1、平面向量的概念及其线性运算数学：安送杰1、教学目标：1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法；2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法；3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。二、重点与难点：3、教 学设计：1、 知识点 回顾：（1） 、向 量的概 念及表 示；（2） 、重点 难点 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其
2、几何意义；理解向量共线定理. 了解向量的线性运算性质及其几何意义运用向量加、减法、数乘运算进行解题，以及两个向量共线的充要条件的运用.和向量相关的一些概念：、向量的模；、零向量；、单位向量；、平行向量（共线向量） ；、相等向量和相反向量；、一个规定；（3） 、向量的线性运算：、向量的加法运算；、向量的减法运算；、向量的数乘运算；2、复习知识，练习巩固：（1） 、向量的概念及表示：、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。、向量的表示方法：A、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度；B、字母表示法：手写使用
3、或 ，印刷使用黑体小写字母。ABcba,（2） 、和向量相关的一些概念：、向量的模：向量 的模（或长度） ，就是向量 的大小，记作： ，向量的模ABABAB可以比较大小；、零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作： ，其方向是任意的；0、单位向量：长度等于 1 的向量叫做单位向量；、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量；、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量；、一个规定：零向量与任一向量平行；习题一：1、给出下列六个命题： 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若两向量|a|b|，则 ab； 若向
4、量 AB=DC,则 A、B、C、D 构成平行四边形；在平行四边形 ABCD 中，一定有向量 AB=DC；若向量 m=n，n=p，则 m=p；若向量 a/b，b/c，则 a/c；其中错误的命题为：（）解析：对而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定；对而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样；对而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行；对而言，若向量 b 为零向量，则不成立；2、设 a 为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3）若 b 为平面内的某个向量，则 b|b|a；若 b 与 a 平行，则 b|b|a；若 b 与 a 平行且|b|1，则 ba。注意：向量的方向，两
5、向量平行可同向也可异向。（3） 、向量的线性运算：1、向量的加法：、定义：求两个向量的和的运算叫做向量的加法；、运算法则：三角形法则与平行四边形法则；、运算律：交换律与结合律(1)、a+b=b+a; (2)、a+b+c=a+(b+c)2、向量的减法：、相反向量：我们规定，与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做向量 a 的相反向量，记作-a。即有:a=-(-a),a+(-a)=(-a)+a=0、向量的减法：我们定义 a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。、几何意义：已知向量 a 与向量 b，则 a-b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量。3、向
6、量的数乘运算：、定义：我们规定实数 与向量 a 的积仍是向量，这种运算称为向量的数乘运算，记作 a,它的长度与方向规定为：长度：|a|a|；方向：当 0 时，向量 a 的方向与的方向相同；当 0 时，向量 a 的方向与向量 a 的方向相反；当 =0 时，a=0。、向量数乘的运算律：结合律与分配律；(1)( a)()a (2)()aa a (3)(ab)ab 、向量共线：向量 a 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b=a。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。习题二：1、在ABC 中，E、F 分别为 AC、AB 的中点，BE 与 CF 相交于 G 点，设向量 AB=a，向量 AC
7、=b，试使用 a、b 表示向量 AG。解法一： ( ) ( )AG AB BG AB BE AB 2BA BC (1 2)AB 2AC AB (1) (1) a b.AB 2AC 2又 m ( )AG AC CG AC CF AC m2CA CB (1m) a(1m) b，AC m2AB m2 解得 m ，1 m2，1 m 2， ) 23 a b.AG 13 13解法二：点 G 为重心，所以 AG= （AB+AC）;132. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，设 a， b，若AD AB 2 ，则 _(用向量 a 和 b 表示)AB DC AO 答案： a b23 13
8、解析：因为 a b，AC AD DC AD 12AB 12又 2 ，所以 a b.AB DC AO 23AC 23(a 12b) 23 133、已知点 P 在ABC 所在的平面内，若 2 3 4 3 ，则PAB 与PBCPA PB PC AB 的面积的比值为_答案：45解析：由 2 3 4 3 ，得 2 4 3 3 ， 2 4 3 ，PA PB PC AB PA PC AB BP PA PC AP 即 4 5 .PC AP ， .|AP |PC | 45S PABS PBC|AP |PC | 454. 已知点 G 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点(1)求 ；GA GB GO (2)若
9、PQ 过ABO 的重心 G，且 a， b， m a， nb，求证： 3.OA OB OP OQ 1m 1n(1) 解：因为 2 ，又 2 ，所以 0.GA GB GM GM GO GA GB GO GO GO (2) 证明：解法一：因为 (a b)，且 G 是ABO 的重心，所以 (a b)由 P、G、Q 三OM 12 OG 23OM 13点共线，得 ，所以有且只有一个实数 ，使 .又 (a b)PG GQ PG GQ PG OG OP 13m a a b， n b (a b) a b，所以(13 m) 13 GQ OQ OG 13 13 (n 13)a b .(13 m) 13 13a (n 13)b又 a、 b 不共线，所以 消去 ，整理得 3mnmn，故 3.13 m 13 ，13 (n 13)， ) 1m 1n解法二：因为 P、G、Q 三点共线，所以 OG=tOP+(1-t)OQ，再与 G 为重心结合即可得到方程组，求解化简即可。
