1、 - 1 - 习题 1.1 22 2 222 2 2 22 2 2 2 222223.3 3 , , .3 , 3 .3 , 3 1 3 2. 9 6 1 , 9 12 4 , 31. 3 , 9 3 , 3 , 3 . ,., , , ,ppp q p q pqqp p k p k p k k p k kp p k k q q k q p qppaap a b p a pbbb 证明 为无理数若 不是无理数,则 为互素自然数 除尽必除尽 否则 或 除将余 故 类似得 除尽 与 互素矛盾.设 是正的素数 证明 是无理数设 为互素自然数,则 素证 2.证 1.22 2 2 2 22,. , .
2、. ,:( 1 ) | | | 1 | 3. ; ( 2) | 3 | 2.0 , 1 3 , 2 2 , 1 , ( 1 , 0) ;0 1 , 1 3 , 1 3 , ( 0 , 1 ) ;1 , 1 3 , 3 / 2 , ( 1 , 3 / 2) .( 1 , 0) ( 0 , 1 )p a p aa pk p k pb pk b p b a bx x xx x x x xx x xx x x xX 数 除尽 故 除尽类似得 除尽 此与 为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 ( 1 )2 2 2( 1 , 3 / 2) .( 2) 2 3 2 , 1 5 , 1 | | 5
3、 , 1 | | 5 , ( 1 , 5 ) ( 5 , 1 ) ., ( 1 ) | | | | | |; ( 2) | | 1 , | | | | 1.( 1 ) | | | ( ) | | | | | | | | |, | | | | | | .( 2) | | | ( ) | | | | | |x x x x xa b a b a b a b a ba a b b a b b a b b a b a ba b a b b a b b 设 为任意实数 证明 设 证明证4 . ,| 1.( 1 ) | 6 | 0.1 ; ( 2) | | .6 0.1 6 0.1. 5.9 6.1. (
4、, 6.1 ) ( 5.9 , ) .( 2) 0 , ( , ) ( , ) ; 0 , ; 0 , ( , ) .11 , 0 1 , .1 , 1. 1 1nnnnx x a lx x x x Xl X a l a l l x a l Xaa a nna a b a a 解下列不等式或或若 若 若若 证明 其中 为自然数若 显然解( 1 )证5 . :6.120000( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .( , ) , ( , ) .1 / 10 . | . ( , ) , , | ,10 | . / 10 , ( 1 ) / 10 ,/ 10 ( 1 ) / 10 1 / 10nnnn
5、nnnnnnn n na b b n aa b a bn b amA A m A a b A B C B A x x bC A x x a B m m Cb a m m Z设 为任意一个开区间 证明 中必有有理数取自然数 满足 考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.( , ) , ( , ) .1 / 10 . 2 | .10nnnna b a bmn b a A m Z, 此与 的选取矛盾. 设 为任意一个开区间 证明 中必有无理数取自然数 满足 考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题 1.2 - 2 - 64266 4 2 6 4 2 66 6 613 . 1 ( 1 , )( 1 )
6、 ( 1 ) 1 11 ( 1 ) .1 1 2 113 . ( , ) .13| | 1 3 , | | 1 , 3 ,11| | 3 , ( , ) .y x xx x x xy x x xx x x xx x xyxx x x x x x xxxx x xy y x 证明函数 在 内是有界函数.研究函数 在 内是否有界时, 时证解 习题 1.4 221. -( 1 ) l i m ( 0) ; ( 2) l i m ; ( 3 ) l i m ; ( 4) l i m c os c os .| - | | - | | - |1 ) 0 , | | , ,|, | | . , | | ,
7、| | , l i m .( 2) 0xax a x a x a x axax a a x a e e x ax a x a x axax a x a axax a a a x a x a x aa 直接用 说法证明下列各极限等式:要使 由于只需 取 则当 时 故证(222 2 2 2, | | 1. | | | | | ,| | | | | 2 | 1 | 2 |,1 | 2 |) | | , | | . m i n , 1 , | | ,1 | 2 | 1 | 2 | | , l i m( 3 ) 0 , . | | ( 1 ) , 0 1 ) , 1xax a a x a x aax a
8、 x a x a x ax a x a a aa x a x a x aaax a x ax a e e e e ee 不妨设 要使 由于只需( 取 则当 时故设 要使 即 (.1,0 l n 1 , m i n , 1 , 0 , | | ,1 | 2 |l i m l i m l i m0 , | c os c os | 2 si n si n 2 si n si n | |,2 2 2 2, | , | c os c osxaaxaax a x a x ax a x a x aeex a x a e eeae e e e e ex a x a x a x ax a x ax a x a
