1、2019/2/7,1,第7章 三维变换及三维观察,提出问题,如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 如何进行投影变换 如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察,2019/2/7,2,7.1 三维变换的基本概念,7.1.1 三维齐次坐标变换矩阵,2019/2/7,3,7.1.2 几何变换,图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。 点的矩阵变换 线框图的变换 用参数方程描述的图形的变换,2019/2/7,4,7.1.3 平面几何投影,投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。 平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变
2、换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。 观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。,2019/2/7,5,投影中心、投影面、投影线：,2019/2/7,6,平面几何投影可分为两大类： 透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的,2019/2/7,7,2019/2/7,8,7.1.4 观察投影,2019/2/7,9,7.2 三维几何变换,2019/2/7,10,7.2.1 三维基本几何变换,三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换 假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为p(x,y,z)。,2019/2/7,
3、11,1. 平移变换,2019/2/7,12,2. 比例变换 (1)局部比例变换,2019/2/7,13,例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。,2019/2/7,14,(2)整体比例变换,2019/2/7,15,3. 旋转变换,2019/2/7,16,(1)绕z轴旋转,2019/2/7,17,(2)绕x轴旋转,2019/2/7,18,(3)绕y轴旋转,2019/2/7,19,4. 对称变换 (1)关于坐标平面对称 关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：,2019/2/7,20,关于yoz平面的对称变换为：,20
4、19/2/7,21,关于zox平面的对称变换为:,2019/2/7,22,(2)关于坐标轴对称变换 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：,2019/2/7,23,关于y轴的对称变换为：,2019/2/7,24,关于z轴的对称变换为：,2019/2/7,25,5. 错切变换,2019/2/7,26,(1)沿x方向错切,2019/2/7,27,(2)沿y方向错切,2019/2/7,28,(3)沿z方向错切,2019/2/7,29,6. 逆变换 所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换 (1)平移的逆变换,2019/2/7,30,(2)比例的逆变换 局部比例变换的逆变换矩阵为：,2019/2/7,
5、31,整体比例变换的逆变换矩阵为：,2019/2/7,32,(3)旋转的逆变换,2019/2/7,33,7.2.2 三维复合变换,三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换结果是每次变换矩阵相乘。,2019/2/7,34,1. 相对任一参考点的三维变换,相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步： (1)将参考点F移至坐标原点 (2)针对原点进行二维几何变换 (3)进行反平移,2019/2/7,35,例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换,2019/2/7,36,2. 绕任意轴的三维旋转变换,问题：如何求出为TRAB。,2019/2/7,37,分析：,
6、2019/2/7,38,公式推导： (1) 将坐标原点平移到A点 (2) 将OBB绕x轴逆时针旋转角，则OB旋转到xoz平面上 (3) 将OB绕y轴顺时针旋转角，则OB旋转到z轴上。 (4) 经以上三步变换后，AB轴与z轴重合，此时绕AB轴的旋转转换为绕z轴的旋转。 (5) 最后，求TtA，TRx，TRy的逆变换，回到AB原来的位置。,2019/2/7,39,类似地，针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成： (1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。 (2)使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止一次。 (3)针对该坐标轴完成变换。 (4)用逆旋转变换使
7、方向轴回到其原始方向。 (5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。,2019/2/7,40,7.3 平行投影,平行投影可分成两类：正投影和斜投影。,2019/2/7,41,7.3.1 正投影,正投影又可分为：三视图和正轴测。 当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图。,2019/2/7,42,三视图： 三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，投影面分别与X轴、Y轴和Z轴垂直。,2019/2/7,43,正轴测图 正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。 当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为等轴测； 当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测； 当投影面与三个坐标
8、轴之间的夹角都不相等时为正三测。,2019/2/7,44,2019/2/7,45,1. 三视图 计算步骤： (1) 确定三维形体上各点的位置坐标 (2) 引入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵 (3) 将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体上各点(x,y,z)经变换后的相应点(x,y)或(y,z) (4) 由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三视图。,2019/2/7,46,2. 主视图 将三维形体向xoz面（又称V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主视图。,2019/2/7,47,3. 俯视图 三维形体向xoy面（又称H面）作垂直投影得到俯视图， (1) 投影变换 (2)使H面绕
9、x轴负转90 (3)使H面沿z方向平移一段距离-z0,2019/2/7,48,4. 侧视图 获得侧视图是将三维形体往yoz面（侧面W）作垂直投影。 (1) 侧视图的投影变换 (2)使W面绕z轴正转90 (3)使W面沿负x方向平移一段距离x0,2019/2/7,49,5. 正轴测图的投影变换矩阵,分析：,2019/2/7,50,公式推导： (1) 先绕y轴顺时针旋转角 (2) 再绕x轴逆时针旋转角 (3) 将三维形体向xoy平面作正投影 最后得到正轴测图的投影变换矩阵,2019/2/7,51,6. 正等测图,分析：,2019/2/7,52,公式推导：将和的值代入(7-1)式得到正等测图的投影变换
10、矩阵：,2019/2/7,53,7. 正二测图,分析：,2019/2/7,54,将值代入(7-1)式得到正二测图的投影变换矩阵：,特点分析：,2019/2/7,55,7.3.2 斜投影,斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面图形。 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。,2019/2/7,56,2019/2/7,57,斜轴测图的形成,通常=30取30或45。,2019/2/7,58,斜平行投影的投影变换矩阵为：,对于斜等测图有：=45,ctg=1 斜二测图则有：=arctg(2),ctg=1/2,2019/2/7,59,对于斜等测图有
11、：=45,ctg=1 斜二测图则有：=arctg(2),ctg=1/2,2019/2/7,60,2019/2/7,61,7.4 透视投影,分析：,2019/2/7,62,2019/2/7,63,灭点： 不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。,2019/2/7,64,2019/2/7,65,7.4.
