1、背景材料分类讨论思想当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得到问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破” 其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏” ；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小结，归纳得出结论悟与问：圆周角定理是如何进行分类讨论论证的？课前准备一、课标要求经历探索圆周角和圆心角关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质，体会分类、归
2、纳等数学思想通过本节学习，应理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用它们进行论证和计算通地圆周角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法二、预习提示1关键概念和定理提示关键概念：圆周角重要定理：圆周角定理及两个推论2预习方法提示：本节由射门游戏问题引入圆周角概念，圆周角有两个特征圆周角与圆心角的关系揭示了分类讨论思想的本质，学习时要注意体会三、预习效果反馈1试找出图 3-3-1 中所有的圆周角2如图 3-3-2，A 是O 的圆周角，A 是 40，求OBC3如图 3-3-3，AB 是O 的直径，A=40，求ABC 度数课堂跟讲一、背记知识随堂笔记（一）必记概念1圆周角
3、：顶点在 ，并且 的角2圆周角的两个特征：（1） ；（2） （二）必记定理1圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 2推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）直径所对的圆周角是 ，90的圆周角所对的弦是 （三）知识结构二、教材中“？”解答1问题（P 100） 解答：这三个角大小相等2议一议（P 101） 解答：ABC= AOC分三种情况进行证明小亮考虑的是21一种特殊情况，其他两种情况可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线需要明确：以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数个，但它们与圆心的位置关系归纳起来只有三种情况：（1）
4、圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部3问题（P 102） 解答：如果ABC 的两边不经过圆心，结果一样对于图（1）中，圆心 O 在ABC 的内部，作直径 BD，利用小亮的结果，有ABD CBD= AOD COD ABC= AOCCDBA21221对于书上图（2）中，圆心 O 在ABC 的外部，作直径 BD利用小亮的结果，有ABD CBD= AOD COD ABC= AOCCDBA2121214问题（P 104） 解答：（1）这一问题实际上是本节一开始提出的问题，解决这一问题的时机已经成熟ABC、ADC、AEC 是同弧（ ）所对的圆周角，根据圆周AC角定理，它们都等于圆心
5、角AOC 的一半，所以这几个圆周角相等（2）这是圆周角定理的一种特殊情况，即半圆所对的圆周角是直角，在教科书图 3-18 中，半圆所对的圆心角是BOC=180，所以BAC=90（3）这 一 问 题 与 问 题 （ 2） 互 逆 ， 在 教 科 书 图 3-19 中 ， 连 接 OB， OC 因 为 圆 周 角 BAC=90，所以圆心角 BOC=180，即 BOC 是一条线段，也就是说 BC 是O 的一条直径5议一议（P 105） 解答：在得出本节的结论的过程中，用了度量与证明，分类与转化，以及类比等方法尤其定理的证明，把圆周角和圆心的位置关系分为三类，又把第2，3 类转化为第一类去证明，体现了
6、分类与转化的数学思想6做一做（P 106） 解答：（1）船位于暗礁区域内（即O 内） 理由是：假设船在O 上，则有 = C ，这与C 矛盾，所以船不可能在O 上；假设船在O 外，则有AEB，即 C ，这与C 矛盾，所以船不可能位于O 外（2）船位于暗礁区域外（即O 外）说理方法与（1）类似三、重点难点易错点讲解圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一
7、个公共点即交点圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角内部，外部，其中一边上） ；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上） ；（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；（4）归纳总结出一般性结论这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中本节常见的错误有：（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；
