1、第三讲 余数问题一、知识概要（1） 被除数除数商余数（余数一定要小于除数）被除数除数商余数，或（被除数余数）商除数。（2） 一个数被 9 除的余数叫做这个数的“九余数” （或“弃九数” ） 。求一个数的九余数，就是求这个数各个数位上数字之和的九余数。例如：求 3459 的余数，就用（345）912913，可知 3459 的余数是 3。（3） 如果整数 a 和 b 被几除，得到的余数是相同的，那么，我们僦称 a 和 b“同余”。同余性质有：若 a 和 b 同余，c 和 d 同余，则 ac 和 bd 同余；若 a和 b 同余，c 和 d 同余，则 ac 和 bd 同余。二、典型例题精讲1、 这列图
2、形的第 310 个图是什么图形？识题技巧：这个图形的排列规律是：“”6 个为一组依次循环。求出 310 的余数，找到排列在第“余数”位的那个图形即是。解：310651（组）4（个）答：这个图形的第 310 个图是。2、 哪些数除以 7 结果的商和余数都相同？识题技巧：把原题写成7的形式，因为“余一定小于除数” ，所以，余数有（7-1）种可能。 （根据“知识概要”可解答）解：如表所示。答：这些数是 8、16、24、32、40、48。3、 积 的 个 位 是 数 字 几 ？个 193识题技巧：33 （1 个 3）339 （2 个 3）33327 （3 个 3）333381 （4 个 3）33333
3、243 （5 个 3）333333729 （6 个 3）从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“3”个数的增加而按“3、9、7、1”依次循环。因此，这个题是个“余数问题” 。解：199449（组）3（个） ， （3 个 3 相乘积的个位为 7） 。答：积的个位数字是 7。4、去年（200 年）的“元旦”是星期二，那么今年（2003 年）的“元旦节”是星期？识题技巧：“元旦”即 1 月 1 日，从 2002 年元月 1 日到 2003 年元月 1 日共有（3651）天，即 366 天。星期是 7 天为一个周期。按本题的意思，星期的排列规律是：星期二、星期三星期一。解：366752（个周期）
4、2（天） （排在第 2 的是星期三）答：2003 年的“元旦节”是期三。5、计算 27315967284，并用“九余数”法验算。识题技巧：“九余数”就是把某一个数的各个数位上的数字加起来，所得的和再除以 9 而得到的余数。 也可以这样做：把各个数位上的数加起来之后，如果和仍然还是两位以上的数，那么再继续把和的各个数位的数字加起来，直到和是一位数，这个“ 一位数” 即是“九余数”。 解： 验算：96364203651650988546392185227315963757284 33(和) 21 15 156(余数) 3 6 618906 0 627315967284375966、 幼儿园老师给四
5、个小朋友依次发水果糖，当第三个小朋友拿到 7 颗糖时，老师已发了多少颗糖？识题技巧：第三个小朋友拿到了 7 颗，这说明老师循环发了 6 次多 3 人（或 7 次少1 人） 。解：64327（颗）或 74128127（颗）答：老师已经发了 27 颗糖。三、练习巩固与拓展1、 小英同学有一串五彩珠子，是按“红、黄、蓝、绿、紫”的次序排列的，问：第58 颗是什么颜色的？第 8 颗蓝珠子是从头数起的第几颗？ 第 9 颗紫珠子与第 13 颗絲珠子之间有多少颗珠子？2、 2003 年的“六一”儿童节是星期日，这一年的 10 月 1 日国庆节是星期几？2004 年的“元旦节”是星期？ 3、 8，余数可能是几
6、？4、 7，除数最小是几？5、 716，要使余数最大，被除数是几？6、 ， 积 的 末 位 数 字 是 几 ？个 1837、 几 ？， 积 的 末 位 数 字 应 该 是个 30221、 在下面的乘法中，A、B 表示不同的数字，试问：A、B 各代表哪一个数字？9、钟面上现在是整点，分钟再转 100 圈，正好是四点整，钟面上现在是几点钟？10、有红、白、黑球具 2000 个，按“红 4 个、白 3 个、黑 2 个”的顺序循环排列（如下图） ，最后一个是什么颜色的球？11、星期四，再过 25 天，第 26 天是星期几？04632AB 12、假设所有的自然数排列起来（如下图） ，120 应位于哪一个
