1、题 目 求极限的若干方法学 生 苗波年 级 2012 级专 业 数学与应用数学南京机电哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 求极限的若干方法学生姓名 范秀龙指导教师 孙玉莉年 级 08 级专 业 数学与应用数学2011 年 11 月课题来源：由论文指导委员会提供课题研究的目的和意义：在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段。既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限。无论是再中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变
2、，都要用到极限。我们还能够通过极限研究函数的连续性、可导性、收敛性等概念。因此极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。首先，本篇论文总结了所有求函数的极限方法，帮助学生理解和掌握极限概念，牢固地掌握求极限的方法，并把极限的思想运用到更广泛的区域。其次，在进行函数极限求解的过程中，巧妙地运用了数学中相关的理论知识，达到巩固、复习的目的，培养学生一题多解的思维能力。第三，运用极限的思想能够解一些我们不能精确计算的结果。第四，通过本课题的研究，培养了自身的探究精神，提高了自身的科学素养和实践操作能力。国内外同类课题研究现状及发展趋势：作研究函数最基本的方法极限思想，早在古代就有比
3、较清楚的描述。我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元 263 年创立了“割圆术” ，是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。因此只有深刻地理解极限的出发点是至关的无穷小量，19 世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。但是前人在对求函数极限的方法都是单一的，而没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。本文就系统而全面地总结了求函数极限的方法，并把各类方法加以综合利用，帮助我们解决求各类函数极限过程中遇到的问题，对某些题目还能够不痛的方法解答。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中
4、值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。众所周知常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结，希望对初学者有所帮助。指导教师审查意见：指导教师 （签字）年 月 教研室（研究室）评审意见：_教研室（研究室）主任 （签字）年 月院（系）审查意见：_院（系）主任 （签字）年 月学 士 学 位 论 文题 目 求极限的若干方法学 生
5、 范秀龙指导教师 孙玉莉年 级 2008 级专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学2012 年 4 月目 录摘 要 1关键词 11.定义法 .12.利用极限四则运算法则 .23.利用夹逼性定理求极限 .24.利用两个重要极限求极限 .35.利迫敛性来求极限 .36.用洛必达法则求极限 .47.利用定积分求极限 .48.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 .59.利用变量替换求极限 .510.利用递推公式计算或证明序列求极限 .611.利用等价无穷小量代换来求极限 .712.利用函数的连续性求极限 .813.利用泰勒公式求极限 .914.利用两
6、个准则求极限 .915.利用级数收敛的必要条件求极限 .1116.利用单侧极限求极限 .12总结 12参考文献 13外文摘要 141求极限的若干方法 范秀龙摘 要:在数学分析中,极限思想贯穿于始末, 求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解,弥补了一般教材的不足。由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解,使方法更具针对性、技巧性,因此, 克服了遇到问题无从下手的缺点, 能够做到游刃有余关键词：夹逼准则；单调有界准则； 洛必达法则；微分中值定
7、理；一极限的定义性质及作用学 习 微 积 分 学 ， 首 要 的 一 步 就 是 要 理 解 到 ， “极 限 ”引 入 的 必 要 性 ： 因 为 ， 代数 是 人 们 已 经 熟 悉 的 概 念 ， 但 是 ， 代 数 无 法 处 理 “无 限 ”的 概 念 。 所 以 为 了 要 利用 代 数 处 理 代 表 无 限 的 量 ， 於 是 精 心 构 造 了 “极 限 ”的 概 念 。 在 “极 限 ”的 定 义中 ， 我 们 可 以 知 道 ， 这 个 概 念 绕 过 了 用 一 个 数 除 以 的 麻 烦 ， 而 引 入 了 一 个 过 程0任 意 小 量 。 就 是 说 ， 除 数
8、不 是 零 ， 所 以 有 意 义 ， 同 时 ， 这 个 过 程 小 量 可 以 取 任 意 小 ，只 要 满 足 在 的 区 间 内 ， 都 小 于 该 任 意 小 量 ， 我 们 就 说 他 的 极 限 为 该 数 你 可以 认 为 这 是 投 机 取 巧 ， 但 是 ， 他 的 实 用 性 证 明 ， 这 样 的 定 义 还 算 比 较 完 善 ， 给 出了 正 确 推 论 的 可 能 ， 这 个 概 念 是 成 功 的 。数 列 极 限 标 准 定 义 ： 对 数 列 ， 若 存 在 常 数 ， 对 于 任 意 ， 总 存 在nxa0正 整 数 ， 使 得 当 时 ， 成 立 ， 那
9、 么 称 是 数 列 的 极 限 。Nnanx函 数 极 限 标 准 定 义 ： 设 函 数 大 于 某 一 正 数 时 有 定 义 ， 若 存 在 常 数 ，,fx A对 于 任 意 ， 总 存 在 正 整 数 ， 使 得 当 时 ， 成 立 ， 那 么 称0XnxA是 函 数 在 无 穷 大 处 的 极 限 。Afx2设 函 数 在 处 的 某 一 去 心 邻 域 内 有 定 义 ， 若 存 在 常 数 ， 对 于 任 意fx0 A， 总 存 在 正 数 ， 使 得 当 时 ， 成 立 ， 那 么 称 是 函 数00x0x在 处 的 极 限 。fx函 数 极 限 具 有 的 性 质 ：性质
10、 1（唯一性） 如果 存在，则必定唯一limxaf性质 2（局部有界性） 若 存在，则 在 的某空心邻域内有界0()f0x性质 3（保序性） 设 li,lixaxafbc性质 4（迫敛性）设 ，且在某 内有00()()hA0(;)Ux，则 .()()fxgh0limx数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用
11、数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设 是一个数列, 是实数,如果对任意nXa3给定的 ,总存在一个正整数 ，当 时,都有 ,我们就称 是数NnnXaa列 的极限.记为 .nXlimnXa例 1: 按定义证明 .0!1n解: 12 令 ,则让 即可,n存在 ,当 时,不等式: 成立
