1、第五公设与非欧几何第五公设指欧几里得几何原本中的第五公设，其内容为：在同一平面上，若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必交于该侧的一点 图 11、欧几里得第五公设的试证古代数学家很早就注意到欧几里得几何原本有逻辑的缺点，他们经过两千年的努力来消除它首先是针对公理系统，一方面是增加或改换公理，另一方面是试证第五公设第五公设的试证在几何史上占极重要的地位因试证第五公设而发现了非欧几何，以致引起我们对几何学观点的根本改变欧几里得以后的两千年间，几乎所有的大数学家都曾试证过第五公设原因是：它看起来较其他公设性质复杂，而且在原本中应用很迟，到第 29 个命题才第一次
2、应用因此人们怀疑它是否可做为定理来证明，即只根据其它公理和原本中前 28 个命题来证明谈到某一命题的数学证明，就是说要根据采用的公理系统纯逻辑地导出它，只能用公理或用由公理已证明的定理做根据但如前所述，欧几里得没有完善的公理系统，因此这些试证者不能充分明显地提出问题实际上，第五公设的试证就是要使它成为绝对几何的逻辑推论本文后面将证明：这是不可能的因此两千年对第五公设的试证都失败了，这些证明都或明或暗地引用了和第五公设等价的命题，即导入新的假设（公理）以替换第五公设，这类议论不能称为第五公设的证明直到十九世纪末才有几何学近代公理法的出现，在这以前，如何辨别几何学中证明的合理性，并无清楚的准绳因此
3、在一定程度上，第五公设的每个试证者会自以为他的假设是合理的，后来才知道所有这些证明都是站不住脚的这使许多数学家怀疑：（从绝对几何）证明第五公设是可能的吗？这怀疑引导到积极的结果非欧几何的发现 2、非欧几何的产生任何较大的数学分支甚或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作这种数学积累的发展特别适用于非欧几何我们已介绍非欧几何的先驱者萨开里、伦倍特的工作，还有须外卡尔特（F.K.Schweikart，17801859 年）研究他称为的星空几何，他外甥托里努斯（F.A.Taurinus，17941874 年）继续研究星空几何，还有其他人，可称非欧几何的先驱者至于说到非欧几何的创造者，那就要说到高斯（C
4、arl Friedrich Gauss，17771855 年，德国人） ，约翰鲍耶（Johann Bolyai 18021860 年，匈牙利人）和罗巴切夫斯基（nikolai Ivanovich Lobatchevsky，17931856 年，俄国人）了被同时代人称为“数学家之王”的高斯，一生中从未出版过非欧几何的著作在他死后，人们从他和一些数学家的通信以及他的遗稿中，才知道他由试证第五公设到发现新几何他最初称为反欧几何，后称星空几何，最后称非欧几何1824 年他给托里努斯的信上说：“三角形的三角之和小于 180，这假定导引到特殊的、与我们的几何完全相异的几何这几何是完全一贯的，并且我发现它本
5、身，结果完全令人满意除了某一常数的值不能先天地予以表示定义而外，在这几何里我能解决任何课题我们给予这常数值愈大，则愈接近于欧几里得几何，而且它的无穷大值会使双方系统合而为一 ”为了检验这两种几何应用的可能性，高斯测量了三个山峰构成的三角形（三边为 69，85 与 197 公里）的内角之和由于实验误差相对太大，这实验没有证明任何结论高斯为了“害怕引起愚人的喊声”而终生未出版他的非欧几何研究著作约翰鲍耶是数学家伏尔夫刚鲍耶（Wolfgang Farkas Bolyai 17751856 年，匈牙利人）之子他没有听从他父亲阻止他试证第五公设的劝告，因而发现了新几何1823 年（当时他 21 岁）他写
