1、双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律： ，作用力的方向在双星间的连线上，F角速度相等， 。21【例题 1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之
2、间的距离为 r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为 G）【解析】：设两颗恒星的质量分别为 m1、m 2，做圆周运动的半径分别为 r1、r 2，角速度分别为 1、 2。根据题意有r21根据万有引力定律和牛顿定律，有G 1221rwmr G 1221 联立以上各式解得 21mr根据解速度与周期的关系知 T21联立式解得 3214rGm【例题 2】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为 L，质量分别为 M1、M 2，试计算（1）双星的轨道半径（2）双星运动的周期。解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周
3、运动，即：-21221 LMLG- 由以上两式可得： ，21 LM21L21又由 .- 得：12214LTLG )(21GT【例题 3】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体 S1和 S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为 T,S1到 C 点的距离为 r1,S1和 S2的距离为 r,已知引力常量为 G.由此可求出 S2的质量为 （ D ） A. 21)(4TrB. 2314GrC. 234GTrD. 214GTr答案 ：D解析 : 双星的运动周期是一样的,选 S1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力
4、定律得 21214TrmrG,则 m2= 1Gr.故正确选项 D 正确.【例题 4】如右图，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速周运动，星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L。已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A和 B 分别在 O 的两侧。引力常数为 G。1 求两星球做圆周运动的周期。2 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期 T2。已知地球和月球的质量分别为 5.981024kg 和 7.3
5、5 1022kg 。求 T2 与 T1 两者平方之比。（结果保留3 位小数）【答案】 )(23mMGLT1.01【解析】 A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 A 和 B 的向心力相等。且 A 和 B 和 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期。因此有RMrm22， Lr，连立解得 LMmR， Lr对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得 TG22)(化简得 )(23GT将地月看成双星，由得 )(231mMLT将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 LTmLGM22)(化简得 G32所以两种周期的平方比值为 01.1098.5
6、37)( 2421 MmT【例题 5】【2012江西联考】如右图，三个质点 a、b、c 质量分别为 m1、m 2、M（M m1，M m2）。在 c 的万有引力作用下，a、b 在同一平面内绕 c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比 TaT b=1k；从图示位置开始，在 b 运动一周的过程中，则 （ ）Aa、b 距离最近的次数为 k 次Ba、b 距离最近的次数为 k+1 次Ca、b、c 共线的次数为 2kDa、b、c 共线的次数为 2k-2【答案】D【解析】在 b 转动一周过程中，a、b 距离最远的次数为 k-1 次，a、b 距离最近的次数为k-1 次，故 a、b、c 共线的次数为 2k-
7、2，选项 D 正确。【例题 6】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为 m.(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?答案 (1) RG25 mR543 (2) R31)52(解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究
8、对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:F1= 22)(mF1+F2=mv2/R运动星体的线速度:v = GmR25周期为 T,则有 T= vT=4 GmR53(2)设第二种形式星体之间的距离为 r,则三个星体做圆周运动的半径为R= 30cos2/r由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有：F 合 = 2rGmcos30F 合 =m 24TR所以 r= 31)5(R【例题 7】（2012湖北百校联考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本
9、的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为 ；另一种形式是有三颗星位于边长为 a 的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为 ，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比12T.【答案】 12(4)3-=【解析】对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为 ，a所受合力等于向心力，因此有22214cos30()mG+=maTa解得 21-T=对正方形模式，四星的轨道半径均为 ，同理有2a 图42224cos45()mG+=maTa解得 232(-7T=故 12(4)-a O a O r
