1、常用逻辑用语,1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件,1理解必要条件、充分条件与充要条件的意义2会分析四种命题的相互关系,基础梳理,1命题“若p则q”为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假2若AB且BA，则称A是B的充要条件也说A等价于B，即AB.例：xy是xy0的充要条件,自测自评,1若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件,A,1x2,3条件p：|x|1，条件q：x2，则綈p是綈q的()A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条
2、件C充要条件D既不是充分条件又不是必要条件,A,充分条件、必要条件与充要条件的判断,在下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：ab，q：a2b2；(2)p：两直线平行，q：内错角相等；(3)p：直线l与平面所成角大小为90，q：l；(4)函数f(x)logax(a1)，p：f(x1)f(x2)，q：x1x20.解析：在(1)中，p q，q p，所以(1)中的p不是q的充要条件在(2)(3)(4)中，pq，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件,跟踪训练,1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p：ABC中，b2a2
3、c2，q：ABC为钝角三角形；(2)p：ABC有两个角相等，q：ABC是正三角形；(3)若a，bR，p：a2b20，q：ab0.,解析：(1)p是q的充分不必要条件(2)p是q的必要不充分条件(3)p是q的充要条件,充要条件的证明,试证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明：必要性：由于方程ax2bxc0有一正根和一负根所以b24ac0，x1x2 0.所以ac0.充分性：由ac0可推得b24ac0及x1x2 0.所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根,跟踪训练,2求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为2的充要条件
4、是4a2bc0.,证明：先证必要性：方程ax2bxc0有一个根为2，x2满足方程ax2bxc0，a22b2c0，即4a2bc0，必要性成立再证充分性：4a2bc0，c4a2b，代入方程ax2bxc0中，可得ax2bx4a2b0，即(x2)(ax2ab)0.故方程ax2bxc0有一个根为2，充分性成立因此，关于x的方程ax2bxc0有一个根为2的充要条件是4a2bc0.,一、选择填空题1a1是两直线xay2a2与axya1平行的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件,A,2“m ”是“直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互垂直”的()A充分不必
5、要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件,解析：两直线垂直用(m2)(m2)(m2)3m0求解答案：A,1判断充要条件的三种方法(1)定义法：首先分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件；(2)从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若BA，则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若AB，则A、B互为充要条件；(3)等价法：即利用等价关系“AB綈B綈A”判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法,2理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“反之也真”等3数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质4证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性),祝,您,学业有成,