9、取 则当 时故 类似证 故要使取 则当| 时. . .(4)20| , l i m c os c os .2. l i m ( ) , ( , ) ( , ) , ( ).1 , 0 , 0 | - | , | ( ) | 1 ,| ( ) | | ( ) | | ( ) | | | 1 | | .( 1 ) 1( 1 ) l i m l i m2xaxaxxxaf x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxx 故设 证明存在 的一个空心邻域 使得函数 在该邻域内使有界函数对于 存在 使得当 时 从而求下列极限证3 . :20022
10、2220 0 0002212202l i m ( 1 ) 1.222 si n si n1 c os 1 1 122( 2) l i m l i m l i m 1 .2 2 221( 3 ) l i m l i m ( 0) .( ) 222( 4) l i m .2 2 3 32( 5 ) l i m22xx x xxxxxx x xxxxxxxxx a a xax x x a a axxxxxxxx 2.33- 3 - 20 10 3030 3000223 2 21 1 121( 2 3 ) ( 2 2) 2( 6) l i m 1.( 2 1 ) 21 1 2( 7 ) l i m l
11、 i m 1.( 1 1 )1 3 1 3 2( 8 ) l i m l i m l i m1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 2)l i m l i m( 1 ) ( 1 )xxxx x xxxxxxx x xx x x xx x x xx x x x x x x xxxx x x 2144421 0 0( 2) 31.( 1 ) 31 2 3 ( 1 2 3 ) ( 2) ( 1 2 3 )( 9) l i m l i m2 ( 2) ( 2) ( 1 2 3 )( 2 8 ) ( 2) 2 4 4l i m .63( 4) ( 1 2 3 )( 1 )1
12、 ( 1 ) 12( 10) l i m l i m l i m .1( 11 ) l i mxxxnnnx y yxxxxx x x xx x x xxxxxnnny y yxynx y yx 2222101100100101001014221 1 l i m 0.11( 12) l i m ( 0) ./,( 13 ) l i m ( 0) 0 , , .8 1 8( 14) l i m l i m1xmmmmnnnxnnmmmnnxnxxxxxa x a x a abb x b x b ba b m na x a x aa b n mb x b x bmnxx 42/1.1 1 /xx3
13、320223 3 3 3 3 3220 2 3 3 3 3220 3 3 3 3220 3 3 3 31 3 1 2( 15 ) l i m( 1 3 1 2 ) ( 1 3 1 3 1 2 1 2 )l i m( ) ( 1 3 1 3 1 2 1 2 )5l i m( 1 ) ( 1 3 1 3 1 2 1 2 )55l i m .3( 1 ) ( 1 3 1 3 1 2 1 2 )( 16) 0 , lxxxxxxxxx x x x x xx x x x x xxx x x x x xx x x x xa 2 2 2 20001i m l i m( ) ( ) 1l i m()x a x
14、 axax a x a x axax a x ax a x ax a x a x a x a - 4 - 00( ) 1l im()11l im .( ) 2xaxaxax a x a x a x axax a x a x a a 0 0 02 2 22000 0 0si n 14. l i m 1 l i m 1si n si n( 1 ) l i m l i m l i m c os .t a n si nsi n( 2 ) si n( 2 ) 2( 2) l i m l i m l i m 1 0 03 2 3t a n 3 si n 2 t a n 3 si n 2( 3 ) l i
15、m l i m l i msi n 5 si n 5xxxx x xx x xx x xxexxxxxxxx x xx x xx x xxx 利用 及 求下列极限:00()1/03 2 1.si n 5 5 5 5( 4) l i m l i m 2 .1 c os2 si n2c os si nsi n si n22( 5 ) l i m l i m c os .2( 6) l i m 1 l i m 1 l i m 1 .( 7 ) l i m ( 1 5 )xxx a x akxxxkkkkx x xyyxxxxxxx a x axaaxaxak k kex x xy 51 /( 5 )
16、 50100100l i m ( 1 5 ) .1 1 1( 8 ) l i m 1 l i m 1 l i m 1 .5. l i m ( ) l i m ( ) .l i m ( ) : 0 , 0 , 0 | - | ( ) .l i m (yyxxx x xx a xxaxyeex x xf x f xf x A x a f x Afx 给出 及 的严格定义对于任意给定的 存在 使得当 时) : 0 , 0 , ( ) .A x f x A 对于任意给定的 存在 使得当 时习题 1.5 - 5 - 2222 2 2222 2 2 21.( 1 ) 1 0( 2) si n 5 .( 1
