1、现代控制理论第二节 状态空间与状态方程清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )第二节 状态空间与状态方程2.1 状态与状态空间2.2 状态方程和输出方程2.3 状态方程的导出2/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )第二节 状态空间与状态方程2.1 状态与状态空间2.2 状态方程和输出方程2.3 状态方程的导出3/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间当系统的初始条件 非零 时，则需要外部输入和初始条件的信息，才能确定系统的输出 在古典控制理论中，用传递函数来描述系统usGy )(这里假设系统的 初始条件 是零。),)( 0
2、 tttu。),)( 0 ttty4/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间 在 已知时，能 唯一 地确定系统运动（或行为）的在时刻 的初始信息，称为该系统在 时的状态。 状态 ： 在未来外部输入已知时，为 完全 描述系统行为（或运动）所需的 最小 一组变量。 系统的行为由某一时刻的状态以及该时刻之后的外部输入唯一地确定。),)( 0 tttu0t0t5/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间 状态变量 ： 构成系统状态的变量。 状态向量 ： 若完全描述系统行为需要 n个状态变量 ， 将其视为向量的分量，则向量 称
3、为状态向量，记为)() , . . . ,(),( 21 txtxtx n)(tX)(tX)()()()(21txtxtxtXn6/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )如图所示的机械系统的运动方程为tyhtkytftymdd)()(dd22)()(dddd 22tftkytyht ym 2.1 状态与状态空间mkf(t) y(t) h即例 17/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )当 (1) f(t)(t ) 给定 ;(2) y(t) 和 dy(t)/dt 在 时的值已知 ;时 ， 则上述常微分方程的解唯一地被确定。因此 ，可以认为 y(t) 和 dy(
4、t)/dt 是该系统的一组状态变量 ，相应的状态向量为)()()()()(21tytytxtxtX0t0t2.1 状态与状态空间8/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )考虑图所示的 电路。2.1 状态与状态空间例 2 RC1R 2R1C2Cu1i1u2i2u由电路原理，知22121111121222)()(,)()()(d)(d)()(,d)(d)(RtutuiRtututittuCtitittuCti9/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间 若 已知，则 确定，故 是一组状态。)(),(),( 21 tututu )()( 21
5、titi 和)()( 21 tutu 和 若 已知，则 确定故 是一组状态。)(),()(),( 211 tutututu )()( 21 titi 和)()()( 211 tututu 和？ 可否选取 为状态。和 11 ui (为什么？ ) 10/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间 对于一给定的系统，状态变量的选取不是唯一的。 将状态向量全体所构成的集合称为 状态空间 。 当输入量有多个时，其构成的列向量称为 输入向量 。 可量测的量（其为状态和输入的函数）所构成的向量称为 输出向量 。11/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )
6、第二节 状态空间与状态方程2.1 状态与状态空间2.2 状态方程和输出方程2.3 状态方程的导出12/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.2 状态方程和输出方程状态变量的一阶微分方程组称为 状态方程 。)()()( tButAXtX 其中 ,R)(,R)( ln tutX 状态矩阵 A是 n n矩阵 ,输入矩阵 B是 n l 矩阵 。状态方程的第 i行为)()()(11tubtxatx klk ikjnj iji线性状态方程的标准形式为：13/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.2 状态方程和输出方程当 A和 B为常数矩阵时，称状态方程为 定常
7、的；当其包含有时变元时，称之为 时变 的。 Y t CX t D u t其中线性输出方程的标准形式为lmnmm RDRCRY ,14/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.2 状态方程和输出方程非线性时变输出方程的一般形式为 ( , , )Y t h X U t),()( tuXftX 其第 i行为);() , . . . ,(),();() , . . . ,(),()( 2121 ttutututxtxtxftx lnii 非线性时变状态方程的一般表示为：15/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.2 状态方程和输出方程UXDCBAYX简记为将状
8、态方程和输出方程合称为 运动方程 。 ),( DCBA运动方程 = 状态方程（ 1阶微分方程组）+输出方程（代数方程组）线性系统的运动方程可写成：当 D = 0时 ， 记为 。),( CBA16/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )第二节 状态空间与状态方程2.1 状态空间与状态方程2.2 状态方程和输出方程2.3 状态方程的导出17/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )()(dddd 22tftkytyht ym 2.3 状态方程的导出mkf(t) y(t) h例 1)()()()()(21tytytxtxtX)(1)()()()()()()(2122
9、1tfmtxmhtxmktytxtxtytx则18/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.3 状态方程的导出即)(10)(10)()()(21tfmtXmhmktxtxtX令mBmhmkA 10,10)()()( tBftAXtX 则19/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间例 21R 2R1C2Cu1i1u2i2u22121111121222,dd)()(,dd)(RuuiRuuituCtitituCti20/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间uCRuCRuRRCCRuuCRuutu1
10、121212111221111111111dd有2221222221211dduCRuCRCRuutu,)()()(21 状态向量tututX令 输出向量)()()(21tititY21/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间)(01)(111111)(11222212211 tuCRtXCRCRCRRRCtX)(01)(1101)(1221 tuRtXRRRtY22/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间)(01)(111111)(11222212211 tuCRtXCRCRCRRRCtX)(01)(1101)(
11、1221 tuRtXRRRtYA BDC)()()( tButAXtX 则)()()( tDutCXtY 23/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.1 状态与状态空间也可选取 为状态 ， 即令则)(11)(111111)(1111212211211 tuCRCRtXCCRCRCRCRtX211 uuu 和)()()()(211tutututX注意 ： 不能选取 为状态。和11 ui(为什么 ？ )24/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.3 状态方程的导出uxxxxxx121221例 3： 设一系统由如下微分方程组描述：令23 xx 则uxxxx
12、xx13123125/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.3 状态方程的导出令 TxxxX 321则uxxxxxxxxx321332321整理得uXX10011110011026/332.3 状态方程的导出清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 ) 0123211233211001000101bbbyuxxxaaaxxx：（一种能控标准型）算法 为输入为输出，其中 uyubububyayayay 210321 例 4：Why?27/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )2.3 状态方程的导出)1(3210321 ububububyayayay
13、 )3()2(,)2(22103102012102102231011201uuuxyuuxyuxyuuuyuxxuuyuxxuyx式有：由的推导过程如下：其中待定系数令：算法28/33清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 )5(0)1()4)(3(4031221332112201110013223143210432104334aaabaababbxaxaxaxuuuuuxyuuuuyxuxx的同次幂的系数有：，比较等号两边代入式将）（即从而有引入中间变量2.3 状态方程的导出29/27清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英 ) uxxxyuxxxaaaxxxuxaxaxauxxuxxuxx03213213211233213132231343232121001100010由此可得状态方程：2.3 状态方程的导出30/27
