1、【本讲教育信息】一. 教学内容：1.3.1 正弦函数的图象和性质二. 教学目的1、掌握用几何法绘制正弦函数 ysinx,R的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义；2、掌握正弦函数 si,的性质及应用；3、掌握正弦型函数 A(),的图象（特别是用五点法画函数yAsin(x),R的图象） 、性质及应用。三. 教学重点、难点重点：1、用五点法画函数 ysin(x),R的简图；2、函数 si(),的性质及应用；3、函数 x,R与 A,x的图象的关系。难点：1、正弦函数 yin的周期性和单调性的理解；2、函数 s,与 ysin(),的图象的关系。四. 知识分析1、正弦函数图象的几何作法采
2、用弧度制， x、y 均为实数，步骤如下： （1）在 x 轴上任取一点 O1 ，以 Ol 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作 x 轴的垂线，可得对应于 0、 6、 3、 、 2的正弦线； （4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这 0 这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。 2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出， ysinx,02的图象上有五点起决定作用，它们是3(0,),1(0),1),(22。描出这五点后，其图象的形
3、状基本上就确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中。（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。（5）如果函数表达式不是 ysinx，则那五点就可能不
4、是3(0,),1(0),1),2如：用“五点法”作函数 si,02的简图，所用的五个关键点列表就是：而用“五点法”作函数ysin(2x)3的简图，开始的一段图象所用的五个关键点列表就是：x 6171256230 232y 0 1 0 1 03、正弦曲线下面是正弦函数 sinx,R的图象的一部分：108642-2-4-6-8-10-15 -10 -5 5 10 154、正弦函数的值域从正弦线可以看出：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度；从正弦曲线也可以看出：正弦曲线分布在 y = 1 和 y1 之间，说明|sinx| 1，即正弦函数的值域是1 , 1 。注意：这里所说的正弦函数的值域是l,1
5、，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线。如果定义域不为全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是1,1 。如ysinx,0,2，则值域就是0 ，1， 因而在确定正弦函数的值域时，要特别注意其定义域。5、周期函数的定义一般地，对于函数 yf ( x ) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(xT) f(x)都成立，那么就把函数 y = f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。注意：( 1)定义应对定义域中的每一个 x 值来说，只有个别的 x 值或只差个别的 x 值满足 f(xT)f(x)或不满足都不能说 T 是 f(x)的周期。例如： 4s
6、in)2si(但是 3n就是说， 2不能对 x 的定义域内的每一个值都有sin(x)si2, 因此 2不是 sinx的周期 。（2）从等式 f(xT)f(x)来看，应强调的是与自变量 x 本身相加的常数才是周期，如 f (2x + T) = f (2x) , T 不是 f(2x)的周期，而应写成 f(2 x + T)Tf() f( 2x ) ，则T2是 f ( 2x)的周期。（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。（4）并不是所有周期函数都存在最小正周期例知，常数函数 f ( x ) =
7、 C ( C 为常数) , x R ，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是 C ，即对于函数 f( x)的定义域内的每一个值 x ，都有 f ( x + T ) C ，因此 f (x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以 f (x)没有最小正周期。再如函数 )(01是 无 理 数是 有 理 数D设 r 是任意一个有理数，那么当 x 是有理数时， x + r 也是有理数，当 x 为无理数时， x + r 也是无理数，就是说 D ( x )与 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ，因此在两种情况下，都有 D ( x + r ) D ( x )
8、 ，所以 D ( x )是周期函数， r 是 D ( x )的周期，由于 r 可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以 D (x)没有最小正周期。（5） “f ( x + T )f ( x ) ”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立， T 是非零常数，周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值。（6）周期函数的周期不只一个，若 T 是周期，则 kT ( kN * )一定也是周期。（7）在周期函数 y f （x）中，T 是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 x + kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集。6、正弦函数的周期性（1）从正弦线的变化规