8、（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况【例 1】 已知O 中的弦 AB 长等于半径，求弦 AB 所对的圆周角和圆心角的度数错 解 ： 如 图 3-3-4， AB=OA， OAB 为 等 边 三 角形 AOB=60 C=30AB 所对的圆心角为 60，圆周角为 30正确解法：如图 3-3-5，AB=OA=OB，AOB 为等边三角形AOB=60 C=30D=150弦 AB 所对的圆心角为 60，所对的圆周角为 30或 150错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个同学们应加强位置意识的培
9、养，克服思维定势【例 2】 已 知 AB 为 O 的 直 径 ， AC 和 AD 为 弦 ， AB=2， AC= ， AD=1， 求 CAD的 度 数 错解：如图 3-3-6，连接 BC、BDAB 为直径，C=D=90在 Rt ABC 中，AB=2，A C= ， cos CAB= = CAB=45 2AB2在 Rt ADB 中，AD=1 ，AB=2，cos DAB= = DAB=60D1CAD=DABCAB=105正确解法：如图 3-3-6 和 3-3-7，由题解中得DAB=60，CAB=45，图 3-3-7 中有DAC=DABCAB=15DAC 的度数为 15或 105解错分析：错解中只考虑
10、到弦 AC 和 AD 在直径 AB 同侧的情况，而忽略了 AD 和 AC在 AB 两侧的情况，因此平时做题一定要细心，思考问题要全面，克服思维的片面性、单一性四、经典例题精讲（一）教材变型题【例 1】 如图 3-3-8，已知O 中，AB 为直径，AB=10cm，弦 AC=6cm，ACB 的平分线交O 于 D，求 BC、 AD 和 BD 的长思维入门指导：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题解：AB 是直径，ACB=ADB=90在 Rt ACB 中，BC= = =82ACB2610CD 平分ACB ， = AD=BD D在 Rt ADB 中，AD
11、=BD= AB=5 （cm） 2点拨：这是利用圆周角定理的推论，同圆中，弧、弦之间的相等关系以及勾股定理解的计算题（二）中考题【例 2】 （ 2002，眉山， 10 分）已知等圆O 1 和O 2 相交于 A、B 两点，O 1 经过 O2，点 C 是 上任一点（不与 A、O 2、B 重合） ，连接 BC 并延长交O 2 于 D，连 BA2接 AC、 AD求证： （1）操作测量：图 3-3-9（a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图 3-3-9（a）补充完整，并观察和度量 AC、CD、AD 三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？（2）猜想结论（求证部分） ，并证明你
12、的猜想；（在补充完整的图 3-3-9（a）中进行证明）（3）如图 3-3-9（b） ，若 C 点是 的中点，AC 与 O1O2 相交于 E 点，连接 2BO1C，O 2C求证：CE 2=O1O2EO2思维入门指导：（1）AC=CD=AD；（2）由AO 1O2 为等边三角形，求出D 和ACD 都为 60即可；（3）由 O 1O2CCO 2E 可得 O2C2=O1O2EO2，再证明O2C=CE解：（1）补充完整图形，三条线段 AC、CD、AD 相等（2）结论：ACD 是等边三角形证明：连接 AO2、BO 2、AO 1、O 1O2O 1，O 2 是等圆，且O 1 经过点 O2，AO 2=O1O2=A
13、O1AO 2O1=60AO 2B=120D= AO 2B= 120=60ACB=AO 2B=120， ACD=60ACD 是等边三角形（3）C 是 的中点，CO 1O2=30BACO 2=30，CO 1O2=ACO 2O 1O2C=CO 2E，O 1O2CCO 2E 221OCO 2C2=O1O2O2EO 1O2=O1C，O 1O2C=O 1CO2=CEO 2CO 2=CECE 2=O1O2EO2点拨：为了研究两圆相交时图形所蕴含着的规律性关系，以更好地考查动手操作图形的能力，这种以留空回填的命题思路，展示了一道融操作、测量、猜想，证明于一体的探究题解答时，应按题的要求顺向逐层思考【例 3】
14、（2003，贵阳，12 分）如图 3-3-10 所示，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦，ODBC，交 AC 于 D， BC=4cm（1）求证：ACOD；（2）求 OD 的长；（3）若 2sinA1=0 ，求O 的直径思维入门指导：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算解：（1）AB 是O 的直径，C=90 ODBC， ADO=C=90ACOD（2）ODBC ，又O 是 AB 的中点，OD 是ABC 的中位线OD= BC= 4=2（cm） 21（3）2sinA1=0 ，sinA= A=30在 Rt ABC 中，A=30，BC=21AB AB=2BC=8（cm ） 即 O 的直径是 8c
