1、习题 191. 求函数 的连续区间, 并求极限 , 及 . 63)(23xf )(lim0xf)(li3f)(lim2xf解 , 函数在(, )内除点 x2 和 x3 外是连续)2(1)(23 xxf的, 所以函数 f(x)的连续区间为(, 3) 、(3, 2)、(2, ). 在函数的连续点 x0 处, . )0limfx在函数的间断点 x2 和 x3 处, , . )(1li)(lim2fx 582)1(lim)(li33xxf2. 设函数 f(x)与 g(x)在点 x0 连续, 证明函数(x)maxf(x), g(x), (x)minf(x), g(x)在点 x0 也连续. 证明 已知 ,
2、 . )li00fx)lim00x可以验证, |)(|)(21)( gff. |xfxfx因此 , |)(|)(21)( 000 gfgf. |xfxfx因为 |)(|)(21lim)(li00 gffxx |limli|lili210000 xfgfx(x0), |)(|)(fxf所以 (x)在点 x0 也连续. 同理可证明 (x)在点 x0 也连续. 3. 求下列极限: (1) ; 52lim0xx(2) ; 34)2(sinlmxx(3) co6(4) ;x1li0(5) ;45lim1(6) ;axsin(7) .)(li22x解 (1)因为函数 是初等函数, f(x)在点 x0 有定
3、义, 所以5(f. 02)52lim0 xx(2)因为函数 f(x)(sin 2x)3 是初等函数, f(x)在点 x 有定义, 所以4. 14sinsinl 34fx(3)因为函数 f(x)ln(2cos2x)是初等函数, f(x)在点 x 有定义, 所以6. 0)62cosln62coslnim6 fx(4) . 2101lim)1(li)1(li1li 0000 xxxxx(5) )45)(li)45)(lim145li 11 xxx . 2li x(6) axaaxx sinco2lisnil. aaxax cos12cssinlm2cosli (7) )( )(li)(li 2222
4、2 xxxx .1)1(lim)(lim22 xxx4. 求下列极限: (1) ;xe1li(2) ; xsnm0(3) ;2)1(lixx(4) ; xx2cot0tan3li(5) ; 21)6(limx(6) . xx20sin1tali解 (1) . 1lim0lieexx(2) . ln)siln(sli00xx(3) . exxx 212)1(li)1(li(4) . 3tan3120cot20 2)t(lim)tan3(limxxx(5) . 因为216321)6, , exx36)1(lim231limxx所以 . 263li(6) )sin1ta)(1sin(sitalisin1tali 22020 xxxx . 2(limsi2tli)si1ta(si)tlm300220 xx xx5. 设函数 应当如何选择数 a, 使得 f(x)成为在( , )内的连续函0 )(xaexf数？ 解 要使函数 f(x)在(, )内连续, 只须 f(x)在 x0 处连续, 即只须. afx 0(limli00因为 , , 所以只须取 a1.1li)(lixef axxf)(lim)li00