17、 ) 0 , | 1 1 0 | . ,1 1 1 1, | | , , | | | 1 1 0 | , 1 05 5 5 ( )( 2) ( 1 ) 0 , | si n 5 si n 5 | 2 | c os | si n | .22xxx x axxxxxxx x x x x xx a x axa 试用 说法证明在 连续在任意一点 连续要使 由于 只需取 则当 时有 故 在 连续.要使由于证0 0 00 0 05 5 5 ( )2 | c os | si n | 5 | |, 5 | | , | | ,2 2 5, | | | si n 5 si n 5 | , si n 55( ) (
18、 ) 0 , 0 | | ( ) 0.( ) , ( ) / 2 , 0 | |(x a x ax a x a x ax a x a x x ay f x x f x x x f xf x x f x x xfx 只需取 则当 时有 故 在任意一点 连续.2. 设 在 处连续且 证明存在 使得当 时由于 在 处连续 对于 存在存在 使得当 时证0 0 0 0 00 0 00 0 0 0) ( ) | ( ) / 2 , ( ) ( ) ( ) / 2 ( ) / 2 0.3. ( ) ( , ) , | ( ) | ( , ) , ?( , ) , . 0 , 0 | | ( ) ( ) |
19、, | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) | , | | .f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f x 于是设 在 上连续 证明 在 上也连续 并且问其逆命题是否成立任取 在 连续任给 存在 使得当 时此时 故 在 连续其证 220 0 01, ( ) , ( ) | 11,l n( 1 ) , 1 ,1 , 0 ,( 1 ) ( ) ( 2) ( )a r c c os , 1.0 ;l i m ( ) l i m 1 1 ( 0) , l i m ( ) ( 0)
20、x x xxf x f xxaxxxxf x f xa x xa x xf x x f f x f 逆命题是有理数不真 例如 处处不连续 但是| 处处连续.是无理数4. 适当地选取 ,使下列函数处处连续: 解( 1 )01 1 1 122s in 2l ims in 301.( 2) l i m ( ) l i m l n( 1 ) l n 2 ( 1 ) , l i m ( ) l i m a r c c os ( 1 ) l n 2 ,l n 2.5. 3 :11( 1 ) l i m c os c os l i m c os 0 1.( 2) l i m 2 .( 3 ) l i mxx
21、 x x xxxxxxxxaf x x f f x a x a fax x x xxxxee 利用初等函数的连续性及定理 求下列极限s in 2 2s in 3 34422.88( 4) l i m a r c t a n a r c t a n l i m a r c t a n 1 .1 1 4xxxxexxxx - 6 - 0 0 0002 2 2 22 2 2 2()( ) ( l n ( ) ) ( )( 5 ) l i m ( 1 2 ) | | l i m ( 1 2 ) | |3 | | 3 3l i m l i m .21 2 1 1 / 1 2 /6. l i m ( )
22、0 , l i m ( ) , l i m ) ( ) .l i m ) ( ) l i m )xxxxg x bx x x x x xg x f x g xx x x xx x x x x xxx x x xf x a g x b f x af x e 设 证明证0l im ( l n ( ) ) ( ) ln22.7. , ,( 1 ) ( ) c os ( ) , ,( 2) ( ) sg n( si n ) , , , 1 ,( 3 ) ( ) 1 ,1 / 2 , 1.1( 4) ( )xxf x g xb a be e af x x x nf x x n nxxf x xxxfx
23、ZZ指出下列函数的间断点及其类型 若是可去间断点 请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点 第一类间断点.间断点 第一类间断点.间断点 第一类间断点., 0 11,si n , 1 2 ,11, 0 1 ,2( 5 ) ( ) , 1 2 , 2 ,1, 2 3.1xxxxxxf x x x xxx 间断点 第二类间断点.间断点 第一类间断点.0000008 . ( ) , ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 , ( ) ( ) .y f x y g x xh x f
24、x g x x f x g x xh x f x g x x xg x f x g x f x x x f x g x xf x g x D x RR设 在 上是连续函数 而 在 上有定义 但在一点 处间断.问函数 及 在 点是否一定间断?在 点一定间断. 因为如果它在 点连续,将在 点连续, 矛盾. 而 在 点未必间断. 例如解习题 1.6 - 7 - 00001. :( ) l i m ( ) ,l i m ( ) , , , , ( ) 0 , ( ) 0 , , , ( , ) , ( ) 0.2. 0 1 , , si n , .(xxP x P xP x A B A B P A P
