50条圆锥曲线性质和结论.doc-道客多多

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1、椭圆与双曲线的对偶性质(必背的经典结论)1.2. 椭圆（ab0）的焦半径公式：21xy, ( , ).1|MFe20|Fex1)c2(,0)Fc0,)Mxy设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆椭圆3. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角.4. PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.5. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.6. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.7. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy2xyab0P021xyab8. 若

2、在椭圆外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切,21点弦 P1P2的直线方程是 .02xy9. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点2xya，则椭圆的焦点角形的面积为 .相交 P、Q 两点，A 为椭12F12tanPSb圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M

3、为 AB 的中点，则21xyab),(0yx，2OMABk即。02yaxbKAB12.若在椭圆内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0(,)P21b.202xxab13.若在椭圆内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0(,)y21yab 202xyab双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切

4、：P 在左支）5. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程0(,)xy21xyb0P是 .21ab6. 若在双曲线（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切0(,)Pxy2xy线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2的直线方程是 .021xyab7. 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上2b任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为 .12F12tPSco8. 双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , 2xy (0)(,)当在右支上时， , .0(,)M10|MFexa20|Fexa当在左支上时， ,9. 设过双曲线焦点 F

5、作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则MFNF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 ABxyb ),(0yx的中点，则，即。02xKABOM 02yaxbKAB12.若在双曲线（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的0(,)Pxy1yb方程是 .2002xab13.若在双曲线

6、（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方0(,)xy21yb程是 .202xab椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）椭圆1. 椭圆（abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线21xy1(0)Aa2()交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 .1xb2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直xyab 0(,)y线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.20BCxka3. 若 P 为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 21xy, ，则 .12F21Ftant2co4. 设椭圆（a

7、b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆2xy上任意一点，在PF 1F2中，记 , , ，则有12PF12PF12P.sincea5. 若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当21xy0e 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与PF2的比例中项.6. P 为椭圆（ab0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，21xy则 ,当且仅当三点共线时，等号成立.211|2|aAFPAF2,FP7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是00()()xyb0xByC.222BC8. 已知椭圆（ab0），O 为坐

9、是椭圆（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，21xyab, , ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)PAB.(2) .(3) .2|cos|b2tn2cotPABabS13.已知椭圆（ ab0）的右准线与 x 轴相交于点，过椭圆右焦点21xyalE的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点在右准线上，且轴，则直线 ACFClBCx经过线段 EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内

10、点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）双曲线1. 双曲线（a0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平21xyb1(0)Aa2()行的直线交双曲线于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 .21xab2. 过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互补2xyb 0(,)xy的直线交双曲线于 B,C 两

11、点，则直线 BC 有定向且（常数）.20BCxkay3. 若 P 为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,21xybF1, F 2是焦点, , ，则（或12PF21PFtant2cco）.tantcco4. 设双曲线（a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异21xyb5. 于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF 1F2中，记6. , , ，则有 .12FP12F12Psin()cea7. 若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为2xybL，则当 1e 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准1线距离 d 与 PF2的比例中项

12、.8. P 为双曲线（a0,b0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为双曲线21xyb内一定点，则 ,当且仅当三点共线且和21|AFPF2,FPP在 y 轴同侧时，等号成立.2,AF9. 双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件21xb 0AxByC是 .2aBC10.已知双曲线（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动21xy点，且 .OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2的最小值为 ;（3）22|24ab的最小值是 .OPQSab11.过双曲线（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于21xyM,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于

13、 P，则 .|2eMN12.已知双曲线（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的21xyb垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则或 .()x20ab20abx13.设 P 点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 221yb为其焦点记，则(1) .(2) .12F212|cosbPF12cotPFSb14.设 A、B 是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的xyb一点， , , ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心PBA率，则有(1) .2|cos|(2) .(3) .2tan1e2cotPABabS15.已知双曲线（a0,b0）的右准线与

14、 x 轴相交于点，过双曲2xyblE线右焦点的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点在右准线上，且FCl轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.BCx16.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.17.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.18.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).19.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.20.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).21.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.22.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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