1、,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,回 顾 作 业,Page 167第2题注意：线性表示 = 1 + 2 - 3也是对的. (批改有错!),Page 167第3题记 A = (1 , 2 ) , B = (e1, e2, e3). 则AX=B 有解 向量组B能由向量组A表示.,Page 167第5题要说明V不是子空间，只要找到一个说明加法或数乘不封闭的例子即可；但要说明V是一个子空间，就需要说明对任意的向量满足加法封闭性；对任意的向量和任意的实数满足数乘封闭性。,第四章 n维向量,第3节 子空间的基和维数,第四章 n维向量,4.3基和维数,假设1, 2, ,
2、sRn,由1, 2, , s生成的向量空间,1, 2, , s生成元.,定义,记为 L(1, 2, , s) .,一 由向量组生成的子空间, 4.3 子空间的基和维数,注: (1) L(1, 2, , s) = L(1, 2, , t),向量组1, 2, , s与1, 2, , t等价.,(2) 如果A=(1, 2, , s), x=(x1, x2, , xs)T,则 Ax= x11 + x22 +xss,L(1, 2, , s)= Ax | x Rs ,R(A) = Rn | 存在xRs 使得 =Ax = Ax | xRs ;,Ax=b有解 b R(A)=L(1, 2, , s),第四章 n
3、维向量,4.3基和维数,R(A) = L(1, 2, , s),问：反之，如果给定一个子空间 V，如何寻找它的生成元呢？,第四章 n维向量,4.3基和维数,一维空间： x | xR ,二维空间： (x,y) | x,yR ,三维空间： (x,y,z) | x,y,zR ,x = x1,(x,y) = x(1,0) + y(0,1),(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0)+z(0,0,1),(x,y) = m+ n ( 只要 ,不共线 ),(x,y,z) = k1+ k2 + k3 (只要 , 不共面 ),第四章 n维向量,4.3基和维数,二. 向量空间的基与维数,称1, 2
4、, , r 为子空间V 的一组基,如果:,称r为V的维数. 记为r = dim(V).,n维基本单位向量组就是Rn的一组基, dimRn = n;,注(3) 零空间没有基, 规定 dim0 = 0., 1, 2, , r线性无关, V 都能由1, 2, , r线性表示.,定义,注(2),注(1) 子空间的基就是这个子空间的极小生成元集。并且基之间是等价的。,第四章 n维向量,4.3基和维数,定理4.7. 1, 2, , s的极大无关组是子空间,L(1, 2, , s)的基. 自然成立,dimL(1, , s) = r(1, , s).,例 求R3 的子空间 V =,x y x+2y-3z=0
5、z,的一组基及维数.,第四章 n维向量,4.3基和维数,我们还将会介绍更一般的求解齐次方程组解空间基的方法。,例 假设向量组 1 =(1,2,-1), 2 =(2,-1,3), 3 = (3,1,2), 试求子空间L(1, 2,3)的一组基及维数.,例 假设矩阵试求矩阵A 的列空间的一组基及维数.,2 3-1 1 -1 3 2,A = .,联系上例，即可得答案.,第四章 n维向量,4.3基和维数,三. 向量在基下的坐标,设1, 2, , r是V 的一组基,由定义, V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, , kr使得 = k11+k22+krr .,称 k1, k2, , krT为 在1,
6、2, , r 这组 基下的坐标.,例 假设向量组 1 =(1,2,-1), 2 =(2,-1,3), 3 = (3,1,2), 试求3 在所求的基下的坐标.,第四章 n维向量,4.3基和维数,定义,四. 基变换与坐标变换,设1, 2, , s和1, 2, , s是V 的 两组基,则存在ss矩阵C使,定义,第四章 n维向量,4.3基和维数,1= c111+ c212 + + cs1s , 2 =c121+ c222 + + cs2s , s = c1s1+ c2s2 + + csss ,设1, 2, , s和1, 2, , s是V 的 两组基, ss矩阵C是从1, 2, , s 到1, 2, ,
7、 s 的过渡矩阵.,若两组基是列相向量组，则有(1, 2, , r) = (1, 2, , r)C.,可以证明过渡矩阵一定是可逆的. (思考),注：,第四章 n维向量,4.3基和维数,若两组基是行相向量组，则有12r,= CT .,1 2 r,定理4.8 在 2维和3维情形下的叙述：,(1)设列向量1,2和1,2 是R2的两组基, V 在这两组基下的坐标分别为x, y, 则 = (1,2)x , = (1,2)y.,(1,2)x = (1,2)y,x = (1,2)-1 (1,2)y,为何可求逆？,第四章 n维向量,4.3基和维数,定理4.8 在 2维和3维情形下的叙述：,(1)设列向量1,2