6、信给父亲说：“我坚决地决定出版自己的关于平行线的著作，我已经从乌有创造了整个世界” 1832 年出版了约翰鲍耶的著作，以附录形式附在他父亲的一本书后发表 “附录”的拉丁文是 appendix；所以约翰鲍耶的工作在数学文献上获得了“亚编原克斯”的称呼，它的真名很长：叙述着关于一个和欧几里得第十一公理（注：即第五公设）的真伪无关的空间的绝对真实性的学说 伏尔夫刚鲍耶把这附录送给知友高斯评阅高斯回信说：他不能称赞约翰的工作，“称赞他等于称赞我自己，因为这研究的一切内容，你儿子所采用的方法和他所达到的一些结果几乎全部和我的一部分在 3035 年前已开始的个人沉思相符合的缘故我真是被这些所恐骇到顶点了关
7、于我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是一生里不愿发表的大多数人对于那里所讨论的问题都抱着不正确的态度；我仅发觉少数人听了我和他们谈这件事，觉得有兴趣我的目标在于把它统写下来，免得和我一同湮没使我快乐地感到惊奇的是现在可以免去这劳力的耗费，并且特别高兴的，在我的前面有这样惊异的姿态的人正是老友的儿子” 约翰对这评语感到沉重他不相信别人比他更早达到同一结果，认定了高斯在这个发现上要夺优先权高斯从来没有公开表扬过约翰的工作约翰由于没有获得任何人的理解、同情和精神上的支援而陷入失望，并且抛弃了一切数学研究 俄罗斯数学家罗巴切夫斯基最初也企图用归谬法来证明第五公设他企图由否定“同一直线
8、的垂线和斜线必相交”这个命题引出矛盾，但推论一个接着一个，形成了一个新的几何系统，逻辑上并无任何矛盾于是他开始相信第五公设问题不能只用逻辑的方法来彻底解决，而必须依靠实验他于 1835 年写道：“从欧几里得时起二千年来枉费心机的努力，不得不使我怀疑在这概念本身中并不曾含有那种真理，就是我们想要证明的，并且象其他物理定律那样只能用实验（譬如说天文观察）来证实的真理终于深信我的揣度是正确的，而且认为困难的问题已经完全得到解决，我乃在 1826 年就此问题写成了论文” （见他的全集，卷二，1949 年俄文版第 147 页） 1826 年 2 月 11 日罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了他的关于这种
9、新几何学的报告关于几何原理的议论 这一天被认为是非欧几何的诞生日其后，他陆续出版了许多叙述这种新几何的著作：关于几何原本 （1829 年） ， 想像中的几何 （1835 年） ， 想像中的几何在某些积分上的应用 （1836 年） ， 具有完全平行线论的几何原本 （18351838年） ， 关于平行线论的几何研究及其他直到逝世前一年（1855 年） ，他几乎失明了，还通过口授写了俄文和法文的著作汎几何 罗巴切夫基在科学的世界观里的唯物主义倾向，对于他创立这种新几何起了重要的作用为了验证两种几何谁能更正确地反映现实空间的属性，他进行了天文观察但是，限于仪器的精确度，他没有得到确定的答案虽然如此，他
10、用实践来检验理论的作法是正确的他曾强调说：“打算不依靠宇宙物质而仅从理智本身之中产生出来的一切数学原理，对于数学是毫无用处的” （H .II.罗巴切斯基传记的材料 ，苏联科学出版社 1948 年版，204 页） 可见，形式主义者把罗巴切夫斯基的发现看作“逻辑演习”和“理智游戏”的结果，这种看法是完全错误的 罗巴切夫斯基几何（以后简称罗氏几何）将在后面“附”中系统地介绍但为了说明为什么这发现不被他同时代的绝大多数数学家所理解，以及说明这发现的意义，我们此处简单介绍部分内容 从欧几里得第五公设立刻推得定理：通过直线 AB 外的一点 C，在平面 ABC 上可引一条且仅一条直线，使其与直线 AB 不相
11、交罗巴切夫斯基首先导入相反的新假设（以代替第五公设） ，即：通过直线 AB 外的一点 C，在平面 ABC 上可引无数直线 CG，使其和直线 AB 都不相交（如下图 2） 同 AB 不交的这些直线与同 AB 相交的那些直线 CM 是由两条界限直线 CE 与 CF 所分隔开的，而 CE 和 CF 也都不和 AB 相交两界限直线与AB 的垂线 CD 构成同一角度 罗巴切夫斯基称这两界限直线为 AB 的平行线CE 沿A 到 B 的方向平行于 AB，而 CF 沿 B 到 A 方向平行于 BADCEDCF 称为对应于线段 DC 的平行角显然 90我们立刻可见：欧几里得第五公设不成立（因为BDC90，它与
