1、24正 态 分 布,随机变量及其分布,通过实际问题，借助直观(如实际问题的直方图)，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,基础梳理,1如果函数为： ，(x) x(,),其中，(0)为参数，称 ，(x)的图象为正态分布密度曲线简称_如果随机变量X服从正态分布，则记作_说明：(1)正态曲线由参数，唯一确定，分别表示总体的平均数和标准差；即：E_，D_；,正态曲线,XN(，2),2,(2)其函数图象称为正态曲线例如：如果随机变量的概率密度函数为： ，(x) ,x(，)，则称服从_此时_，_，记作_2一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称X的分布为_表示的意义：
2、X是一个随机变量，X落在区间(a，b的概率为P(aXb),3.正态曲线(如右图)的特点：(1)曲线在x轴上方，即：f(x)0，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；,标准正态分布,0,1,N(0,1),正态分布,(3)曲线当x时达到最高点，f(x)有峰值(最大值)；(4)正态曲线下的总面积等于1，即 (5)若固定，随值的不同，曲线沿x轴平移，且形状不变；(6)若固定，当值增大时，曲线变得矮而胖，取远离值的机会相对较多，故分布越分散；当值减小时，曲线变得高瘦，取远离值的机会相对较少，故分布越集中,例如：分析右图标准正态曲线的性质f(x) ，x(，)，则yf(x)为_函数；当x_时，
3、yf(x)有最_值，等于_；当x0时，f(x)单调_；当x0时，f(x)单调_,偶,0,大,递减,递增,43原则：正态总体几乎取值于区间_之内，而在此区间以外取值的概率只有_，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.,例如：在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,25)，现已知该班同学中成绩在7585分的同学有34人，则该班约有_个人,(3,3),0.0026,50,AP(x) ，(0)都是实数BP(x)CP(x)DP(x),自测自评,1下列函数是标准正态密度函数的是(),B,3(2011年福建宁德联考)设随机变量服从正态分布N(0，1)，若P(1)p，则P(10)()A.
4、pB1pC12p D. p,2设正态密度函数为P(x) ，xR，则总体的均值为_，方差为_,1,4,解析：由P(1)p知P(10)12p，所以P(10) p.,答案：D,4.如图，曲线C1: f （x）= ，曲线,则 （ ）,D,正态分布的相关概念,把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线C2，下列说法中不正确的是()A曲线C2仍然是正态曲线B曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等C以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率的密度曲线的总体的期望大2D以曲线C2为概率的密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率的密度曲线的总体的方差大2,解析：正态曲线沿着横轴方
5、向水平移动只改变对称轴位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标(即正态密度函数的最大值 )不变，方差2也没有变化设曲线C1的对称轴为x，那么曲线C2的对称轴为x2，说明期望从变到了2，增大了2.答案：D,跟踪练习,1关于正态曲线性质的叙述：曲线关于直线x对称，在x轴上方；曲线关于直线x对称，只有当x(3，3)时才在x轴上方；曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；曲线在x时，处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；曲线的对称轴由确定，曲线的形状由确定；,越大，曲线越“矮胖”，越
6、小，曲线越“高瘦”其中正确的是()ABC D答案：A,正态曲线的方程及特征,如图所示是一个正态曲线试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差,跟踪练习,2设随机变量N(，2)，且P(C)P(C)，则C等于()A0 BC D,B,应用正态分布曲线求概率,在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为_分析：由N(1，2)可知，密度函数关于x1对称，从而在(0,1)内取值的概率就等于(1,2)内的概率,解析：由N(1，2)，得落在(0,1)及(1,2)内取值的概率相同，均为0.4，如下图所示，
7、故落在(0,2)内取值的概率为P(0 1)P(12)0.40.40.8.答案：0.8,点评：解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化在此过程中充分体现数形结合及化归(转化)的数学思想,跟踪练习,3例3的条件不变，则P(2)_.,0.1,正态分布在实际问题中的应用,一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式,解析：依题意得 (10.210.1109.
8、89.910.39.710 9.910.1)10.2 (10.210)2(10.110)2(1010)2(9.810)2(9.910)2(10.310)2(9.710)2(1010)2(9.910)2(10.110)20.03.,即10，20.03.所以的概率密度函数为(x) .,跟踪练习,4某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从XN(50,102)，求他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率,解析：因为XN(50,102)，所以50，10.所以P(30X70)P(50210X50210)0.954 4.所以所求概率为0.954 4.,若一个正态分布
9、的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .(1)求该正态分布的概率密度函数的表达式；(2)求正态总体在(4,4上的概率,分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的表达式，关键是求表达式中的两个参数，的值，其中决定曲线的对称轴的位置，则与曲线的形状和最大值有关,解析：(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0.,(2)P(4x4)P(04x04)P(X)0.683.点评：解决此类问题的关键是正确理解函数表达式与正态曲线的关系，掌握函数表达式中参数的取值变化对曲线的影响,5(2012年佛山模拟)已知随机变量X服从正态分布N(，2)，且P(2X2)0.954
10、4，P( X)0.6 826，若4，1，则P(5X6)()A0.135 8 B0.135 9 C0.271 6 D0.271 8,跟踪练习,1若f(x) ，xR，则下列判断中正确的是()A有最大值，也有最小值 B有最大值，无最小值C无最大值，有最小值 D无最大值，也无最小值2正态总体N(0,1)中数值落在(，3)(3，)的概率为()A4.6%B0.002C0.003 D0.03%,B,C,3如右图所示是当取三个不同值1，2，3，的三种正态曲线N(0，2)的图象，那么1，2，3的大小关系是()A11230B01213C12130D01213,4若随机变量满足正态分布N(，2)，则关于正态曲线性质
11、的叙述正确的是()A越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”B越大，曲线越“高瘦”，越小，曲线越“矮胖”C的大小和曲线的“高瘦”、“矮胖”没有关系D曲线的“高瘦”、“矮胖”受到的影响,D,A,5已知随机变量服从正态分布N(0，2)，若P(2)0.023，则P(22)()A0.477 B0.625 C0.954 D0.977,解析：因为随机变量服从正态分布N(0，2)，所以正态曲线关于直线x0对称，又P(2)0.023，所以P(2)0.023，所以P(22)1P(2)P(2)120.0230.954，故选C.答案：C,6已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，P(X4)0.84，则P(X0)(
12、)A0.16 B0.32 C0.68 D0.84,A,7(2011年南开中学月考)已知随机变量服从正态分布N(2，2)则P(2)(),解析：由题意知平均值为2，因此P(2) .,答案：D,8已知正态总体的数据落在区间(3，1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为_,1,9设XN(0,1)：P(X0)P(0X)；P(X0)0.5；已知P(1X1)0.683，则P(X1)0.158 5；若P(2X2)0.954，则P(X2)0.977；若P(3X3)0.997，则P(X3)0.998 5.其中正确的有_(填序号),10(1)已知随机变量X服从正态分布N(0，2)，
13、且P(2X0)0.4，则P(X2)_.,0.1,(2)均值为2，标准差为 的正态分布的概率密度函数是_,11(1)随机变量X服从正态分布N(0，1)，如果P(X1)0.841 3，求P(1X0)的值；（2）如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图，已知P(Xa)m，求图中阴影部分的面积,（3）如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差.,解析：(1)解法一：由对称性可知P(1X0)P(0X1)，而P(X1)0.8413，P(X0)0.5，P(1X0)P(X1)P(X0)0.841 30.50.341 3.解法二：P(X1)0.841 3
14、，P(X1)P(X1)10.841 30.158 7.P(1X0)P(0X1) 1P(X1)P(X1) (120.158 7)0.341 3.,（2）P(Xa)m，由正态曲线的对称性可知：P(Xa)m，从而P(aXa)1P(Xa)P(Xa)12m，从而阴影部分的面积S P(aXa) (12m) m.,（3）从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值为 ,所以=20.由 ，解得 .于是正态分布密度曲线的解析式是x（-,+）.均值和方差分别是20和2.,12工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N ，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约多少个？,解析：不属于区间(3,5)的概率为P(X3)P(X5)1P(3X5)1P(|X4|1)因为XN ，所以4， .所以1P(|X4|1)1P(|X|3)10.9970.003.1 0000.0033(个),1求正态总体X取值小于x的概率若XN(，2)，则P(X)P(X) ；P(x)P(X)0.341 5；,P(2x),感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