25、 B P A Bx A B P xy y x xfx R证明 任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设 是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在 在 连续 根据连续函数的中间值定理 存在 使得设 证明对于任意一个 方程 有解 且解是唯一的令证证0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1) si n , ( | | 1 ) | | 1 | | ,( | | 1 ) | | 1 | | , | | 1 , | | 1 , , | | 1 , | | 1 , ( ) . ,( ) ( ) ( si n si n ) | | 0 ,
26、.3. ( ) ( ,x x f y y y yf y y y y f y yx y y f x y x xf x f x x x x x x x x xf x a b 在 连续由中间值定理 存在设故解唯一设在1 2 1 21 1 2 2121 2 1 1 21 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2121 2 1 2 1 212) , , ( , ) , 0 , 0 , ( , )( ) ( )( ) .( ) ( ) , . ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , , x x a b m m a bm f x m f xfmmf x f x
27、x f x f xm f x m f x m f x m f x m f x m f xf x f xm m m m m mxx 连续 又设 证明存在 使得如果 取 即可设 则在 上利用连续函数的中间值定理证.4. ( ) 0 , 1 0 ( ) 1 , 0 , 1 . 0 , 1 ( ) .( ) ( ) , ( 0) ( 0) 0 , ( 1 ) ( 1 ) 1 0. , 01. , , ( 0 , 1 ) , ( ) 0 ,( ) .5. ( ) 0 , 2 , ( 0) ( 2) .y f x f x x tf t tg t f t t g f g f tt g tf t ty f x
28、 f f 即可设 在 上连续且 证明在存在一点 使得如果有一个等号成立 取 为或 如果等号都不成立 则由连续函数的中间值定理 存在 使得即设 在 上连续 且 证明证121 2 1 212 0 , 2 ,| | 1 , ( ) ( ) .( ) ( 1 ) ( ) , 0 , 1 .( 0) ( 1 ) ( 0) , ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 0) ( 1 ) ( 0) . ( 0) 0 ,( 1 ) ( 0) , 0 , 1. ( 0) 0 , ( 0) , ( 1 ) , ( 0 , 1 ) ( ) ( 1xxx x f x f xg x f x f x xg f f g f f
29、 f f g gf f x x g g ggf 在 存在两点 与 使得且令如果 则取 如果 则 异号由连续函数的中间值定理 存在 使得证12) ( ) 0 , , 1.f x x 取第一章总练习题 - 8 - 221. :581 2.3| 5 8 | 14 22. | 5 8 | 6 , 5 8 6 5 8 6 , .3 5 52( 2) 3 3 ,523 3 3 , 0 15.5( 3 ) | 1 | | 2 |1( 1 ) ( 2) , 2 1 4 4 , .22 | 2 |, .2 , 2 , 4 , 2 ; 2 , 3xxx x x x xxxxxxx x x x xy x x x y
30、x y x y x y x y x 求解下列不等式（）或或设 试将 表示成 的函数当 时 当 时解解解2.解222312312 , 4 , ( 2) .32 , 41( 2) , 4.313. 1 1 .21. 2 1 2 , 4( 1 ) 4 4 , 0. 1 , 0.4. :1 2 3 2( 1 ) 2 .2 2 2 2 21 2 11 , .221 2 32 2 2nny x yyyxyyx x xx x x x x x x x xnnnn 求出满足不等式 的全部用数学归纳法证明下列等式当 时,2- 等式成立设等式对于 成立,则解证1 2 3 11 1 112121 1 2221 1 2
31、 3 12 2 2 2 2 22 1 2 4 ( 1 ) ( 1 ) 32 2 2 ,2 2 2 21 . .1 ( 1 )( 2) 1 2 3 ( 1 ) .( 1 )1 ( 1 1 ) 1 ( 1 )1,( 1 ) ( 1 )n n nn n n nnnnnn n nn n n n nnn x nxx x nx xxx x xnxx 即等式对于 也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证 1 ,1212.1 ( 1 )1 2 3 ( 1 ) ( 1 )( 1 )nnn n nnn x nxx x nx n x n xx 等式成立设等式对于 成立,则- 9 - 1221221 1 221 1 2