12、1 一点透视,分析： 要考虑下列几点： (1)三维形体与画面（投影面）的相对位置； (2)视距，即视点（投影中心）与画面的距离； (3)视点的高度。,2019/2/7,66,假定视点（投影中心）在原点，画面（投影面）与z轴垂直（z=d）。 一点透视的步骤： (1)将三维形体平移到适当位置l、m、n； (2)令视点在z轴，利用公式(7-2)进行透视变换； (3)最后，为了绘制的方便，向xoy平面作正投影变换，将结果变换到xoy平面上。,2019/2/7,67,例：试绘制如图7-21(a)所示的单位立方体的一点透视图。,2019/2/7,68,7.4.2 二点透视,可以这样来构造二点透视的一般步骤
13、： (1)先将三维形体平移到适当位置，使视点有一定高度，且使形体的主要表面不会积聚成线； (2)将形体绕y轴旋转一个角(90)，方向满足右手定则； (3)进行透视变换 (4)最后向xoy面作正投影，即得二点透视图。,2019/2/7,69,例：试绘制上例（图7-21(a)）中的单位立方体的二点透视图。,2019/2/7,70,7.4.3 三点透视,同样可以简单的构造三点透视图： (1)首先将三维形体平移到适当位置； (2)将形体进行透视变换 (3)然后使形体先绕y轴旋转角； (4)再绕x轴旋转角； (5)将变形且旋转后的形体向xoy面作正投影。,2019/2/7,71,7.5 观察坐标系及观察
14、空间,7.5.1 观察坐标系,观察参考坐标系（View Reference Coordinate） 观察参考点（View Reference Point）,2019/2/7,72,观察平面（View Plane），即投影平面。,2019/2/7,73,观察坐标系（uvn坐标系）的建立 法矢量N、法矢量V、法矢量U,2019/2/7,74,7.5.2 观察空间,观察窗口：,2019/2/7,75,观察空间：无限观察空间、有限观察空间,2019/2/7,76,2019/2/7,77,需注意，对于透视投影，前截面必须在投影中心和后截面之间。,2019/2/7,78,观察平面和前后截面的有关位置取决于
15、要生成的窗口类型及特殊图形包的限制,2019/2/7,79,2019/2/7,80,规范化观察空间 平行投影的规范化观察空间定义为：,2019/2/7,81,透视投影的规范化观察空间为：,2019/2/7,82,7.6 三维观察流程,2019/2/7,83,7.6.1 用户坐标系到观察坐标系的变换,具体变换步骤： (1) 平移观察参考点到用户坐标系原点 (2) 进行旋转变换分别让xv、yv和zv轴对应到用户坐标系中的x、y和z轴。,2019/2/7,84,2019/2/7,85,7.6.2 平行投影的规范化投影变换,分析：,2019/2/7,86,平行投影的规范化投影变换可由以下三步组成。 (
16、1)将投影中心平移到观察坐标系原点。,2019/2/7,87,(2)对坐标系进行错切变换，使投影中心和窗口中心的连线错切到zv轴,2019/2/7,88,(3)进行坐标的归一化变换,2019/2/7,89,7.6.3 透视投影的规范化投影变换,分析：透视投影的规范化投影变换分两步进行 (1),2019/2/7,90,(2),2019/2/7,91,变换步骤： (1)将投影中心平移到观察坐标系原点 (2)对坐标系进行错切变换,2019/2/7,92,(3) 进行比例变换。 (4) 将图7-34(b)所示的透视投影的规范化观察空间变换为图7-34(a)的平行投影的规范化观察空间。,2019/2/7,93,7.7 三维裁剪,三维裁剪 三维裁剪保留所有在观察空间内的图形以便在输出设备中显示，所有在观察空间外的图形被丢弃。 三维直线段的裁剪 多边形面的裁剪,2019/2/7,94,四维齐次坐标表示的图形裁剪： 一是将齐次坐标转换为三维坐标，在三维空间中关于规范化观察空间剪裁； 一是直接在齐次坐标空间中进行裁剪。,7.7.1 关于规范化观察空间的裁剪 7.7.2 齐次坐标空间的裁剪,2019/2/7,95,习题,