8、,3和1,2,3是R3的两组基, V 在这两组基下的坐标分别为x, y, 则 = (1,2,3)x , = (1,2,3)y.,(1,2,3)x = (1,2,3)y,x = (1,2,3)-1 (1,2,3)y,第四章 n维向量,4.3基和维数,第四章 n维向量,第4节 向量的内积,4.4 向量的内积,回 顾,定义三维空间中向量的内积,向量的长度与夹角余弦的乘积,问：n维空间中向量的长度是什么？向量之间的夹角又是什么？,向量的坐标,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,一. Rn中向量的内积, 长度和夹角,1. 设 =(a1, a2, , an)T, =(b1, b2, , bn)T,记为,
9、 即,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,2. 内积的基本性质,对称性: = ;,(2) 线性性: = k1+k2;,(3) 0; 且 = 0 = 0 .,考察y = x2 + 2x + .,n = (xai + bi)2 0 i=1, = (2)2 4 0, 2 .,有没有其它的方法？,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,3. 对于n维实向量, 称,为 的长度,或模, 记为|, 即,4. 长度的基本性质,(3) 三角不等式:,(1) 正定性: | 0; 且| = 0 = ;,(2) 齐次性: |k| = |k| (kR);,| +| | + |.,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,C
10、auchy-Schwartz不等式的重新表述| | |.,5. 长度为1的向量称为单位向量.,对于非零向量, |1是一个单位向量. 单位化/标准化.,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,7. 勾股定理 ,6. 设, Rn, 若 0, 0, 则定义, 的,若 = 0, 即 = /2, 则称与正交 , 记为 .,夹角为,| +|2 = |2 + |2 (, ).,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,例. 设, Rn, 且与线性无关, 求常数k,使 +k与正交.,二. 正交向量组和Schmidt正交化方法,正交向量组,标准正交向量组,正交基,标准正交基,1. 概念,第四章 n维向量,4.4 向量
11、的内积,发现的结论 设1, 2, , s是标准正交向量组, 且 = k11+k22+kss, 则ki = , i = 1, 2, , s.,2. 结论,定理4.10. 1, 2, , s正交线性无关.,定理4.11 每个非零的向量空间V 都有标准正交基 .,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,1 = 1, ,Schmidt正交化方法(务必掌握)：,再将1, 2, , s单位化得:,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,另外，从上述构造可总结： 设1, 2, , s线性无关(s2), 则存 在一个正交向量组1, 2, , s使得 1, 2, , t与1, 2, , t等价(1 t s).,第四
12、章 n维向量,4.4 向量的内积,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,三. 正交矩阵(orthogonal matrix),满足QTQ = E 或QQT = E (即Q1 = QT)的实方阵Q称为正交矩阵, 简称为正交阵,定理4.12. 设Q为n阶实方阵, 则下列条件等价:,性质. (1) Q为正交阵|Q| = 1;,(2) Q的行(列)向量组构成Rn的一组标准正交基;,(1) Q是正交阵;,(3) QT是正交阵; (4) Q1是正交阵.,(2) A, B为正交阵 AB为正交阵.,作 业,To 4系和10系:习题四（B）20(2), 21 上交时间： 12月7日（周一）To 2系:习题
13、四（B）20(2), 21, 22, 23, 24, 25(1) 上交时间： 12月8日（周二）,说明向量组是线性相关的方法：,1. 定义,2. 对应的齐次方程组Ax= 有非零解,定理 4.1 当s 2 时, 向量组1, 2, , s线性相关 存在某个 i (1 i s), 使得i 可以由其余 s -1 个向量线性表示.,3. 一些特殊的情形,4.,一 些 总 结,5.,6.,如果向量组中向量的个数大于它的秩，则向量组必线性相关.,7.,如果矩阵的行(列)数大于它的秩，则改矩阵的行(列)向量组必线性相关.,定理 4.3 如果向量组 1, 2, , t 可由 1, 2, , s 线性表示，而且 t s, 则 1, 2, , t 必定线性相关,(一个方阵可逆当且仅当它的行(列)向量组线性无关) .,在比较向量组之间的个数或秩时，下列两个结论很有用：,推论 4.1 如果向量组 1, 2, , t 可由 1, 2, , s 线性表示，并且1, 2, ,t 线性无关, 则 t s .,定理 4.5 如果向量组 1, 2, , t 可由 1, 2, , s 线性表示，则r1, 2, , t r1, 2, , s .,