32、21221 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )1 ( 1 ) ( 1 2 ) ( 1 )( 1 )1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )( 1 )1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )( 1 )1 ( 2) ( 1 ),( 1 )1n n nn n nn n n n nn n n n nnnn x nx x n xxn x nx x x n xxn x nx x x x nxn x nx x x x nxn x n xxn 即等式对于 成立 . , .| 2 | | | 25. ( )( 1 ) ( 4) , ( 1 ) , ( 2) , ( 2) ;( 2) ( ) ;( 3 )
33、0 ( )( 4) 22 4 2 1 1 2 2 2 4 2 2( 1 ) ( 4) 1 , ( 1 ) 2 , ( 2) 2 , ( 2) 0.4 1 2 24 / , 2( 2) ( )xxfxxf f f ffxx f xxf f f fxxfx 由归纳原理 等式对于所有正整数都成立设求 的值将 表成分段函数当 时 是否有极限:当 时是否有极限?解0 0 02 2 2 2 2 222;2 , 2 0 ;0 , 0.( 3 ) . l i m ( ) 2 , l i m ( ) 0 l i m ( ) .( 4) . l i m ( ) l i m ( 4 / ) 2 , l i m (
34、) l i m 2 2 l i m ( ) , l i m ( ) 2 .6. ( ) 14, ( ) 14( 1 ) ( 0) ,x x xx x x x x xxxf x f x f xf x x f x f x f xf x x f x xf 无因为有设 即 是不超过 的最大整数.求00223, ( 2 ) ;2( 2) ( ) 0 ?( 3 ) ( ) 2 ?3 9 1( 1 ) ( 0) 14 14 , 14 6 7. ( 2 ) 12 12.2 4 4( 2) . l i m ( ) l i m 14 14 ( 0) .( 3 ) . l i m ( ) 12 , l i m (
35、)xyxxfff x xf x xf f ff x y ff x f x 的值在 处是否连续在 处是否连续连续因为不连续因为解1 1 1 111.7. , 0 , , :( 1 ) ( 1 ) ; ( 2) ( 1 ) .n n n nnna b a b nb a b an b n ab a b a 设两常数 满足 对一切自然数 证明- 10 - 1 1 11111( ) ( )( 1 ) ,( 1 ) .118. 1 , 2 , 3 , , 1 , 1 .: , . .111 , 1 , 7 ,111n n n n nn n n nnnnnnnnn n n nb a b a b b a ab
36、 b b b n bb a b abanaban a bnna b a babnnn 类似有对令证明 序列 单调上升 而序列 单调下降,并且令 则由 题中的不等式证证=11111111111( 1 ) 1 ,1111 1 1 11 1 ( 1 ) 11 ( 1 )1 1 1 11 1 1 ,1111 1 .1111( 1 ) 11nnnn n nn n nnnnnnnnnnn n n n nn n n nnnnnn 111111121111111 1 1 1( 1 ) 1 1 11 ( 1 ) 11 1 1 11 1 1111 1 1 11 1 1 .111 1 11 1 .111nnn n
37、nn n nnnnnnnn n n n nn n n nn n n nn n n 我们证明22111 2 1111 1 ( 1 )11( 1 ) ( 1 )1 1 1 1, 1 , 1 , 1 1 .n n n nn n n nn n nn e e en n n n 最后不等式显然成立当 时 故9.求极限 - 11 - 2 2 2 22 2 2 2221 1 1 1l im 1 1 1 12341 1 1 11 1 1 12341 3 2 4 3 5 1 1 1 1( ) .2 2 3 3 4 4 2 210. ( ) l im ( 00 , ( ) l imnnnnnn n nnn n nn
38、xf x anx axnxfxnx a 作函数 )的 图形.解解0;1 / , 0.xx1111. ? , ( ) , | ( ) | , , ., ( ) , , , m a x | |, | | 1 ,| ( ) | , , ., | ( ) | , , , ( ) , , .12.f x a bM f x M x a bM N f x N x a b M M Nf x M x a bM f x M x a b M f x M x a b 1在 关于有界函数的定义下 证明函数 在区间 上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数 使得设存在常数 使得M 取 则有反之 若存在一个正的常数 使得 则证1 2 1 2 1 212: ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) , ., , | ( ) | , | ( ) | , , . | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | ,| ( ) ( ) | | ( ) | ( )
