1、 立体图形1 立体图形的表面积和体积公式长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形) ，八个顶点，十二条棱c baH GFED CBA在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等(叠 放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形)长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积： ；2()Sabc长 方 体长方体的体积： V长 方 体正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果它的棱长为 ，那么： ， 26正 方 体 3Va正 方 体二、圆柱与圆锥立体图形 表面积 体积圆柱hr 22Srh圆 柱 侧 面 积 个 底 面 积 2Vrh圆 柱圆锥hr 236
2、0nlr圆 锥 侧 面 积 底 面 积注： 是母线，即从顶点到底面圆上的线段l长213r圆 锥 体【例 1】 如右图，在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8，宽为 3，高为 2 的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？改. 又是多少？【例 2】 右图是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）练习：在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 3】 下图是一个棱长为
3、2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为 厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相2同为 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘4米？【例 4】 一个正方体木块，棱长是 1 米，沿着水平方向将它锯成 2 片，每片又锯成 3 长条，每条又锯成 4 小块，共得到大大小小的长方体 24 块，那么这 24 块长方体的表面积之和是多少？ （锯一 次 增 加 两 个 面）练习.一个表面积为 的长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体表面积的和256cm是 表面积最小：互 相 重 合 的 面 最 多
4、时 表 面 积 最 小【例 5】 如图，25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 体积：例 1. 如图 11-6，从长为 13 厘米，宽为 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2 米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米?例 2. 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图 11-9 所示在三个方向上加固所用尼龙编织条的长分别为 365 厘米、405 厘米、485 厘米若每个尼龙条加固时接头处都重叠 5 厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?2 不规则立体图形的表面积 整体观照法例 1. 如图，在一个棱长为 5 分
5、米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体，求这个立体图形的表面积例 2. 如图，棱长分别为 厘米、 厘米、 厘米、 厘米的四个正方体紧贴在一起，则1235所得到的多面体的表面积是_平方厘米例 3. 把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积例 4. 用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该 图形的表面积是多少平方厘米?例 5.下图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。3 体积的等积变形 水中浸放物体： V 升水 =V 物 测啤酒瓶容积： V=V 空气 +V 水例 1.有大、中、小 3 个正
6、方形水池，它们的内边长分别是 6 米、3 米、2 米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了 6 厘米和 4米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米例 2. 在一只底面半径是 10 厘米的圆柱形瓶中，水深是 8 厘米，要在瓶中放入长和宽都是 8 厘米，高是 15 厘米的一块铁块。把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？在一个圆柱形储水桶里，放进一段半径是 5 厘米的圆钢，如果把它全部放入水里，桶里的水面就上升 9 厘米，如果把水中圆钢露出 8 厘米长，那么这时桶里的水面就下降 4 厘米。问这段圆钢的体积是多少？4 视图与展开图 最短线路与展开图形状问题
7、例 1 在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来。例 2 在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？例 3 右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些点重合？例 4.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？例 5. 左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图？例 6.一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_ 立方厘米( 取 )3.148(单 位 ： 厘 米 )4106例 7.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图已知它的容积为 立方厘26.4米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时
8、，空余部分的高为 2 厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 26例 8. 一个酒瓶里面深 ，底面内直径是 ，瓶里酒深 把酒瓶塞紧后使其瓶30cm10cm15c口向下倒立这时酒深 酒瓶的容积是多少？( 取 3)252530155 染色问题 几面染色的块数与 “芯 ”、棱长、顶点、面数的关系。例 1.右图是由 120 块小立方体构成的 456 的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？一般地，当 a，b，c 都不小于 2 时，对于 abc 的立方体：三面涂有红色的小立方体有 8 块；两面涂有红色的小立方体的块数是： （a-2）（b-2）（c-
9、2）4；一面涂有红色的小立方体的块数是：（a-2）（b-2）（a-2）（c-2）（b-2）（c-2）2；没有被涂上红色的小立方体的块数是：（a-2）（b-2）（c-2）。例 2. 将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为 1 厘米 3 的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有 3 块。求原来长方体的体积。例 3.棱长是 厘米（ 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1 厘m米的小正方体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为，此时 的最小值是多少?13:2例 4. 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个
10、面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？例 3.有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积【例 6】 把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图） 因为染有 5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格红红红红红红红红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染 4 个红色方格（见上中图） 因为染有 4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 4 个红色方格最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2 个红色方格（见右上图） 所以，红色方格最多有 （个） 5242
