1、,2、二重积分的变量替换公式,设 为一个给定的二重积分，,其中被积函数,在积分区域D上连续，,现作变量替换,经过此变换后原来的xy平面上的区域D变换为uv平面,而这个变换的逆变换为,上的区域 ，,如果这个变换满足：,(1),在,上具有一阶连续偏导数；,(2) 在,上雅可比式,(3),D与 的点之间有一一对应关系;则有,二重积分的变量替换公式,面积元素,雅可比行列式,解,则,令,即,故,平面上任意一点的直角坐标(x,y),极坐标,的一种变换，,通过上式变换，,且,这种变换是一对一的。,3、极坐标下计算二重积分,极点 原点,r为点(x,y)到原点的距离,为向量(x,y) 的倾斜角度,所以由二重积分
2、变量替换公式，可得到极坐标系下,二重积分变化公式为,要计算极坐标系下的二重积分，同样要把二重积分化为极坐标系下关于r和 的累次积分。,二重积分化为累次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为累次积分的公式（）,区域特征如图,二重积分化为累次积分的公式（）,区域特征如图,当积分区域为圆域、圆环域或部分圆域，,宜采用极坐标。,且,注：,解,圆方程为,直线方程为,解,注：此积分在直角坐标系下无法计算。,在极坐标系下,.,解,例3 计算,其 D为由圆,及直线,所围成的平面闭区域.,解,根据对称性可知：所求面积,为第一象限部分面积的4倍。,由,得交点,在极坐标系下,所求面积,. 二重积分在极坐标下的计算公式,小结,计算二重积分的基本步骤,总结：,1、画出积分区域D的草图；,2、,根据被积函数的特点和积分区域的形状，,选取适当的坐标系；,3、,选取适当积分次序,(若不是标准区域,应先将,其分为若干个标准区域),4、,确定积分限,从而把二重积分化为累次积分,5、,计算累次积分。,练 习 题,练习题答案,3,3,3,p,R,4、,一、,1,、,；,2,、,；,3,、,；,4,、,；,5,、,.,二、,1,、,；,2,、,；,