7、字母下面？A B C D E F G1 2 3 47 6 58 9 10 1114 13 1215 16 13、在下列这串分数中：个 分 数 是 几 分 之 几 ？） 第（ 是 第 几 个 分 数 ？）（、；、；、 2961 5142341322 14、张江同学计算一个奥数题，由于粗心，把某数除以 23 等 87 余 12，余数写多于正确答案 10。你说“某数”是多少？15、某边防部队不分昼夜地轮流站岗，前 5 天由五个战士每隔 2 小时依次轮换一次。以第一个战士开始手，100 小时该由第几个战士上班？16、紧接着 2063 的后面写一串数字，每个数字都是它前面两个数字之积的个位数字，这串数是
8、这样的：206384286884你算：这串数从头数起第 2063 个数字是几？17、杨军在外婆家玩了 9 天，回家后，将这 9 天的日历撕下来，他惊奇地发现：这 9天日历上的数相加刚好是 81。你想：杨军是几号回家，几号去外婆的？他为什么感到“惊奇”？第三讲 练习题答案1、 （1）585113（排在第 3 位的是“蓝” ）故：第 58 颗是蓝色。（2）58238（颗）故：第 8 颗蓝珠子是第 38 颗。2、 （1）1237174 （排在第 4 位的是星期三）故：国庆节那天是星期三。（2）2257305（余数为 5，按星期规律排在第五是星期四）故：2004 元旦是星期四。3、余数可能是 7、6、
9、5、4、3、2、1、0 这八种情况。4、除数最小是 8。5、当余数为 6 时，被除数是 1676118。6、1874463（第 3 个重复出现的是“7” ）故：积的末位数字是 7。7、300475（余数为 0，是排在第四位的重复出现数“6” ）故：积的末位数字是 68、A 代表 5；B 代表 6。9、1001284（小时）44=0(即 12 点)（运用倒推法）故：钟面上现在是 12 点。10、200092222（个） （第 2 个是“红” ）故：最后一个是红球。11、2673（周）5（天） ， （第 5 循环数是“1” ）故：第 26 天是星期一。12、 （提示：循环规律是：7 个数为一组依次
10、重复出现在 AG 七个字母下面）1207171（第一个字母是 A）故：120 位于 A 下面。13、 （提示：分母和分数的出现规律是：分母是 1，有分数 1 个；分母是 2，有分数 3个；分母是 3，有分数 5 个分数个数成一个等差数列 1、3、5、7、9。分母为 6，相对应的分数有 11 个， 排在分母为 6 这一组中的第 6 个。 ）6（91）52631（个） 故： 是第 31 个分母数。分数的个数与分母有这样的关系（如下表）第 29 个分数应该是分母是 6 这一组中的第四个，即 。6414、238712 中的“12”多 3 10，2387（1210）2003故：“某数”是 200315、
11、A B C D E （5 个战士）12 34 56 78 910 （时间）1112 1314 1516 1718 1920（每隔 10 小时 1 循环）1001010（余数为 0 或 9 都是轮为“E” ）故：100 小时时该由第五个战士上班。16、 （提示：这串数从 11 位开始，每 6 个为一个周期循环出现，而且每一位上的数字与余数的对应关系是：）206363435故：这串数从头数起第 2063 个数字是 817、设杨军去的那天是 K 号，则第二天就是（ K1）号，第三天就是K+K+1+K+2+K+3+K+K+8=819K（ 18）82819K 45 K5K813故：杨军是 5 号去外婆家的，13 号回家。杨军之所的感到惊奇，是因为他发现 9 天连续日期的和等于 99；不仅 9 天这样，凡是 3、5、7、11、13奇数天连续日期的和等于那个奇数和本身的乘积。 （注意：不是任意奇数天连续日期的和都这样，而是特定的从某天开始。如本题必须是从 5 号（从 6 号就不一定了）开始，到 13 号这九天日期才是 81。 ）