12、的和小于 180） 于是那些和第五公设等价的命题都不成立于是后面可以证明：三角形内角和小于 180；矩形不存在；相似而不合同的图形不存在；两条不相交的直线间的距离不是常数且可以无限增大 图 2罗巴切夫斯基发现了平行角 和线段 xCD 之间的关系 cot 其中 为常数，称为罗巴切夫斯基空间的曲率半径由这方程知：当 x 从 0 单调增加到 ln2 时， 则从 90单调减少到 0罗巴切夫斯基的假设和它的推论从直觉来看是不合理的，这就引起了他同时代的人对他的几何的不信任，甚至讽刺、嘲笑罗巴切夫斯基不顾别人嘲讽而勇敢为新几何奋斗但是，在他生前，新几何未得世人承认他死后，十九世纪六十年代高斯通信录出版了，
13、其中对罗巴切夫斯基的著作给予高度评价，引起了人们的注意1868 年（即罗氏死后十三年） ，意大利数学家柏尔特拉米（Beltrami，18351900 年） ，发表了论文非欧几何的实际解释 ，证明了罗氏平面几何的片段可实现于欧氏空间，即拟球面上的内在几何的片段1870 年，德国数学家克莱因（F.Klein1849 1925 年）解决了罗氏几何全平面或全空间的实现问题，罗氏几何和欧氏几何一样没有矛盾的事实已证明了，罗氏几何最后获得了应得的承认同时这也确定了：第五公设是不可能证明的3、非欧几何与现代数学十九世纪数学有许多积极的发展在几何方面，几何基础、微分几何和射影几何三支的发展道路起初相隔很远，但
14、到十九世纪末却非常接近了，某些部分甚至会合在一起了，这使一些古老的几何问题放出光芒，还揭露了许多新问题罗氏几何的创立不仅解决了第五公设的独立性问题，更重要的是：它扩大了对几何本身意义的认识自从第一种非欧几何罗氏几何的思想获得承认以后，几何学的发展便开始了繁荣的新时期，几何对象的推广，即抽象空间概念的形成，在数学的近代阶段中起了巨大的作用开始的一个重要结果是由德国数学家黎曼（B.Riemann，18261866 年）得到的他1854 年在哥丁根大学的讲演关于作为几何学基础的假设中提出了另一种非欧几何黎曼几何这种理论的形式演算叙述在他的应用于热传导问题的另一著作中所以黎曼几何的产生与数学物理密切相
15、关这种几何在黎曼生前也未得到应有的估价它有着比罗氏几何更加奇特的性质：共面任二直线都相交，三角形的内角和大于 180，等等1872 年克莱因在他的讲演最新几何研究的比较评论中（这演讲包含在爱尔兰根纲领里） ，给出了欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何在射影几何基础上的新的解释到十九世纪末，黎曼几何已有很大的发展及应用，其他非欧几何也相继出现了特别是二十世纪初期，非欧几何的研究对于那时发生的空间和时间的物理观念的改革起了重大作用1915 年爱因斯坦开始建立的广义相对论中假设：万有引力场显露在“弯曲”的时空流形中这个四度空间的度量和欧氏空间的度量有差别，万有引力场由某个流形的黎曼几何来表示因为有了黎曼几何
16、这件工具才克服了建立广义相对论时所遇到的数学上的困难有的学者（特别是 B.A.福克）的研究表明：罗氏几何概念在天体物理、原子物理中都有应用，非欧几何可以直接用到物理学上去这个事实，促成了几何学理论进一步的发展 非欧几何在分析和代数方面的应用也胜过了欧氏几何，罗巴切夫斯基曾写道：“新的几何学在几何学与分析学的互相应用上，开拓了新的、广大的园地” （见他的关于几何原本一书） 他求出在罗氏空间表示弧长、曲面的面积、体积的积分，得出许多积分运算的新公式这些公式若用直接运算来证实是很费力的，更不用说直接得到它们了其后，法国数学家潘加来（H.Poincare 18541912 年）用罗氏几何研究一种解析函
