定态问题 粒子能量大于无穷远势能 一维散射问题的一般性描述 假设 .0,0)()( EUUx e()eikxikxx 于是得 无穷远处 2 Ek 正向行波（向右） 反向行波（向左） 时 自由 自由 2222d E 2 d x0k 左方入射 ,2 vAJ I 2 ,RJ B v,2 vCJ D 22|RIBJRJ A22ACJJDID 反射系数 透射系数 ik xik xik xCBAeee透射：反射：入射：kv几率流 波函数 2i d dJd x d x