15、m21点拨：关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，一切就迎刃而解【例 4】 （2003，陕西，3 分）如图 3-3-11 所示，AB 是O 的直径，C、D、E 都是O 上的点，则12= 思维入门指导：1 所对的弧是 ，2 所对的弧是 ，而 = 是半圆，AEBA B因此连接 AD，ADB 的度数是 90，所以ADB= 12解：12=90点拨：本题可以连接 EO，得到圆心角 EOA 和EOB 而EOAEOB=180，所以12=90 ，这是圆周角定理的直接应用【例 5】 （2003，台湾，3 分）如图 3-3-12 所示，AB 为O 的直径，P、Q、R 、S为圆上相异四点，下列斜述何者正确
16、（ ）AAPB 为锐角 BAQB 为直角 CARB 为钝角 DASBARB思 维 入 门 指 导 ： AB 为 直 径 ， 根 据 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ， 所 以 APB， AQB， ARB， ASB 都是直角答案：B 点拨：由于四个角都是直角，所以 ASB=ARB=90 （三）学科内综合题【例 6】 如图 3-3-13，已知 ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 交 AB、AC于 D、E （1）求证：DOE 是等边三角形；（2）如图 3-3-14，若A=60，ABAC，则中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？思维入门指导：ABC 是等边三
17、角形，所以B、C 均为 60，利用 60的圆周角定理，可知DOB、EOC 均为等边三角形第二种情形类似解：（1）ABC 为等边三角形，B=C=60OB=OC=OE=OD，OBD 和OEC 都为等边三角形BOD=EOC=60DOE=60DOE 为等边三角形（2）当A=60，ABAC 时， （1）中的结论仍然成立证明：连接 CDBC 为O 的直径，BDC=90ADC=90A=60 ，ACD=30DOE=2 ACD=60OD=OE，ODE 为等边三角形点拨：本题的（2）较难，属于探索题，应掌握好书写格式，本题充分利用了 BC 为直径及圆周角定理，将圆心角与圆周角联系起来（四）创新题【例 7】 四边形
18、 ABCD 中，ABDC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图 3-3-15，求 BD的长思维入门指导：由 AB=AC=AD=a 可以得到点 B、C 、D 在以 A 为圆心，以 a 为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论解：AB=AC=AD=a，点 B、C 、D 到 A 点距离相等故以 A 为圆心，以 a 为半径作A，并延长 BA 交A 于 E，连接 DEABCD ， = BC=DE=b BE 为A 直径，EDB=90在 Rt EDB 中， BD= = ，BD 的长为 2B24ba24ba点拨：本题根据圆的定义作出A 是关键，作出A 才能充分利
19、用已知，否则很难解出 BD作辅助圆是本题的创新之处，平时解题应注意这种特殊方法【例 8】 如图 3-3-16，AB 是半O 的直径，过 A、B 两点作半O 的弦，当两弦交点恰好落在半O 上 C 点时，则有 ACACBCBC=AB 2（1）如图 3-3-17，若两弦交于点 P 在半O 内，则 APACBPBD=AB 2 是否成立？请说明理由（2）如图 3-3-18，若两弦 AC、BD 的延长线交于 P 点，则 AB2= 参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性思维入门指导：由特征结论为等积式和的形式，不属于常规结论，但又没法化简该结论，显然需要用等积式相加得到本题考查相似三角形和圆周角定
20、理的推论等解：AB 是半O 直径，C=90 AC 2BC 2=AB2（1）当两弦的交点 P 在半圆内时，APAC BP BD=AB2 成立连接 AD、BC，过 P 点作 PEAB 于 E，则PEA=90PEA=C，EAP=CAB，APE ABC ACEBPAPAC=AB AE同理可证 BPBD=BEAB由，得 APACBP BD=AB（AEBE ）=AB 2（2）AB 2=ACAPBDBP ，过 P 点作 PEAB 于 E，连接 BC、ADAB 为直径，ACB=90ACB=AEP，CAB=EAP，ACBAEP APBCAEAB=ACAP 同理，BDABEP BEAB=BPBDBEDAEABBE
