1、08 年高考数学江西卷（理）最后一题有点难22（本小题满分 14 分）已知函数 f(x) ，x(0，) 1a8（1）当 a8 时，求 f(x)的单调区间；（2）对任意正数 a，证明：lf (x)2令 ,则第(2)等价于:若 a,b,c0,abc=8 求证:cxb,)1(11cba上式不等式(1)与 2004 年西部奥林匹克最后一题：设 a,b,c 是正数，求证： 231222 acba类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。另外，2003 年中国数学奥林匹克第三题：给定正数 n,求最小正数 ,使得对于任何 ),.21)(,0nii,就有 不大于 2
2、21tan.tan只 要 ncos.cos21答案:当 n3,=n-1当 n=3 时,令 即得(1)右边的等式。32212tan,ta,tncba江西的宋庆老师说:今天阅卷结束。该题第 2 小题无人挨边；14 分的题全省 9 分一人，8 分二人。 由此可知，（2）右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。所以第（2）小题不宜作高考题。此题也引起了张景中院士的兴趣，在 “张景中院士解江西高考压轴题”一贴中命题人陶平生教授的证明：其中对右边不等式的证明思路基本上取自于前面提到的2003 年中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。22解： 、当 时， ，求得 ，18a13xf312xfx于是当
3、 时， ；而当 时， (0,x0fx,)0f即 在 中单调递增，而在 中单调递减)f11,（2）.对任意给定的 ， ，由 ，0ax11() 8fxax若令 ，则 ，而 8bax8b11fxb（一）、先证 ；因为 ， ， ，1fxa又由 ，得 所以42228abxaba6bx111fxx32()()1abx9()()abaxb()()abaxb（二）、再证 ；由、式中关于 的对称性，不妨设 则2f,xab02（）、当 ，则 ，所以 ，因为 ，7ab5a5a1b，此时 121x211fxa（）、当 ，由得 , ， ，7ab8ab8bx因为 所以 22114()()12()b同理得 ，于是 2()1a8aabfx今证明 , 因为 ，8baa21(1)baab只要证 ，即 ，即 ，据，此为显然(1)()b7因此得证故由得 综上所述，对任何正数 ，皆有 ()2fxa,x12fx说句实在话，该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。2008-07-12 21:03 scpajmb 的发言： 确实，陶平生教授是不等式高手，所命那道 2005 年全国联赛加试第二题，大家还记忆犹新。当然，宋老师也是不等式高手。我的这个证明不是最简单的，发到这里供参考。
