1、 1博文教育讲义课题：简化解析几何运算方法教学目标：提高学生简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结教学重点：简化运算方法归纳教学难点：有关的规律总结与运用教学过程：解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。1.回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定
2、义，可以使许多问题化繁为简。例 1 过椭圆左焦点倾斜角为 的直线交椭圆于点 且 ，则此椭圆离心率为60BA,F2._解析 本题的常规解法是：联立 再结合条件 求解，运算量大，作为填空题，)(3,12cxybaB不划算！如图 1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解：，)2()(3BABABFM )2(31eFA另一方面，在 中 ,FCRtCF60故 于是.e，)2(31e2又 ，所以可得FBA.3练习：设 是双曲线 的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使12， 210,xyab（O 为坐标原点） ，且 ，则双曲线的离心率是（ ）20.OP123PF3. .32. .31ABCD
3、【分析】根据向量加法的平行四边形法则， 2=,OPFQ.可知 为直角三角形.2OQFP2且 必 过 的 中 点 1这就为用定义法求离心率创造了条件.【解析】不妨设双曲线的半焦距 c=1,.令，21=,3,21rrar则 1290,FP但 是 OABxyM1图 CxyPOF1 F2QM2222211,341.PFFrr即 ， 得于是 ，选 D3,1caea2活用几何性质解决解析几何的运算问题，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，运算能力稍差的同学难以准确迅速求解，甚至半途而废；若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用有关几何性质来解决问题，常常可以峰回路转，收简捷
4、巧妙解题之效果.例 2 已知点 到两定点 的距离比为 ，点 到直线 的距离为 1，求直线 的P)0,1(,(NM2NPMPN方程。解析 本题若按常规做法为： 设 ，则 的方程为 ，,baP)(1xaby即 ，于是0)1(byabx.31)(2NH又 8)(22babaPM将代入可得 ， 于是31.1abkPN因此直线 的方程为N)(xy若能进一步观察题设条件：如图 3，在 中斜边 ，直角边MHRt21NH可得 ，在 中由正弦定理得0HMPsinsi.13542sinsin 或N于是 因此直线 的方程为.1taNkPN ).(xy评注：本题为 02 年全国高考文科第 21 题，分值为 14 分，
5、重点考查学生通过联立消参解方程组的运算能力，对文科学生的运算能力提出了较高的要求；通过上述通法与巧法对比，读者容易看出：运用平面图形的有关几何性质来分析解决一些解析几何的问题，可以有效地避免复杂的解几运算，以达简捷解题之目的。练习：过圆 C： 220(,)xyRMxy内 一 定 点 作一动直线交圆 C 于两点 P、R，过坐标原点 O 作直线ONPM 于点 N，过点 P 的切线交直线 ON 于点 Q，则 O= 。【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积容易想到直角三角形中成比例的线段.【解析】如图 4,连 OP,则 OPP
6、Q.但是 OQPR 于 N,根据直角三角形的射影性质有：2ONPR 2cosOMQQ即 .2R3图OHxNC图 3xyOPRQN3)(BAOP)(xy1图3数形结合对于某些几何特征比较明显的问题，常可从分析图形本身所固有的几何特征入手，或从运动变化的观点来分析考察图形中某些量的变化规律，往往可简捷获解。例 3、 是已知椭圆 上的两点，线段 垂直平分线与 轴交于点 ，B,A012bayx ABx0,xP求证： abxab202简析 着眼于寻求“线段 垂直平分线”的几何意义，可考虑构造圆AB（如图 10），220ryxP它与椭圆 有四个不同交点（或 3 个，12ba当 之一为长轴端点时） ，由消去
7、 得BA、 y- ，xx02222ba022xar方程有两个不同实根，则 ，即 。2021b2120xab，又 ， .axa21 xa02练习： 设点 ，动点 在椭圆 上且满足)9,0(PBA,1982y，试求 的取值范围。BA解析 本题简捷的解法是从数形结合的角度用运动变化的观点进行考察：如图 11 所示，三点 共线，当P,时 为最小；将直线 绕点 逆时针旋转至相切（)3,0(,51A重合）有 ；回转至 有 为最大，故有)3,0(,B5.5,14巧设参数例题 4：过抛物线 上一点 A(4，2)作倾斜角互补的两条直线 AB， AC 交抛物线于 B， C 两点，xy2求证：直线 BC 的斜率是定