9、律可以看出，正弦函数是周期函数， 2k(Z0)且 是它的周期，最小正周期是 2。（2）正弦函数的周期也可由诱导公式 sin ( x + 2k) sinx ( kZ)得到。7、正弦函数的奇偶性正弦函数 y = sinx ( xR )是奇函数。（1）由诱导公式 sin（x ） sinx 可知上述结论成立， （2）反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称； （3）正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心为（ k, 0 ） 。正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程为k,xZ2。注意：正弦曲线的对称轴一定是经过正弦曲线的最高点或最低点，此时正弦值为最大值或最小值。8、正弦函数的单调性由正弦曲线可以看
10、出：当 x 由2增大到 时，曲线逐渐上升，sinx 由1 增大到1；当 x 由2增大到3时，曲线逐渐下降， sinx 由 1 减小到 1。由正弦函数的周期性知道：正弦函数 yxsin在每一个闭区间22k， （ kZ）上都从1 增大到 1，是增函数；在每一个闭区间3， （ ）上，都从 1 减小到1，是减函数。也就是说正弦函数 yxsin的单调区间是：22k，及2kk， （ Z）9、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下，作出函数yxsin()3和yxsin()4的简图，并指出它们与 yxsin图象之间的关系。解析：函数yxsi()3的周期为 2，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。
11、设xZ3，那么in()siZ，x3当 Z 取 0、22、 、 、时，x 取62753、 、 、 、。所对应的五点是函数yxsin()3，53，图象上起关键作用的点。列表： x 6 2 76 53 3 0 2 sin()x 0 1 0 1 0 类似地，对于函数yxsin()4，可列出下表：x 4 3 54 7 94 0 2 32 sin()x 0 1 0 1 0 描点作图（如下）利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出yxsin()3，xR及yxsin()4， R的简图（图略） 。由图可以看出，yxsin()3的图象可以看作是把 yxsin的图象上所有的点向左平行移动3个单位而得
12、到的，i()4的图象可以看作是把 i的图象上所有的点向右平行移动 4个单位得到的。注意：一般地，函数 yxsin()0的图象，可以看作是把 yxsin的图象上所有的点向左（当 0时）或向右（当 时）平行移动 |个单位而得到的。推广到一般有：将函数 yfx()的图象沿 x 轴方向平移 |a个单位后得到函数 fa()0的图象。当 a0 时向左平移，当 a0 且 A1）的图象，可以看作是把 yxsin的图象上所有点的纵坐标伸长（当 A1 时）或缩短（当 00 且 A1）的图象，可以看作是把函数 yfx()图象上的点的纵坐标伸长（当 A1）或缩短（当 00， 0， x)， ）表示一个振动量时，A就表示
13、这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T2，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数fT12，它叫做振动的频率； x叫做相位， 叫做初相（即当 x0 时的相位）。【典型例题】例 1. 作出函数 yx12cos的图象分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。解析： 化为 y|in即yxkxksin()22()Z其图象如图：点评：画 yx|sin的图象可分为两步完成，第一步先画出 yxsin， ，0和ysi， ()， 2的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。例 2. 求下列函数的周期（1）yxsin12
14、（2）yx36sin()分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。解析：（1）如果令mx，则sii12m是周期函数，且周期为 2sin()sin212x即4xsi1x的周期是 （2）36236n()sin()即sixx36n()的周期是 。点评：由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量 x 的系数有关。一般地，函数yAxsi或 yAxcos()（其中 A、 、 为常数，A 0，xR ）的周期T2|。例 3. 比较下列各组数的大小。（1）sin194和 cos160；（2）sin74和co53；（3）sin()8和si(co)38分析：先化为同名函数