21、AB=ACAP BP BD，AB（AEBE）=ACAPBPBDAB 2=ACAPBPBD点拨：第（1）小题以待证结论考虑，可构造三角形相似连接 AD、BC ，虽然PAD PBC，但不能得出 APAC 和 BPBD，同时也与 AB 无联系，所以可构造与ABD 相似的三角形，故过点 P 作 PEAB 于 E，可得BEP BDA ，APEABC （五）应用题【例 9】 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形 3-3-19 所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？思维入门指导：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用，认真观察图形，可得只有 B 符号定理的推论解：A 和
22、C 中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D 中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形选 B点拨：实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型当堂练习（5 分钟）1如图 3-3-20，A、B 、C、D 、E 是O 上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 2在O 中，弦 AB 的长恰好等于半径，求劣弧 所对的圆周角的大小AB【同步达纲练习】课后巩固练习（130 分 120 分钟）一、基础题（1015 题每题 5 分，其余每题 3 分，共 57 分）1在O 中，同弦所对的圆周角（ ）A相等 B互补 C相等或互补 D都不对2如图 3-3-21，在O 中，弦
23、AD=弦 DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）A5 对 B6 对 C7 对 D8 对3下列说法正确的是（ ）A顶点在圆上的角是圆周角B两边都和圆相交的角是圆周角C圆心角是圆周角的 2 倍D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4下列说法错误的是（ ）A等弧所对圆周角相等B同弧所对圆周角相等C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等D同圆中，等弦所对的圆周角相等5如图 3-3-22， AB 是 O 的 直 径 ， AOD 是 圆 心 角 ， BCD 是 圆 周 角 若 BCD=25，则AOD= 6如图 3-3-23，O 直径 MNAB 于 P，BMN=30 ，则AON= 7如图 3-3-24，AB 是O
24、 的直径， = ，A=25，则BOD= BC D8如图 3-3-25，A、B 、C 是O 上三点，BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D，交O 于点 M若BAC=60 ，ABC=50，则CBM= ，AMB=9O 中，若弦 AB 长 2 cm，弦心距为 cm，则此弦所对的圆周角等于 210如图 3-3-26，O 中，两条弦 ABBC，AB=6，BC=8，求O 的半径11如图 3-3-27，AB 是O 的直径，FB 交O 于点 G， FDAB，垂足为 D，FD 交AG 于 E求证：EFDE=AEEG12如图 3-3-28，AB 是半圆的直径， AC 为弦，ODAB，交 AC 于点 D，垂足为O
25、，O 的半径为 4，OD=3，求 CD 的长13如图 3-3-29，AB 是O 的直径，AB=AC ，D 、E 在O 上求证：BD=DE14如图 3-3-30，ABC 内接于 O ，E 为 的中点求证： ABBE=AEBDBC15已知ABC 内接于O，ODBC ，垂足为 D，若 BC=2 ，OD=1，求BAC3的度数二、学科内综合题（每题 8 分，共 24 分）16根据图 3-3-31 中所给的条件，求AOB 的面积及圆的面积17如图 3-3-32，O 的弦 ADBC ，垂足为 E，BAD=，CAD=，且sin= ，cos= ，AC=2 ，求（ 1）EC 的长；（2）AD 的长53118如图
26、3-3-33，在圆内接ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上一点（1）求证：AB 2=ADAE；（2）当 D 为 BC 延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由三、学科间综合题（10 分）19在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 MN 进攻，当甲带球冲到 A点时，乙已跟随冲到 B 点，如图 3-3-34此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？四、应用题（10 分）20如图 3-3-35 所示，在小岛周围的 内有暗礁，在 A、B 两点建两座航标灯塔，APB且APB=，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？五、创