17、数 自守（automorphic）函数，使它的基本区域变得简单而易于观察 对各种非欧几何的探讨扩大了几何在一般数学上的应用又反过来对几何的发展起了促进作用此外，罗氏几何产生的最重要的结果之一，是促进了对几何学基础的研究后来又引起了对别的数学分支的基础的研究公理方法已经成为现代数学的主要方法之一，它开始是由几何学基础的研究而发展起来的数学发展的现代阶段的开端，特别是现代几何学的开端，通常以罗氏几何的发现作为其标志之一附： 罗氏几何一、罗氏平行公理及其推论 由于罗巴切夫斯基保留了欧几里德几何公理体系中除了平行公理以外的全部公理，因此欧几里得几何（以下简称欧氏几何）中不牵涉平行公理的全部内容对罗氏几
18、何也适用不过，从平行线的定义开始，由于平行公理被罗氏平行公理所替代，罗氏几何的内容就与欧氏几何大不相同了从此，我们将进入一个陌生的新世界 下面先说明罗氏几何中平行线的概念罗氏平行公理 过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交 设 A 是直线 a 外一点，根据罗氏公理，过 A 至少有两条直线 BAB和 CAC与 a 不相交根据罗氏公理，可证明任何通过 A 并且介于直线 BB和 CC之间的直线 b 都与a 不相交，因此得到： 推论 过已知直线外一点可以作无数条直线与已知直线不相交（如下图 3） 图 3根据以上分析，过已知直线 a 外一点 A 的所有直线可以分成两类：（1）与已知直线 a
19、不相交的直线（2）与已知直线 a 相交的直线 根据连续公理，这两类直线必存在分界线，例如下图中的直线 MAM和 NAN 我们就把它们定义为：过 A 点平行于直线 a 的直线设 ADa，垂足是 D，沿 AD把左半平面折叠到右半平面上，则平行于 a 的直线 AM 图 4（即分界线）必须重合于平行于 a 的直线 AN因此，过 A 并且平行于 a 的两条直线MAM和 NAN对于 a 的垂线 AD 是对称的，它们与 AD 的夹角相等，即 MAD NAD罗巴切夫斯基把这两个角叫做平行角，记成 （p） ，其中 p 是垂线 AD 之长，（p）可以看成一个函数，自变量是 A 点，到直线 a 的距离 p，函数值是
20、过 A 平行 a 的直线的平行角 罗氏几何和我们所熟悉的欧氏几何有哪些不同呢？下面列表来对比一下它们主要的区别： 欧氏几何 罗氏几何三角形的内角和等于 180 三角形的内角和小于 180并且不同的三角形有不同的内角和凸四边形的内角和等于 360 凸四边形的内角和小于 360存在矩形 不存在矩形存在相似形 不存在相似形两三角形的三对角相等，则相似 两三角形的三对角相等，则合同两平行线之间的距离处处相等 两平行线之间的距离沿平行线的方向越来越小垂直锐角的一条边的直线总与角的另一边相交垂直锐角的一条边的直线不一定与角的另一边相交二、罗氏平面的模型 为了证明罗氏几何的公理体系是相容的，在这一节中，我们
21、特给出罗氏平面的两种模型（1）罗氏平面的庞加莱（Poincare）模型 我们把坐标平面的上半部叫做罗氏平面，圆心在 x 轴上的半圆或垂直于 x 轴的射线叫做罗氏直线（图 5） 下面再给出罗氏“平行”的概念如果两条罗氏直线相切，而且切点在 x 轴上，则我们认为这两条罗氏直线是平行的从这个意义上来说，我们可以把 x 轴看成罗氏平面上的无穷远线（图 6） 图 5图 6给出一条罗氏直线 a 和线外一点 A，显然过 A 点只能作两条罗氏直线 b 和 c 与 a 平行（图 7） 因此在这个模型上，罗氏平行公理成立 图 7（2）罗氏平面的克莱因（Klein）模型把一个给定的圆的内部看成罗氏平面，把圆周看成罗氏平面的无穷远线，所谓罗氏直线就是这个圆的弦，如果两条罗氏直线（即两条弦）交于圆周（即无穷远线）上，则认为它们是平行的（图 8） 图 8显然在上述模型中，罗氏公理是成立的，因为给定一条罗氏直线 a 和线外一点 A，很清楚过 A 点可以且只可以作两条罗氏直线（即两条弦）交于圆周（即无穷远线上） ，我们认为它们与 a 是平行的现在，再来指出勒让德尔的错误，考虑BAC 中一点 D（见图 8 的右图） ，我们不可能过 D 作一条直线既与 AB 边相交又与 AC 边相交
