1、 例 1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或者可供 15 头牛吃 10 天问：可供 25 头牛吃几天？分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量设 1 头牛一天吃的草为 1 份那么， 10 头牛 20 天吃 200 份，草被吃完； 15头牛 10 天吃 150 份，草也被吃完前
2、者的总草量是 200 份，后者的总草量是 150 份，前者是原有的草加 20 天新长出的草，后者是原有的草加 10 天新长出的草20015050(份)，20 1010(天)，说明牧场 10 天长草 50 份，1 天长草 5 份也就是说，5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5 头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草由此得出，牧场上原有草(105)20100(份)或(155)10100( 份) 现在已经知道原有草 100 份，每天新长出草 5 份当有 25 头牛时，其中的 5头专吃新长出来的草，剩下的 20 头吃原有的草，吃完需 100205( 天) 所以，这片草地可供 25 头牛吃 5 天在例 1
3、的解法中要注意三点：(1)每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的(2)在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量(3)在所求的问题中， 让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天例 2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管如果同时打开 2 个出水管，那么 8 分钟后水池空；如果同时打开 3 个出水管，那么 5 分钟后水池空那么出水管比进水管晚开多少分钟？分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在
4、均匀变化， “水”相当于“草”，进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例 1相似出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题设出水管每分钟排出水池的水为 1 份，则 2 个出水管 8 分钟所排的水是2816( 份 )，3 个出水管 5分钟所排的水是 3515(份)，这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量两者相减就是在 85 3(分)内所放进的水量，所以每分钟的进水量是水管
5、排原有的水，可以求出原有水的水量为解：设出水管每分钟排出的水为 1 份每分钟进水量答：出水管比进水管晚开 40 分钟例 3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15头牛吃 6 天照此计算，可供多少头牛吃 10 天？分析与解：与例 1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少但是，我们同样可以利用例 1 的方法，求出每天减少的草量和原有的草量设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份20 头牛 5 天吃 100 份，15 头牛 6 天吃 90 份，1009010( 份)，说明寒冷使牧场 1 天减少青草 10 份
6、，也就是说，寒冷相当于 10 头牛在吃草由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”，再加上“寒冷”代表的 10 头牛同时在吃草，所以牧场原有草(2010) 5 150(份)由 1501015 知，牧场原有草可供 15 头牛吃 10 天，寒冷占去 10 头牛，所以，可供 5 头牛吃 10天. 例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上问：该扶梯共有多少级？分析：与例 3 比较，“ 总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速
7、度”， 也可以看成牛吃草问题上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度男孩 5 分钟走了 205100( 级)，女孩 6 分钟走了 15690( 级)，女孩比男孩少走了 100 9010(级)，多用了 651( 分 )，说明电梯 1 分钟走 10 级由男孩 5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有(2010) 5 150(级)解：自动扶梯每分钟走(205156)(65)10( 级) ，自动扶梯共有(2010) 5150(级)答：扶梯共有 150 级例 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等
8、候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？分析与解：等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客设 1 个检票口 1 分钟检票的人数为 1 份因为 4 个检票口 30 分钟通过(430)份， 5 个检票口 20 分钟通过(520) 份，说明在(30 20)分钟内新来旅客 (430520)份，所以每分钟新来旅客(430520)(3020) 2(份)假设让 2 个检
9、票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为(42)3060( 份)或(52)2060(份)同时打开 7 个检票口时，让 2 个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60(72) 12( 分)例 6 有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？分析与解：例 1 是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来5，6，8120 因为 5 公顷草地可供 1
10、1 头牛吃 10 天，120 524，所以 120 公顷草地可供1124264(头)牛吃 10天因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天，120 620，所以 120 公顷草地可供1220240(头)牛吃 14天120815 ，问题变为： 120 公顷草地可供 1915285(头)牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供 264 头牛吃 10 天，或供 240 头牛吃 14 天，那么可供 285 头牛吃几天？ ”这与例 1 完全一样设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份每天新长出的草有(2401426410)(14 10) 180( 份)草地