8、值证明：（参数法）两点 B, C 均在抛物线 y=x 上。可设其坐标为：B(b,b) C(c,c)可得两条直线的斜率为 Kab=1/(b+2). Kac=1/(c+2)由题设可知：直线 AB 与直线 AC 的斜率是互为相反数1/(b+2)+1/(c+2)=0通分，整理可得：(b+c)+4/(b+2)(c+2)=0必有(b+c)=-4又直线 BC 的斜率 Kbc=1/(b+c)=-1/4直线 BC 的斜率为定值-1/4lABxyoPr10图4例 5、已知 是椭圆 上的点,试求 的取值范围?),(yxP1254yxyx解:设椭圆的参数方程 )20(sinco，且是 参 数 )sin135cos13
9、2(i5cos12yx ）（ 其 中 ,in)in(sin3 )sin(13的取值范围为1)i1yx),13(5利用设而不求,整体代换例 6： 是已知椭圆 上的两点，线段 垂直平分线与 轴交于点 ，求证：B,A02baABx0,xPabxab202解设 ， ，AB 的中点为 ，),(1y),(y),(yxM则 ， ，二式相减得212x，0121baxlk21y)(21xbabya则直线 L 的方程为 令 得y).x0.2x又 ，所以 。axabab202例 7、椭圆 上有两点 P、Q， 是原点，若 OP、OQ 斜率之积为 。 （1）求证：1462yO4|OP|2+|OQ|2为定值。 （2）求
10、PQ 的中点 M 的轨迹方程。解：（1）设 P、Q 的两点坐标分别为 、Q ,P、Q 分别在椭圆上，且1,yx2,，41OQPK.41,6,42121xyyx 3.2,16122xy得214,6621221xy（3）代入（4）得 ， （1）+（2）得x 4182xy。2OQP01yy（2）设 P、Q 的中点 M 的坐标为 M ，则有 ， ，x,x21y215（1）+（2）+（3） 得 ，221214yy21213xx。4xy即： ， 中点 M 的轨迹方程为32162x182yPQ128yx练习 1：已知直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、N 两点，椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点
11、，若BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线 l 的方程是 ( )A.6x5y28=0 B.6x+5y28=0 C.5x+6y28=0 D.5x6y28=0【分析】如图，椭圆的右焦点既是BMN 的重心，容易求出边 MN 的中点坐标，那么求直线 l 的方程，关键在求该直线的斜率.若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是：【解析】由 .椭圆上顶点22458016xyxyB（0，4）,右焦点 F（2,0）.为BMN 的重心，故线段 MN 的中点为 C（3，-2）.设直线 l 的斜率为 k.，点 在椭圆上，12,M
12、xyN214580xy 121212121212 46450 5yxxkxy所求直线方程为 ，选 A.6358yx练习 2、 已知直线 与双曲线 相交于 A、B 两点，问 取何值时，以 AB 为直径ax1012ya的圆经过原点。解：设 ，若以 AB 为直径的圆过坐标原点必有 ，即得：AyBy()()12， ， ， Ox120把 代入双曲线方程 ya312xy得： xa22230所以 1x22xyOB04(,)MNF20(,)C32(,-)图 16yaxaxx12122112()()解组成的方程组得 【评注】我们用参数设置了 M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它
13、们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.6引入向量用向量形式叙述题设条件，或引入向量分析解决解析几何问题，已经成为处理解几问题的基本方法，也是高考设计试题考查相关能力的一大特点。例 8 已知椭圆 ，直线 L： ，P 是 L1624:yxC182yx上一点，射线 OP 交 C 于点 R。又点 Q 在射线 OP 上且满足：，当点 P 在 L 上移动时，求点 Q 的轨迹方程。OQ解析 本题若用一般方法求解，需要引入 5 个参数，还要讨论去绝对值，详参 1995 年全国高考评分标准。若引入向量法求解，则直观而简易：如图 13，设 ),(),(yxOyx ).,(yxOP将 R，P 点的坐标分别代入 C，L 的方程可得 ，.2 16)(242y，消去 得 即 为所求。182yx,1642.813/5)(2/1PQRxy3图