15、，然后利用单调性来比较函数值的大小。解析：（1） iinsin19401coss()c60270 7， sii4从而 ini即 c194（2）osi()532又7yxsin在2，上是减函数()cos453即sic7（3）osin80312c而 yxsin在（0， ）内递增(co)i(sn)88点评：（1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。例 4. 求下列函数的最大值和最小值（1）yx12sin（2）33()（3）yxx6sin)分析：
16、可利用 sinx 与 cosx 的值域求解，求解过程中要注意自变量的取值范围。解析：（1）120sinxsinx当 1时，ymax62当 sinx时， in（2）31s()x当i时， ymax5；当sn()31x时， in。（3）6，0230231sin()x当时， ymax2；当si()0x时， in。点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用 sinx 与 cosx 的有界性，以及复合函数的有关性质。例 5. 用两种方法将函数 yxsin的图象变换为函数yxsin()23的图象。分析 1：x2623()解法 1： y si横 坐 标 缩 短 到 原 来 的纵 坐 标 不 变 1x
17、 in26向 左 平 移 个 单 位yxs()sin()23分析 2：解法 2： yx sin向 左 平 移 个 单 位3 i()312横 坐 标 缩 短 到 原 来 的纵 坐 标 不 变yxs点评：在解法 1 中，先伸缩，后平移；在解法 2 中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的（即 6和 3） ，但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。例 6. 用五点法作出函数yx2sin()的图象，并指出函数的单调区间。分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。解析：（1）列表列表时23x取值为 0、 2、 、3、 2，再求出相应的 x 值和 y 值。x 6
18、 1 71 56 0 3 2 y 0 2 0 -2 0 （2）描点（3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到yx23sin()， R的简图（图略） 。可见在一个周期内，函数在127，上递减，又因函数的周期为 ，所以函数的递减区间为kkZ12， ()。同理，增区间为()k5，。点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的 x取0、2、 、3、 2，然后求出相应的 x，y 值。例 7. 如图是函数 yAsin()的图象，确定 A、 、 的值。解析：显然 A2T56()yx2sin()解法 1：由图知当6时，y0
19、故有x()，3所求函数解析式为x2sin()解法 2：由图象可知将 yi的图象向左移 6即得yx6sin()，即x23sn()3点评：求函数 Asi()的解析式难点在于确定初相 ，一般可利用图象变换关系和特殊值法。【模拟试题】1、已知 fx(sin)，且02， ，则f()1的值等于A. 2B. 1C. 6D. 62、函数yasi()0的定义域为A. R B. 1，1C. 13， D. 3，33、在0， 2上，满足sinx2的 x 取值范围是A. 6，B. 65，C. 623，D. 56，4、如图所示，函数 yxcos|tan|（032x且）的图象是5、若x,63，则函数 2f(x)cosinx
20、1的值域是A. 12B. ,0C. 9(),8D. (3),6、已知函数 yAxsin()在同一周期内，当x12时， y最 大 2，当x71时，y最 小 2，那么函数的解析式为（ ）A. 3i()B. y26sin()C. yx6snD. x37、下列命题正确的是A. si的图象向右平移2得 ycos的图象B. yxn的图象向右平移 得 x的图象C. 当 0时， yxsin向左平移 |个单位可得 yxsin()的图象D. si()23的图象由 ysi2的图象向左平移3个单位得到8、函数yx的图象，可由函数 yxsin的图象经过下述_变换而得到A. 向右平移3个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐
21、标扩大到原来的 3 倍B. 向左平移3个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的 3 倍C. 向右平移 6个单位，横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标缩小到原来的1D. 向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的1，纵坐标缩小到原来的 39、若sinxm213，且 xR，则 m 的取值范围是_10、函数y4si()的最小正周期是_振幅是_，当 _时， yax_当 x_时， ymin_11、函数yxsin()25的图象的对称轴方程为_12、若函数 abi的最大值为32，最小值为12，求函数 y4asinbx的最值和最小正周期。13、求函数ysin(4x)6的振幅、周期、相位和单调区间。14、如图为某三角函数图象的一段：（1）用正弦函数写出其解析式；（2）求与这个函数关于直线 x2对称的函数解析式。 x y 0 3 3 13 【试题答案】18：DABCDAAB9、1m3,5或10、34,k(Z),34k(Z),32211、x(Z)212、由题意，得：a|b21|，解得a,|b12，所以 y4asinbx的最大值是2，最小值是2，最小正周期 T213、振幅是 1，周期是，相位是4x6，单调增区间是k,(kZ)2612,单调减区间是k,(kZ)2314、 （1）ysin(x6（2）1y3sin(x)26
