1、16.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1 大地坐标系点的子午面 NPS 与起始子午面 NGS 所构成的二面P角 ，叫做 点的大地经度，由起始子午面起算，向东L为正，叫东经（0180） ，向西为负，叫西经（0 o180） 。 点的法线 与赤道面的夹角 ，叫做PnB点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（090） ；向南为负，叫南纬(090)。大地坐标系是用大地经度 L、大地纬度 B 和大地高 H表示地面点位的。过地面点 P 的子午面与起始子午面间的夹角叫 P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0180） ，向西为负，叫西经（0-180） 。过 P 点的椭球法线与
2、赤道面的夹角叫 P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（090），向南为负，叫南纬（0-90） 。从地面点 P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，点的位置用 , 表示。如果点不在椭球面上，表示LB点的位置除 , 外，还要附加另一参数大地高 ，H它同正常高 及正高 有如下关系正 常H正)(大 地 水 准 面 差 距高 程 异 常正正 常 N6.2.2 空间直角坐标系以椭球体中心 为原点，起始子午面与赤道面交O线为 轴，在赤道面上与 轴正交的方向为 轴，XXY椭球体的旋转轴为 轴，构成右手坐标系 - ，ZOXZ在该坐标系中， 点的位置用 表示。P,地球空间直角坐标系的坐
3、标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系） ，z轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于 XOZ 面并构成右手坐标系。6.2.3 子午面直角坐标系设 点的大地经度为 ，在过 点的子午面上，以PLP子午圈椭圆中心为原点，建立 平面直角坐标系。在该yx,坐标系中， 点的位置用 , 表示。26.2.4 大地极坐标系为椭球体面上任意一点， 为过 点的子午线， 为连结 的大地线长， 为MMNSMPA大地线在 点的方位角。以 为极点， 为极轴， 为极半径， 为极角，这样就构A成大地极坐标系。在该坐标系中 点的位置用 , 表示。PSA椭球面上点的极坐标（ , ）与
4、大地坐标( , ）可以互相换算，这种换算叫做大地SALB主题解算。6.2.5 各坐标系间的关系椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。1.子午面直角坐标系同大地坐标系的关系过 点作法线 ，它与 轴之夹角为 ，PnxB过 点作子午圈的切线 ，它与 轴的夹角TP为（90+ ） 。子午面直角坐标 同大地纬度 的关系式如下：By,WBaeaxcossin1co2VBbey sini)1(i)(222.空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标系中的 相当于子午平面直角坐标系中的 ，前者的 相当于后者P2 y2OP的 ，并且二者的经度 相同。xLyZxYX
5、sinco3.空间直角坐标系同大地坐标系的关系同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换。 BHeNzLyxsinco213221sinsinarcteNBzHyxL式中：e子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式 算得。22abe/N法线长度，可由式 算得。Bea21sin/6.3 几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧） 。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方
6、向的法截弧的曲率半径都不相同。6.3.1 子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长 ，dsDK相应地有坐标增量 ，点 是微分弧 的曲率dxnS中心，于是线段 及 便是子午圈曲率半径DK。M任意平面曲线的曲率半径的定义公式为： dBS子午圈曲率半径公式为： 32)1(Wea或 VcM2VN与纬度 有关它随 的增大而增大，变化规律如下表所示：BM说 明09B 3220)1()(ecae1c290在赤道上， 小于赤道半径Ma此间 随纬度的增大而增大在极点上, 等于极点曲率半径 c46.3.2 卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成
7、的闭合的圈称为卯酉圈。在图中 即为过 点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半EP径用 表示。N为了推导 的表达计算式，过 点作以P为中心的平行圈 的切线 ，该切线位OPHKT于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故 也是卯酉圈在 点处的T切线。即 垂直于 。所以 是平行圈n及卯酉圈 在 点处的公切线。PHKE卯酉圈曲率半径可用下列两式表示： WaNVc6.3.3 任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为 0或 180。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为 90或 270。现在来讨论方位角为 的任意法截弧的曲率半径 的计算公式。AAR任意方向 的法截弧的曲率半径的计算公式如下： Be
8、NNRA 222cos1cos1（7-87）6.3.4 平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向 的平均值来作为这个球体的半径是合适的。AR这个球面的半径平均曲率半径 R： MN或 )1(222eWaVcbR因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径 等于该点子午圈曲率半径 和卯酉圈曲率RM半径 的几何平均值。N6.3.5 子午线弧长计算公式子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子5午线分成对称的两部分。如图所示，取子午线上某微分弧 ，令 点纬度为 ， 点纬度为 ，dxP BPdB点的子午圈曲率半径为 ，于
9、是有：PMdBx从赤道开始到任意纬度 的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：X0式中 M 可用下式表达：BaBaa 8cos6cs4cos2cs0 其中： 12863327181652283583686464maamm经积分，进行整理后得子午线弧长计算式： BaBaBaX 8sin6si4sinsi20 为求子午线上两个纬度 及 间的弧长，只需按上式分别算出相应的 及 ，而后取差：1 1X2，该 即为所求的弧长。12克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式： BBBX 6sin02.4sin82.16sin480.1638.34 Bcosi97.co93co7251 531975 年国际椭球子午线弧长
10、计算公式： 6sin02.4sin8.16sin.16038.3 BBBX cosi98.co93co52951 536.3.6 底点纬度计算在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X，Y）反求其大地坐标（L，B） 。首先 X当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。（1）迭代法在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设 861.34/1XBf以后每次迭代按下式计算：6861.34/)(1ififBFX ifififif BBF 6sn02.sn2.1sn4803.6)( 重复迭代直至 为止。ifif1在 1975 年国际椭
11、球上计算时，也有类似公式。（2）直接解法1975 年国际椭球： 13.67452/Xcosin10cos)cos238(96708 2 Bf克拉索夫斯基椭球： 4.6375/ cos)cos2350(29601 22f6.3.7 大地线椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线” ，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合” 。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线。假如在椭球模型表面 , 两点之间，画出相对法截线AB如图所示，然后在 , 两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线。由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间的最短线。在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。
