1、1概率论与数理统计复习提要第一章 随机事件与概率1事件的关系 ABABA 2运算规则 （1） （2） )()()( CC（3） ) ) （4） BABA 3概率 满足的三条公理及性质：)(P（1） （2）101)(P（3）对互不相容的事件 ，有 （ 可以取 ）nA,21 nkknkAP11)()(（4） （5） 0)(P)(P（6） ，若 ，则 ，BBA)()(B)(（7） )()(APP（8） )()()()()( ABCPACPBCBCBA 4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（1） 定义：若 ，则0)(BP)(|(BPA（2） 乘法公式： |)若 为完备事件组， ，则有n
2、B,1 0(i（3） 全概率公式： ni iiBAPAP1)|)（4） Bayes 公式： ni iikkkB)|()|(27事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用）BA , )()(BPA第二章 随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值， 满足（1） ， （2）iipxX)( 0i=1ip（3）对任意 ，RDDxiiP :)(2 连续随机变量：具有概率密度函数 ，满足（1） ；(f 1)( ,0)(-dxfxf（2） ；（3）对任意 ，badfXa)( RaaXP3 几个常用随机变量名称与记号 分布列或密度 数学期望 方差两点分布 ),1(pB，pP)1( pqXP1)0( p
3、q二项式分布 n ，nkCkXn,2, nPoisson 分布 )(,10,!)(e几何分布 )(pG,2 ,)(1kpqXPp12q均匀分布 ),(baU，bxabxf ,)( ba1)(a指数分布 E0 ,efx2正态分布 ),(2N2)( 1)(f 4 分布函数 ，具有以下性质(xXPxF（1） ；（2）单调非降；（3）右连续；1) ,0)(（4） ，特别 ；(aba )(1)(aFXP（5）对离散随机变量， ；xiipF :)（6）对连续随机变量， 为连续函数，且在 连续点上，dtf)( )(xf3)( xfF5 正态分布的概率计算 以 记标准正态分布 的分布函数，则有)(x)1,0(
4、N（1） ；（2） ；（3）若 ，则5.0)()(1),(2X；xF（4）以 记标准正态分布 的上侧 分位数，则u),0(N)(1)(uuP6 随机变量的函数 XgY（1）离散时，求 的值，将相同的概率相加；（2） 连续， 在 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则X)(x，若不单调，先求分布函数，再求导。|)|)( 11ygfyfY第三章 随机向量1 二维离散随机向量，联合分布列 ，边缘分布列ijjipyYxXP),(， 有iipxXP)( jjpyY)(（1） ；（2） ；（3） ，0ijij1jii ijjp2 二维连续随机向量，联合密度 ，边缘密度 ，有),(yxf )( ,yfx
5、YX（1） ；（2） ；（3） ；0),(yxf1GdxyfP),(（4） ，dyfX),(dxyffY),()(3 二维均匀分布 ，其中 为 的面积其 它 0, )(),(Gxmxf )(m4 二维正态分布 ，其密度函数（牢记五个参数的含义）),() ,(21NYX 22121221 )()()(exp2),( yxxyxf且 ； , ),2Y5 二维随机向量的分布函数 有),()(yYxXPyxF（1）关于 单调非降；（2）关于 右连续；yx, ,4（3） ；0),(),(),( FyxF（4） ， ， ；1xxX)(,(yFY（5） ；),(),) ,( 112212221 yxFxyy
6、YXxP （6）对二维连续随机向量， xf,(,(6随机变量的独立性 独立Y, )(),yFxyYX（1） 离散时 独立X, jiijp（2） 连续时 独立, )(),(yfxyfYX（3） 二维正态分布 独立 ，且Y0),2121N7随机变量的函数分布（1） 和的分布 的密度XZdxzfdyzfzfZ ),(),()(（2） 最大最小分布第四章 随机变量的数字特征1期望(1) 离散时 ， ；iipxE)(iipxgE)()(2) 连续时 ， ；dfX)(dfX(3) 二维时 ，jiijipyxgYg,),( dyxfyxgYg),(,),(4) ；（5） ；CE)( (CE（6） ；)(YX
7、Y（7） 独立时，, )(2方差（1）方差 ，标准差 ；222)()()( EXXED )()(XD（2） ； ,0DC（3） ；)()(2X（4） 独立时，Y, )(YXY53协方差（1） ；)()()()(),( YEXYEXEYXCov （2） ；, ,abCovCovv（3） ；),()(),( 2121v（4） 时，称 不相关，独立 不相关，反之不成立，但正态时等价；0YXCoYX,（5） ),()()( CovDD4相关系数 ；有 ，)(,YXCovY1|XY1)( ,1| baXYPbXY5 阶原点矩 ， 阶中心矩kkkE kkE)(第五章 大数定律与中心极限定理1Chebysh
8、ev 不等式 或2)(|)(| XDXP2)(1|)(| XDXP2大数定律3中心极限定理 （1）设随机变量 独立同分布 ，则n,21 2)( ,)(iiXDE， 或 或 ，),(21nNXnii近 似 ),(21nNXnii近 似 )0,1( 1Nnnii近 似（2）设 是 次独立重复试验中 发生的次数， ，则对任意 ，有mApAP(x或理解为若 ，则)(li xnpqPn ),nB),(nqX近 似第六章 样本及抽样分布1总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法） ；（2） 样本数字特征：样本均值 （ ， ） ；niiX1)(EnXD2)(6样本方差 （
9、 ）样本标准差niiXS122)(2)(SEniiX12)(样本 阶原点矩 ，样本 阶中心矩knikik1nikikX1)(2统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1） 分布 ，其中 独立同分布于2)(2212 nXn n,21标准正态分布 ，若 且独立，则 ；),0(N ),(21Y )(21YX（2） 分布 ，其中 且独立；t/ntYX )( ),0(2nN（3） 分布 ，其中 且独立，有下面F),(/2121F)(),(212YX的性质 ),(),( ),(1 122112 nnn4正态总体的抽样分布（1） ； （2） ；)/,(2NX
10、 )()(122Xnii（3） 且与 独立； （4） ；)1()22nSn )1(/ntSt（5） ，)2()( 12121 ntYXt 2)(1S（6） ),(/2121nFS第七章 参数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为 min 或ix7max ）ix3估计量的评选原则(1)无偏性：若 ，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；)(E4参数的区间估计（正态）参数 条件 估计函数 置信区间已知2nxu/ 2nux未知2st/ )1(2st2未知 22)1(n )(,)(212nn