27、新题（10 分）21如图 3-3-36 所示，设 P、 Q 为线段 BC 上两定点，且 BP=CQ，A 为 BC 外一动点，当点 A 运动到使BAP=CAQ 时，ABC 是什么三角形？试证明你的结论六、中考题（19 分）22 （2002，桂林，12 分）如图 3-3-37，已知 BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是的中点，四边形 ABCD 对角线 AC、BD 交于点 E C（1）求证：ABEDBC；（2）已知 BC= ，CD= ，求 sinAEB 的值；25（3）在（2）的条件下，求弦 AB 的长23 （2002，河南，5 分）如图 3-3-38，以ABC 的 BC 边为直径的半圆交 AB
28、于 D，交 AC 于 E，过 E 点作 EF BC，垂足为 F，且 BF：FC=5 ：1，AB=8，AE=2，求 EC 的长24 （2003，辽宁，2 分）在半径为 1 的O 中，弦 AB、AC 分别是 和 ，则32BAC 的度数是 加试题：竞赛趣味题（每题 10 分，共 20 分）1已知：如图 3-3-39，设 P 为O 的劣弧 上任一点， ABC 为等边三角形，APBC交 BC 于 D求证：PB 和 PC 是方程 x2PAxPAPD=0 的两个根2已知：如图 3-3-40，六边形 ABCDEF 各顶点都在O 上，且AB=BC=CD= 1，DE=EF=FA=1，求六边形 ABCDEF 的面积
29、3参考答案三、1图中1，2，3，4，5，6，7，8，12，34，56，78都是圆周角2解：A 是圆周角，根据圆周角定理可得 BOC=80，而BOC 是等腰三角形，所以OBC= =5003解：由直径所对的圆周角是直角，所以在 RtABC 中，ABC=90 A=50 一、 （一）1圆上；两边都和圆相交2 （1）顶点在圆上；（2）两边都和圆相交（二）1一半（或 ） 2 （2）直角；直径一、16；ACB、BCE、CED、BDE、ACE、CBD 点拨：根据圆周角定义判断230 点拨：ABO 是等边三角形，根据圆周角定理得知 所对的圆周角等于ABAOB 的一半一、1C 点拨：同弧所对的圆周角相等，但是同弦
30、所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补因此同弦所对的圆周角相等或互补2D 解：先找同弧所对的圆周角： 所对的1=3； 所对的2=4；ADDC所对的5= 6； 所对的7=8找等弧所对的圆周角，因为 = ，所以BABA1= 4，1=2，4= 3，2=3由上可知，相等的圆周角有 8 对点拨：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角3D 点拨：本题考查圆周角的定义4D 点拨：等弦所对的圆周角相等或互补5130 解：BOD=2BCD=225=50，AOD=180BOD=18050=1306 60 解 ： ON AB， = M=30， 的 度 数 为 NB
31、N60 AON=60750 解：连 COA=25，COB=2A=50 = ，BOD=COB=50 C D点拨：本题考查等弧所对的圆心角相等及一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半830；70 点拨：利用ABC 内角和定理求得C=70，最后根据同弧所对的圆周角相等得AMB=ACB=70 ，CBM=CAM=30945或 135 点拨：一条弦所对的圆周角相等或互补（两个） 10解：连接 ACABBC，ABC=90AC 为O 直径在 RtABC 中，AB2BC 2=AC2，AC=10 ，故 O 半径是 5点拨：根据 90的圆周角所对的弦是直径11证明：AB 是直径，AGB=90AED FEG ，即
32、EFDE=AEEGEDGAF点拨：利用直径所对的圆周角是直角得到两三角形相似12解：CD=1 4 点拨：连接 BC，证AODACB 得 CD= =145713证明：连接 ADAB=AC ，ABC 为等腰三角形又AB 是O 的直径，ADB=90 AD 是BAC 的平分线BAD=CAD BD=DE DEB14点拨：通过证明BAEDBE 可得1560或 120 点拨：本题目没有给出图形，因此有两种情形：圆心 O 在三角形内或圆心 O 在三角形外，由两种不同情形可算出两种不同结果二、16解：P=30，OBA=P=30B 点坐标为（0，2） ，OB=2在 Rt BOA 中，AO=BO，tan30= ，A
33、B= = = ，323cosOB34S ABO = OAOB= 2 = ，S 圆 = AB2= 3= 214 916点拨：这是一道代数和几何的综合题，要注意BOA=90这一隐含条件17解：（1）在 RtAEC 中， cos= ，AC=2 ，AE=AC cos=2 = ，3132EC= = 或 EC=ACsin= 2AEC3424（2）在 RtABE 中，AE= ，sin = 325sin= = ，可设 BE=3k，则 AB=5kABE525k 29k 2=（ ） 2k= （取正值） BE=3k= 6121连接 BD，则D=C ，DBE=，BDEACE EDCBAAEED=EBEC ED= ED
