1、【考向解读】 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答的形式进行考查， 难 度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上 .【命题热点突破一】 利用向量证明平行与垂直设直线 l 的方向向量为 a( a1， b1， c1)，平面 、 的法向量分别为 ( a2， b2， c2)，v( a3， b3， c3)则有：(1)线面平行l a a0 a1a2 b1b2 c1c20.(2)线面垂直l a a ka1 ka2， b1 kb2， c1 kc2.(3)面面平行 v va2 a3， b2 b3， c2 c3.(4)面面垂直来源:学_科_网 v
2、v0 a2a3 b2b3 c2c3 0.例 1、如图，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直， M 为 AB 的中点， O为 DF 的中点运用 向量方法证明：(1)OM平面 BCF；(2)平面 MDF平面 EFCD.思维升华 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 a b，只需证明向量 a b(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外来源:学#科#网 Z#X#X#K【变式探究】 来源:学科网
3、【命题热点突破二】 利用空间向量求空间角设直线 l， m 的方向向量分别为 a( a1， b1， c1)， b( a2， b2， c2)平面 ， 的法向量分别为( a3， b3， c3)， v( a4， b4， c4)(以下相同)(1)线线夹角设 l， m 的夹角为 (0 )，则 2cos .|ab|a|b| |a1a2 b1b2 c1c2|a21 b21 c21a2 b2 c2(2)线面夹角设直线 l 与平面 的夹角为 (0 )， 2则 sin |cos a，|.|a |a| |(3)面面夹角设平面 、 的夹角为 (0)，则|cos| |cos ， v|.| v| |v|例 2、(2015江
4、苏)如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形， ABC BAD ， PA AD2， AB BC1. 2(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；(2)点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长来源:学科网思维升华 (1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角注意：两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 ，即 cos|cos|.两平面的法向量的夹角不一定是所求
5、的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化【变式探究】(2014福建)在平面四边形 ABCD 中， AB BD CD1， AB BD， CD BD.将 ABD 沿 BD 折起，使得平面ABD平面 BCD，如图所示(1)求证： AB CD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值【命题热点突破 三】 利用空间向量求解探索性问题存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学
6、对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论例 3 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB BC2 AA1， ABC90， D 是 BC 的中点(1)求证： A1B平面 ADC1；(2)求二面角 C1 AD C 的余弦值；(3)试问线段 A1B1上是否存在点 E，使 AE 与 DC1成 60角？若存在，确定 E 点位置；若不存在，说明理由思维升华 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，
7、把“是否存在”问题转化为 “点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法【变式探究】如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的 正方形， MD平面 ABCD， NB平面 ABCD，且 MD NB1， E 为BC 的中点(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；来源:学科网 ZXXK(2)在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由【高考真题解读】1(2015陕西，18)如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， BAD ， AB BC1， AD2， E 是 AD 2的
8、中点， O 是 AC 与 BE 的交点将 ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置，如图 2.(1)证明： CD平面 A1OC；(2)若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值2(2015天津，17)如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，侧棱 A1A底面ABCD， AB AC， AB1， AC AA12， AD CD ，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点5(1)求证： MN平面 ABCD；(2)求二面角 D1 AC B1的正弦值；(3)设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段 A1
9、E 的长133(2015四川，14)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上， E、 F 分别为 AB、 BC 的中点设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 cos 的最大值为_4.(2015安徽，19)如图所示，在多面体 A1B1D1DCBA，四边形 AA1B1B， ADD1A1， ABCD均为正方形， E 为 B1D1的中点，过 A1， D， E 的平面交 CD1于 F. (1)证明： EF B1C.(2)求二面角 EA1DB1的余弦值5(2015 重庆，19)如图，三棱锥 P ABC 中， PC平面 ABC， PC3， A
10、CB.D， E 分别为线段 AB， BC 上的点，且 CD DE ， CE2 EB2. 2 2(1)证明： DE平面 PCD；(2)求二面角 A PD C 的余弦值6(2015北京，17)如图，在四棱锥 A EFCB 中， AEF 为等边三角形，平面 AEF平面 EFCB， EF BC， BC4， EF2 a， EBC FCB60， O 为 EF 的中点(1) 求证： AO BE；(2) 求二面角 F AE B 的余弦值；(3)若 BE平面 AOC，求 a的值7(2015四川，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M， GH 的中点为 N.(1)请将字母 F， G， H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线 MN平面 BDH；(3)求二面角 A EG M 的余弦值学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp
