1、3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,空间向量与立体几何,1掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的2在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量3空间向量的基本定理及其推论,基础梳理,1空间向量的基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使得_2若三向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量都可由a，b，c线性表示，所有空间向量组成的集合就是_，把a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c叫做_3如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底
2、叫做_,1pxaybzc2p|pxaybzc，x，y，zR基底基向量3正交基底,4设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两互相垂直的单位向量，称这个基底为单位正交基底，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量 p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得_，把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作p_.5推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使,p
3、xe1ye2ze3,(x，y，z),6三点共线：对空间任一点O，若点P在直线AB上(或P、A、B三点共线)，则：(1)(2)式为直线的向量表达式7共面向量 (1)空间任意两个向量_；(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面_，_；(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量_,7(1)共面(2)存在唯一实数对x、y使cxayb(3)共面,自测自评,1下列命题中真命题的个数是()空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示A4个B3个C2个 D1个,C,2已知a
4、，b，c是空间向量的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()Aa BbCa2b Da2c,D,基底的判断,设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间的基底的向量组有()A1个B2个C3个 D4个分析：能否作为空间的基底，即判断给出的向量组中的三个向量是否共面由于a、b、c是不共面向量，所以可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直观判断,跟踪训练,1若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底
5、,解析：假设ab，bc，ca共面，则存在实数、使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，a、b、c不共面， 此方程组无解ab，bc，ca不共面，ab，bc，ca可以作为空间的一个基底,用基底表示向量,空间四面体OABC中，M在OA上， OM3MA，N在BC上，且BN2NC，设 a， b， c，用向量a，b，c表示 ， .,跟踪训练,2四棱锥POABC的底面为一矩形，设 a， b， c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示,用坐标表示空间向量,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD1，求向量 、 的坐标解析：如图所示，因为PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，所以可设 e1， e2， e3.,跟踪训练,3已知向量p在基底a，b，c下的坐标是(2,3，1)，求p在基底a，ab，abc下的坐标,答案：(1,4，1),一、选择填空题,C,A,1空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底2课本及我们研究所建坐标系均为右手系3空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，xOA，yOB，zOC，当OA与i方向相同时x0，反之x0，同理可确定y、z.,祝,您,学业有成,