34、= AD=AEED= 3243218 （1）证明：连接 BE EABDECC ABD AEB = AB2=ADAE（2）解：结论成立如答图 3-3-1，连接 BECCABEADB = AB2=ADAEADBE三、19解：考虑过 M、N 及 A、B 中任一点作圆，这里不妨过 M、N、B 作圆，则A 点在圆外，设 MA 交O 于 C，则MANMCN，而MCN=MBN ，所以MAN MBN ，因此在 B 点射门为好点拨：在真正的足球比赛中情况比较复杂这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门 MN 的张角大小，当张角较小时，
35、则容易被对方守门员拦截四、20解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔 A、B 的视角小于 ，即可安全绕过暗礁区（1）在 外任取一点 C，连接 CA、CB ，设 CA 交 于 F，连接 FBAPBPAFB=，AFB C，C（2）在 的弓形内任取一点 D，连接 AD 并延长交 于 E，连接 ABDB、EB E=，ABD E，ADB 由（1） （2）知，在航标灯 A、B 所在直线北侧，在圆弧 外任一点对 A、B 的视P角都小于 ，在圆弧 上任一点对 A、B 的视角都等于 ，在圆弧 内上任一点对APAPBA、B 的视角都大于 ，为此只有当对两灯塔的视角小于 的点才是安全点五、21解：当BAP=CAQ 时
36、，ABC 是等腰三角形证明：如答图 3-3-2，作出ABC 的外接圆，延长 AP、AQ 交该圆于 D、E，连接DB、CE ，由BAP=CAQ，得 CED从而 ，所以 BD=CE，CBD=BCE 又 BP=CQ， CEBD则BPD CQE ，这时D= E，由此 ，故 AB=AC AB即ABC 是等腰三角形六、22解：（1） ，ABD=DBC CDABC 为O 的直径，BAC=BDC=90ABEDBC（2）ABEDBC，AEB=DCB 在 Rt BDC 中，BC= ，CD= ，BD= = 252CDB5sinAEB=sin DCB= = = BCD52（3）ABD=DBC= CAD，ADE=BDA
37、 ， AEDBAD AD 2=DEDBAEDCD=AD= ，CD 2=DEDB=（BDBE ）DB5即（ ） 2=（ BE） 解得 BE= 5453在 Rt ABE 中， AB=BEsinAEB= = 2点拨：圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理在本题中起重要作用23解：连接 BE，则 BEAC，BE 2=AB2AE 2=822 2=60设 FC=x，则 BF=5x，BC=6xEFBC， EBF=CBE， BEFBCEBE 2=BFBC即 60=5x6xFC 0，x= BC=6x=6 EC 2=BC2BE 2=7260=12，EC=2 2 3点拨：作出直径上的圆周角是最常见的辅助线之一24B
38、AC=15或 75 点拨：如答图 3-3-3 和 3-3-4，分两种情况，作直径 AD，连接 BD，易知BAD=30，CAO=45，BAC=15 或 75加试题：1证明：如答图 3-3-5，延长 BP 到 F，使 PF=PC，连接 PC、CF3=BAC=60，PCF 为正三角形APC BFCPA=FB=BPPF=BPPC 在ABP 和 CDP 中， PCD=PAB，DPC=BPA=60，CDP ABP 即 PBPC=PAPD PCADB由和两式可知，PB 和 PC 是方程 x2PAxPAPD=0 的两根点拨：首先根据方程根的关系分析出所证明的间接结论：（1）PBPC=PA， （2）PBPC=P
39、APD，然后逐个证出，从而得到求证结论2解：如答图 3-3-6，若连接 OA、OB、OC、OD、OE 、 OF，则有SAOB = SBOC = SCOD ， SDOE = SEOF = SFOA 由 于 六 边 形 ABCDEF 的 面 积 等 于 以 上 六 个 三 角 形 面 积 之 和 ， 又 因 为 有 三 个 三 角 形 面 积相 等 的 两 组 三 角 形 ， 若 把 两 组 三 角 形 重 新 组 合 ， 构 成 面 积 相 等 的 六 边 形A B C D E F ，其中O 和O 等圆如答图 3-3-7，AB=C D =E F=1，AF =BC=DE=13再把 AB，CD，EF分别向两边延长相交于 M、N、P，易知BOF =FOD=D O B=120从而得BAF =FED=DC B=120 同样AF E= E DC=CB A =120PAFNDE MBC ，并且为正三角形则六边形 ABCDEF的面积 S=S MNP 3S PAF 又S MNP = （3 ） 2，3S PAF =3 12，443故六边形 ABCDEF 的面积=六边形 ABC D EF的面积= 349