11、原有草(264 180) 10840( 份)可供 285 头牛吃840(285 180) 8( 天)所以，第三块草地可供 19 头牛吃 8 天我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明例 1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供 23头牛吃 9 天。那么它可供 21 头牛吃几天？例 2.有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？分析与解：例 1 是在同一块草地上，例 2 是三块面积不同的草地（这就两者本质的区别）第
12、一章：核心思路普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思现在来说我的核心思路：例 1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天。那么它可供 21头牛吃几天？将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设 27 头牛中有 X 头是“剪草工”，这 X 头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。（请慢慢理解，这是关键）例 1：解:设每天新增加草量恰可供 X 头牛吃一天,21 牛可吃 Y 天（后面所有 X 均为此意）可供 27 头牛
13、吃 6 天，列式:（27 X）6 注：（27X）头牛 6 天把草场吃完可供 23 头牛吃 9 天，列式:（23 X）9 注：（23X）头牛 9 天把草场吃完可供 21 头牛吃几天？列式：（ 21X）Y 注：（21X）头牛 Y 天把草场吃完因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面 1、2、3（27X ）6（23X）9 （21X）Y（27X ）6（23X）9 【1】（23X ）9（21X）Y 【2 】解这个方程组，得 X15 （头） Y12 （天）例 2：有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草
14、地可供 12 头牛吃 14 天问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？解析：现在是三块面积不同的草地为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来（这是面积不同时得解题关键）求【5，6，8】得最小公倍数为 1201、因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天，120/524，所以 120 公顷草地可供 11*24264(头)牛吃 10 天2、因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天，120/620，所以 120 公顷草地可供 12*20240(头)牛吃 14 天3、120815 ，问题变为： 120 公顷草地可供 19/15285(头)牛吃几天？这样一来，例 2 就转化为例 1，同理
15、可得：（264X）10（240X）14 （285X）Y（264X）10（240X）14 【1】（240X）14（285X）Y 【2】解方程组：X=180 （头） Y=8（天）典型例题“牛吃草” 已介绍完毕。第二章：“牛吃草” 变型. 以下几道题目都是“牛吃草”的变型，解法和上面我讲的一摸一样，因为我在前边写的很详细了，所以下面的例题不再给出详解，略作说明即可。请大家自行验证。例 3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天照此计算，可供多少头牛吃 10 天？解析：本题的不同点在草匀速减少，不管它，
16、和前边设 X、Y 一样来理想化，解出的 X 为负数（无所谓，因为 X 是我们理想化的产物，没有实际意义），解出 Y 为我们所求。例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上问：该扶梯共有多少级？解析：总楼梯数即总草量，设略列式（20X）5 （15-X）6X= 10（级）？（例 3 已说过，X 是理想化的产物，没有实际意义）将 X=10 代入（20X）5 得 150 级楼梯例 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等候检
17、票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？解析：原有旅客即原有草量，新来排队得旅客即每天新长出得草量，其它不用我多说了吧。 例 6 现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用 8 台抽水机 10天可以抽干；用 6 台抽水机 20 天能抽干。问：若要 5 天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？解析：原有水量即原有草量，新匀速注入得水即每天新长出得草量，继续。例 7 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内. 如果 10 人淘水，3 小时淘完；如5 人淘水 8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，
18、要安排多少人淘水？解析：（10-X）*3=(5-x)*8=(n-x)*2。例 8、牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供 16 头牛吃 20天，或者供 80只羊吃 12 天，如果一头牛一天吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？解析：思路，把羊转化为牛4 羊1 牛，“也可以供 80 只羊吃 12 天”相当于“20 头牛吃 12 天”现在是“10 头牛与 60 只羊一起吃这一片草”相当于“10 60425 头牛吃草”16-x*20=20-x*12=25-x*yx=10 y=8例 9.某牧场上长满牧草 ,每天匀速生长,这片牧草供 17 头牛吃 30 天,19 头牛吃24 天,现有一群牛吃了 6 天,主人卖掉了 4 头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头?解：设原有 Y 头，x 还是“剪草的”17-x*30=19-x*24=y-x*6+y-4-x*2注意：剩下的 2 天已经卖掉了 4 头牛，要分开计算（y-x-4）*（6+2 ），这样列式就错了x=9 y=40