12、,Nn11n2!n 所以 .0!1limn2.利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为 0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随 n 或 x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例 2: 求 ,其中 .nnba21lim1,b解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算
13、法则求极限,baa nnnn 11,122 原式 ,1limnnbb3.利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与4缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。例 3:求 的极限.21n解: 对任意正整数 n,显然有,n22而 , ,由夹逼性定理得01n.lim24.利用两个重要极限求极限两个重要极限是 和 ，1sinl0x exnxxx 10)(lim)1(li)(li第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个
14、重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例 4：求极限xx1lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑 ，最后凑指1x数部分。解： 2121lim12li1lim exxx xxx 5.利迫敛性来求极限设 ,且在某 内有 ,则00lim()li()xxfgA),(0xuo()()fxhgx0hA5例 5：求 的极限01limx解： . 且 由迫敛性知 0li(1)x01lix做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必
15、须要收敛于同一个极限。6.用洛必达法则求极限 洛必达法则为：假设当自变量 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 和x ()x满足： 和 的极限都是 或都是无穷大； 和 都可导，()gx1（ ） ()xg0（ 2） ()g且 的导数不为 ； 存在（或是无穷大），则极限 也一定0（ 3） ()limfxlim()fx存在，且等于 ，即 = 。利用洛必达法则求极限，由于分()lifxg()lifgx()lif类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。例 6:求 20cos1limx解: 是 待定型. 20cslix21inl0x注：运用洛比达法则应注
16、意以下几点1、要注意条件，也即是说，在没有化为 时不可求导。0,2、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。63、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。7.利用定积分求极限设 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 将 区 间 分 成 个 子 区 间fx,ab,abn在 每 个 子 区 任 取 一 点 ，012,.iax 1,ixi1,2作 和 式 （ 见 右 下 图 ） ， 当 时 ， ( 属 于 最 大 的 区 间 长 度 )该 和 式 无 限 接 近 于0某 个 常 数 ， 这
17、个 常 数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 的 定 积 分 。 要求深刻理解与熟练a,b掌握的重点内容有：1、定积分的概念及性质。2、定积分的换元法和分部积分法，3、变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）公式。要求一般理解与掌握的内容有：4、广义积分的概念与计算。例 7:求 123lim(0)pppnn解: )(1li1pppn 1lim()npi设 ,则 在 内连续,pxf)()(f01niini 取所以, pif)(所以原式 110dxp难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。78.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的
18、关系求极限首先, 利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到;再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替 ,从而使计算简化。例 8：求 的值21limsnx解：因为 是无穷小量，而 是有界变量，所以limsnx还是无穷小量，即2lisx1n09.利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例 9： 已知 试证lim,linnxayb1211li
19、mnmnxyLxyab证明：令 ,nnnxayb则 时，121111|0| | 0nnLLM 于是 ,n1 2111211()()()limnnnnmn ababLabxyLxy 12121211nnnnLabb易知当 时第二、三项趋于零，现证第四项极限亦为零。事实上，因n（当 时） ，故 有界，即 ，使得 。故nna0M|naN8121111|0| | 0nnnnLLM 10.利用递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限，也是一种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯一性，来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的
20、，需要利用有关的不等式或实数的一些性质。例 10（1）设 ，对 ，定义 。证明10x,2n)2(1nnxx且 时，1nx1（2）若 c 为任意的正数。置 于（1）的递推公式中，给出cy，假设 ，则当 时，)(1nnyy 0nyc解：（1）对任意的 n, ，而且，因为nx12nn推得 ，因此，序列 是单调递增且有界，它的极限存在，设为 x，1nx1x从递推公式 中得到)2(n(2)x解得 ，即 。1x1limn（2）因为 且对任意的 ， ，可以在 上作归cy021)(nncyy纳证明，对任意的 ， 。由 知，所以序列nn 12nn是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式 可求的其极1ny )2(
21、1nncyy限为 。c911.利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即 称 与 是 时的等价无穷小量，()lim1xfg)(xfg0x记作 )(xfg.)(0.定理：设函数 在 内有定义，(,xhf )0u且有 )(xf.)01.若 则lim(xgAli()xgA2.若 则)li(xhBfli()xh证明： li)lilim()1()xxxggfhAf可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例 11：求 的极限30tansilimxx解：由 而 ；).cos1(t)0(,inx；,2cos1x(0)3ix,.故有23300tani1limlsc
