1、极坐标系下两点距离公式的发现与应用王立保米脂中学数学教研组，陕西 米脂 718100摘要：距离是几何学研究的主要内容之一。平面直角坐标系中的两点距离公式在解析几何中有着极其广泛的应用。在选修 4-4 中，教材内容没有提出极坐标系下的两点距离公式，笔者发现了它，并在课后习题以及高考试题中得以应用。关键词：高考；极坐标；两点距离公式在平面解析几何里，两点距离公式是最基本的公式，有着极其广泛的应用。特别是研究圆锥曲线的轨迹方程上表现尤为突出。 从 2017 年开始，高考数学全国卷选做题 22 题，已由原来的三选一变成了二选一。如此一来，选修 4-4 的分值明显增加，极坐标的相关知识占其中一半。在求极
2、坐标下的曲线轨迹方程问题上，课本的例题中，往往是在曲线上构造直角三角形或一般三角形，利用直角三角形内的三角运算或正余弦定理构造等量关系来处理,难度比较大。笔者在教学中，不经意发现了极坐标系下的两点距离公式。利用公式来处理相关问题就方便多了。一 公式以及证明若 A,B 两点的极坐标分别为（ ） （ ） （不妨取 , ）1， 2， 0,2则 =AB2112COS（ -）证明：(1)如图一，当 时， =AB2112COS= = ，这显然是正确的。211221-（ ） 12(2)如图二，当 时， = = =12AB2112COS2112+= = ，这显然也是正确的。21+（ ） +(3)如图三，当不是
3、 1,2 两种特殊情况时，点 A、点 B、极点 O 三点一定能构成一个三角形，由三角形的余弦定理可知， ，22cosAB即 =AB211212COS（ -）特别说明：在(3)一中，cosAOB=cos（ ）=cos( );在(3)二中，2112cosAOB=cos2 -（ ）=cos( );211证完.二.应用例 1.人教版选修 4-4 第 15 页习题 1.3 第 2 题：求适合下列条件的图形的极坐标方程。（3）圆心在 A(1， ),半径为 1 的圆；4解：设圆上任意一点为 P ，则由 =1 得： =1(,)OP21cos()4化简得： cos(4例 2.（2015 新课标全国 II） ，在
4、直角坐标系 xOy 中，曲线 ： （t 为1Ccosinxty参数，t 0）,其中 .在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ， .2Csin3:2cosC(1)求 与 交点的直角坐标；(2)若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B，求的最大值.1213解：(1)略 (2) 化为极坐标方程为： = ，1C当 时，A,B 两点在 O 点同侧,如图(1):此点 A 的极坐标为(2sin , )，0,2 B(2 cos , ) 3所以 = = ，此时，当 =0 时， =2AB23sincos3(4)inmaxAB.3当 时，A,B 两点在 O 点两侧，如图(2):此点 A 的极坐标为,2(2sin , )，B(2 cos( + ), + )3所以 =2sin + 2 cos( + )=2sin -2 cos =4sin( - ),此时当AB33= 时， =456max综上： =4
