1、2.2直接证明与间接证明22.1综合法和分析法,1结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法2了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性,1综合法(1)定义：一般地，利用_和_等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法其一般表示形式是_(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：,已知条件,某些数学定义、公理、定理,由因导果,2分析法(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的
2、_，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个_(已知条件、定理、定义、公理等)这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是_(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：,得到一个明显成立的条件,充分条件,明显成立的条件,执果索因,3分析综合法(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到_Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到_P若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立这种证明方法称为分析综合法(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：,Pn1PnQm1Qm,中间结论,中间结论,1综合法证题的基本步骤(1)分析题目的条件和结论，寻找已知
3、与结论之间的有关数学公式、公理、定理、定义等，确定解决的初步思路；(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论2分析法证题的步骤以及格式欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错,3分析综合法的综合应用在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辨证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野,用综合法、分析法证明代数问题,已知：a，bR，且ab，求证：a3b3a2bab2.,证明：证法一 ：(分析法)
4、要证a3b3a2bab2，即证(ab)(a2abb2)ab(ab)，因为ab0，故只需证a2abb2ab，即证a22abb20，即证(ab)20，,因为ab，所以(ab)20成立，所以a3b3a2bab2成立证法二 ：(综合法)由ab，知(ab)20，即a22abb20，则a2abb2ab，又ab0，则(ab)(a2abb2)ab(ab)，即a3b3a2bab2.,跟踪训练,1已知sin 与cos 的等差中项是sin x，等比中项是sin y.(1)试用综合法证明：2cos 2xcos 2y；,证明：(1) sin 与cos 的等差中项是sin x，等比中项是sin y， sin cos 2s
5、in x， ,sin cos sin2y， 22，可得(sin cos )22sin cos 4sin2x2sin2y，即4sin2x2sin2y1.,2设函数f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称求证：f 为偶函数,用综合法、分析法证明几何问题,(2011广州一模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1 中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC 的中点求证：AB1平面BC1D.,证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，,四边形BCC1B1是平行四边形， 点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODAB1OD平面BC1D，AB
6、1 平面BC1D，AB1平面BC1D.,跟踪训练,3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，证明：平面A1BD平面CB1D1.,1当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路2用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“”，有些步骤也可用“”，但不能用“”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“”表达,3综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，
7、也是解决数学问题时常用的思维方式如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等这些方法是综合法和分析法的延续与补充,基础训练,1命题“对于任意角，cos4sin4cos 2 ”的证明过程：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”应用了()A分析法 B综合法C综合法与分析法结合使用 D演绎法,解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.答案：B,2要证明 0且ab,5已知直线l，m与平面，满足l，l，m和m，那么必定有()A且lm B且mCm且lm D且,A,8若平面内
8、0，且 ，则P1P2P3的形状一定是_,所以P1OP2120，故P1P3P260.同理可证P2P1P360，故P1P2P3是正三角形答案：正三角形,9函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A(1,1)，若点A在直线mxny10(mn0)上，则,_,10在ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证ABC为等边三角形,11(2011韶关一模)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11，AD2，E是BC的中点(1)求证：直线BB1平面D1DE；(2)求证：平面A1AE平面D1DE；(3)求三棱锥AA1DE的体积,(1)证明：
9、在长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1DD1，又BB1平面D1DE，DD1平面D1DE直线BB1平面D1DE.(2)证明：在长方形ABCD中，ABAA11，AD2，AEDE ，AE2DE24AD2，故AEDE，在长方体ABCDA1B1C1D1中有DD1平面ABCD，AE平面ABCD，DD1AE，,又DD1DED，直线AE平面D1DE，而AE平面A1AE，所以平面A1AE平面D1DE.,解析：,真题再现,1(2011全国卷)设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2 Sk24，则k()A8 B7 C6 D5,D,2(2011北京卷)已知函数f(x) 若关于x的方程f(x)k有
10、两个不同的实根，则实数k的取值范围是_,(0,1),3(2011山东卷) 如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60. (1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.,(1)证法一：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD.所以D1DBD.又因为AB2AD，BAD60，,在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos 603AD2.所以AD2BD2AB2，因此ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.,证法二：因为D1D平面ABCD，且BD
11、平面ABCD，,所以BDD1D.取AB的中点G，连接DG.在ABD中，由AB2AD得AGAD.又BAD60，所以ADG为等边三角形，因此GDGB.故DBGGDB，又AGD60，所以GDB30.,故ADBADGGDB603090.所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A.又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.,(2)连接AC、A1C1.设ACBDE，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC AC.,由棱台定义及AB2AD2A1B1知A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1EA1.又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD.所以CC1平面A1BD.,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
