1、 【课本内容再回顾查缺补漏】一基础知识整合1. 直线的倾斜角和斜率：任何直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，如倾斜角等于 90时，斜率不存在；若两直线的倾斜角相等，斜率相等或都不存在；若两条直线的斜率相等，则两直线的倾斜角相等；当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率也越大；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率也越大；与 轴平行或重x合的直线的倾斜角为零，斜率也为零；2. 直线的方程：点斜式： ； 截距式： ；两点式： ； 截)(11xkybkxy1212xy距式： ；一般式： ，其中 A、 B 不同时为 0.1byax0CBA3两条直线的位置关系：两条直线 ， 有三种位置关系：平行（没有公共点） ；相
2、交（ 有且只有一个公1l2共点） ；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.两直线平行 两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；两直线垂直 两直线的斜率之积为 或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零；1与已知直线 平行的直线系方程为 ；0(,)AxByCAB 0()AxBymC若给定的方程是一般式，即 l1： A1x B1y C10 和 l2： A2x B2y C20，则有下列结论：l1 l2 A1B2 A2B10 且 B1C2 B2C10； l1 l2 A1A2 B1B20.两平行直线间距离公式：与 的距离1(,)xyC2120(,)AxyC12|CdAB圆的有关问题
3、：圆的标准方程： （r0） ，称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b） ，半径为22)()(byaxr，特别地，当圆心在原点（0，0） ，半径为 r 时，圆的方程为 ，几种特殊的圆的方程22ryx设圆的圆心为 ，半径为(,)abr（1）若圆过坐标原点，则圆的标准方程为： 222()()xayba（2）若圆与 x 轴相切，则圆的标准方程为：（3）若圆与 y 轴相切，则圆的标准方程为： 22()()xy（4）若圆心在 x 轴上，则圆的标准方程为： ar（5）若圆心在 y 轴上，则圆的标准方程为： 22()xyb（6）若圆与坐标轴相切，则圆的标准方程为： 或 2a22()()xbyb圆的一般方程：
4、（ 0）称为圆的一般方程，02FEyDxy FE42其圆心坐标为（ ， ） ，半径为 .Dr1当 =0 时，方程表示一个点（ ， ） ；FED42 2当 0 时，方程不表示任何图形.来源:Zxxk.Com圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：（ 为参数）22ryxcosinxry（ 为参数）22)()(rbacosinarb直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系的判断：【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为 ，圆d的半径为 ，则r（1） 直线与圆相交 直线与圆有两个公共点；d（2） 直线与圆相离 直线与圆无公共点；（3） 直线与圆相切
5、 直线与圆有且只有一个公共点；r【方法二】代数法 ：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则 （1） 直线与圆相交 直线与圆有两个公共点；0（2） 直线与圆相离 直线与圆无公共点；0（3） 直线与圆相切 直线与圆有且只有一个公共点；若直线与圆相交，设弦长为 ，弦心距为 ，半径为 ，则ldr2lrd圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系的判断：设两个圆的圆心分别为 ，半径分别为 ，则12,O12,r（1） 圆与圆相离 两个圆有四条公切线；122|Or（2） 圆与圆相交 两个圆有两条公切线；1|r（3） 圆与圆相外切 两个圆有三条公切线；122|r
6、（4） 圆与圆相内切 两个圆有一条公切线；|O（5） 圆与圆相内含 两个圆没有公切线；122|r若圆 与圆 相交，则公共弦所在的直线方程为10xyDxEyF2220xyDxEyF；122()()()椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于| |这个条件不可忽视.若1F21F2这个距离之和小于| |，则这样的点不存在；若距离之和等于| |，则动点的轨迹是线段 .1F2 12 1F2椭圆的标准方程： （ 0） ， （ 0）.2byaxab2bxyab椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的分母，则2x2y椭圆的焦点
7、在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点） ，求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其 方程为 或 ；21(0,)AxBy21(0,)xyAB椭圆的参数方程： 椭圆 （ 0）的参数方程为 （ 为参数）.2baabcosinxayb说明 这里参数 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜角 不同：； 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而tantb 12byax 1sinco22得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.椭圆的简单几何性质椭
8、圆的几何性质：设椭圆方程为 （ 0）.12byaxab范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线 x= 和 y= 所围成的矩形里.对称性：分别关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.顶点：有四个 （-a，0） 、 （a，0） （0，-b） 、 （0，b）. 线段 、 分别叫做椭圆1A21B21A21B2的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e 越接c近于 1 时，椭圆
9、越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 （e1时，ac这个动点的轨迹是椭圆.准线：根据椭圆的对称性， （ 0）的准线有两条，它们的方程为 .对于椭圆12byaxab cx2（ 0）的准线方程，只要把 x 换成 y 就可以了，即 .12bxay cay2椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设 （-c，0） ， （c，0）分别为椭圆 （ 0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上1F2 12byaxab任一点，则两条焦半径长分别为 ， ，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解eMF
10、1 eF题往往比较简便.椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 = + 、 两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个2ab2ca独立条件.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点 ，另一个顶点 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，12,FP则三角形 的周长为定值等于 ，面积等于 ，其中 是短半轴的长；12FP2ac12tanFbb过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b2a双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于| |）的动点 的1F2 1F2M轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a| |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三12
11、F边”加以理解.若 2a=| |，则动点的轨迹是两条射线；若 2a| |，则无轨迹.12 12若 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 时，轨迹为双曲线的另一1MF2MMF支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程： 和 （a0，b0）.这里 ，其中| |=2c.12byax12x 22acb12F要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 项的系数是正数，则2x 2y焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦
12、点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点） ，求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为 或21(0)AxBy21(0)xyAB双曲线的简单几何性质双曲线 的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大.12byax ace双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是2 xaby02by，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式： ，其中 k 是一个不为xnmy0ny ynxm2零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点
13、）与到定直线（准线）距离的比是一个大于 1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0） ，与它们对应的准12byax线方程分别是 和 .cax22在双曲线中，a、b、c、e 四个元素间有 与 的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程ace22b只要两个独立的条件.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点 ，另一个顶点 在椭圆上，称该三角形为焦点三角12,FP形，则面积等于 ，其中 是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 21tanbFPb 2ba9抛物线的标准方程和几何性质抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的
14、点的轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。需强调的是，点 F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。抛物线的方程有四种类型： 、 、 、 .2ypx2ypx2y2xpy对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。抛物线的几何性质，以标准方程 y2=2px 为例（1）范 围：x0；（2）对称轴：对称轴为 y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0）
15、 ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心） ；（4）离心率：e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的；（5）准线方程 ；2px（6）焦半径公式：抛物线上一点 ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为1(,)Pxy（p0）： 2 21 1:;:2ppypxPFyxPF2 21 1:;:x（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（pO）的焦点 F 的弦为 AB，A ，B ，AB 的倾斜角为 ，则有 或1(,)xy2(,)12ABxp，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用 “弦
16、长公式”来求。2sinAB在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；10轨迹方程： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）11直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线
17、段称为圆锥曲线的弦直线 被圆锥曲线所截得弦为 ，则长为 ，其中 为直线l AB221|1|ABABkxykk的斜率直线与圆锥曲线相交问题的解法：利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）代入（即将端点代入曲线方程）作差（即两式相减）得出中点坐标与斜率的关系。韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解【热点知识再梳理胸有成竹】热点一： 直线方程【典例】已知直线 与直线 互相垂直，则 的最小值为20axy210bxayab_.【答案】2【题型概述】若给定的方程是一般式，即 l1： A1x B1y C10
18、和 l2： A2x B2y C20，则有下列结论：l1 l2A1B2 A2B10 且 B1C2 B2C10； l1 l2A1A2 B1B20. 给定两条直线 l1： y k1x b1 和l2： y k2x b2，则有下列结论： l1 l2k1 k2 且 b1 b2； l1 l2k1k21；求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2 A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点
19、确定直线，后者是两点确定直线【跟踪练习 1】 若直线 l1：x2y40 与 l2：mx(2m)y30 平行，则实数 m 的值为 【答案】 2.3【解析】由题意得： 23.14m考点：两直线位置关系【跟踪练习 2】在平面直角坐标系 中，已知点 ，分别以 的边xOy(0,2),)(1,0ABCABCABC、向外作正方形 ABEF与 CGH，则直线 F的一般式方程为 .【答案】 410xy【解析】分别过 作 轴的垂线，垂足分别为 ，因为四边形 为正方形，所以HF、 MN、 ACGH，可得 ， ，RtAMtCO ,ACHOA(0,2)1,，可得 ，由此可得 坐标为 ，同理得到2,13(2,3)，所以直
20、线 的斜率为 ，可得直线 的方程为 ，化简得(,4)FFH4312kFH14yx.10xy考点：直线的一般式方程.热点二： 圆的方程及应用【典例】圆心在曲线 上，且与直线 相切的面积最小的圆的方程为2(0)yx210xy_.【答案】 22(1)()5x【题型概述】求圆的方程一般有两类方法：1 几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；2 代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.其一般步骤：根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；利用条件列出关于 ，或,abR的方程组；解出 ，或 的值，代入标准方程或一般方程，此外，根据条件要尽量,DE
21、F,abR,DEF减少参数设方程，这样可减少运算量【跟踪练习 1】若直线 ， 平分圆 ，则 的最小20xy(,0)ab2460xy12ab值是 . 【答案】 .3【解析】由题意得，直线 过圆心 ， ，20axby(1,2)201abab，当且仅当 时，等号成立，即12()3)3baba ab的最小值是 ，故填： .12ab3232考点：1.圆的方程；2.基本不等式求最值【跟踪练习 2】在平面直角坐标系 xOy中，已知点 (3,0)P在圆 22:480Cxymxy内，动直线 AB过点 P且交圆 C于 ,AB两点，若 ABC 的面积的最大值为 16，则实数 的取值范围为 【答案】 32,7)(32
22、,3考点：点与圆的位置关系，圆心到弦的距离学科网热点三：直线与圆的位置关系【典例】直线 与圆 C： 交于 两点，则 的面积为_.230xy22()(3)9xy,EFC【答案】 5【解析】 ，得出交点为 ， ，22()(3)9xy 452(1,)452(1,) ，又圆心到直线的距离为 ， .|4EF5dS【题型概述】直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离 与半径 的关系确定， 相切； 相交，drdrr此时半弦长、弦心距、半径构成直角三角形； 时相离.解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几r何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理圆的切线问题一般利用 求d解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有关的最值，范围问题要注意数形结合思想的运 用直线与圆中常见的最值问题：圆外一点与圆上任一点的距离的最值直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题两圆相离，两圆上点的距离的最值.