22、osxx注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于 ，故有 又由于0inlmx xsin).0(,故有 ， .0arctnli1xarct()另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有 ， ； ，而推出的tanx(0)sin,(0)x10则得到的结果是错误的。3300tansilimlsinxx小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。12.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括
23、：如函数 在 点连续，则 )(xf0及若 且 f(u)在点 a 连续，则00lim()xfx0lim()xa0 0xxf例 7：求 的极限1cos2arin0lxxe解：由于 及函数 在 处连续，故2limrcsi4x4euf12201cos1o1liarinarin0lixxee13.利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。 例 13：求240coslimxxe245245400()cos 11lilim0()()xxexxn解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为 ，我们用麦克劳林公式表示
24、极限的分子，取4x (4)n245cos10()x11224510()xxe245cos()x因而求得245400()cs 11limli2xx xe14.利用两个准则求极限(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数 ,当 时，有Nn且 则有 . nnxyzlimlinnxxzalimnxya利用夹逼准则求极限关键在于从 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列 和 ，使得 。nyznnyxz例:14 22211.nx求 的极限n解：因为 单调递减，所以存在最大项和最小项x222211.n nn2222.11nxnn则 22n又因为 22limli1xxn21lili
25、()04nnnxxyaly12（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：15 证明下列数列的极限存在，并求极限。 123,nyaayayaa证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 n又因为 21321,nnyayya所以得 . 因为前面证明 是单调增加的。nn两端除以 得 ny1n因为 则 , 从而 1nan1nayny即 是有界的。根据定理 有极限，而且极限唯一。nny令 则 limxyl21ilim()nxxa则 .因为 解方程得 2la0n412l所以 14li2nx
26、yl15.利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数 收敛，则 运用这个方法1n0n首先判定级数 收敛，然后求出它的通项的极限1n13例：16 求 2lim!nx解：设 2!na则 121!lilinnlim1nn0由比值判别法知 收敛，由必要条件知1na2li0!n16.利用单侧极限求极限形如：1） 求含 的函数 趋向无穷的极限，或求含 的函数 趋于 的极限;xa1xa02）求含取整函数的函数极限;3）分段函数在分段点处的极限;4）含偶次方根的函数以及 或 的函数， 趋向无穷的极限.arctnxrtacx这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右
27、极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例：17 21sin,0()xf求 在 的左右极限()f0解： 01limsnxn1400lim()li()1nnfxfx总结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。从
28、上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格， 我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。参考文献：1 郝 梅：求函数极限的方法.福建教育学校学报.2006.10.2 刘小军:高等数学解题方法.云南广播电视大学理工学院学报.2006.083 刘书田：高等数学.北京大学出版社.20054 陈 璋：朱学炎等.数学分析.复旦大学数学系.高等教育出版社.20065 郝 涌：卢士堂等.数学考研精解.华中理工大学出版社.200415外文摘要THE LIMIT OF THE NUMBER OF METHODSFAN Xiu-longAbstr
29、act: in the mathematical analysis, limit thought throughout the story, the limit of the method are crucial. This paper mainly discusses the limit of the general method, summarize and supplement use series convergence and using integral limit of the special method, but also the characteristics of eac
30、h approach and the matters needing attention in detail explained, and examples of general teaching material, make up the deficiency of. Because this paper summarizes, research on the limit of the various methods of many of the details to make specific comments, make the method more targeted, skills, therefore, to overcome the problems encountered in the way of the shortcomings, can do a job with skill and easeKey words: squeeze rule; criterion of monotone bounded; continuous function; infinitesimal nature; LHospital Rule; differential mean value theorem; definite integral; Taylor expansion
