1、上海市长宁、嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试数学试卷（文）2014 年 4 月考生注意：本试卷共有 23 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分一填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1已知 i为虚数单位，计算： i23_2已知集合 1,0,A，集合 ,012RxxB，则 BA_3函数 2)cos(inxy的最小正周期是_4在 56)1x的展开式中，含 3x项的系数是_5某校选修篮球课程的学生中，高一学生有 0名，高
2、二学生有 40名，现用分层抽样的方法在这 70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了 6人，则在高二学生中应抽取_人6已知向量 )1,(sina， )cos,(b，其中 ，若 ba，则 _7对于任意 ，函数 )1(log(xxfa的反函数 )(1xf的图像经过的定点的坐标是_8已知函数 ,21,20)(xxf 将 )(f的图像与 轴围成的封闭图形绕 轴旋转一周，所得旋转体的体积为_9已知 43tan，则 acos_10已知抛物线型拱桥的顶点距水面 2米时，量得水面宽为 8米则水面升高 1米后，水面宽是_米（精确到 01.米）11从集合 5,432,1中随机取一个数 a，从集合 5,31中
3、随机取一个数 b，则“事件 ba”发生的概率是_12已知 0， 且 1ba，则 22)()(b的最小值是_13若平面区域 )(2,|xky是一个三角形，则 k的取值范围是_14已知函数 ,2,)(0)fxf 若对于正数 n（ *N），直线 xkyn与函数 xy的图像恰有 1n个不同交点，则 )(lim221nnk _二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分15运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对 ),(yx所对应的点都在函数（ ）A 1xy的图像上B 2的图像上C xy的
4、图像上D 1的图像上16下列说法正确的是（ ）A命题“若 12x，则 ”的否命题是“若 12x，则 ”B“ ”是“ 02x”的必要不充分条件C命题“若 yx，则 ysin”的逆否命题是真命题D“ 1tan”是“ 4”的充分不必要条件17已知双曲线 ： 12byx（ 0a， b），方向向量为 )1,(d的直线与 C交于两点 A、 B，若线段 的中点为 ),(，则双曲线 C的渐近线方程是（ ）A 02y B C 02yx D 02yx18已知偶函数 )(xf对任意 R都有 )()4(ffxf，则 )14(f的值等于（ ）A 2 B 3 C D 0开始结束1,yx5x输出 ),(yx2,1否是三解答
5、题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分 12 分，本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分在 ABC中，角 、 、 C所对的边分别为 a、 b、 c，已知 BpCAsinsin（0p），且 241bac（1）当 5， 时，求 a， c的值；（2）若 为锐角，求实数 p的取值范围20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分在如图所示的多面体中，四边形 ABCD为正方形，四边形 ADPQ是直角梯形， DPA，CD平面 PAQ， P（1）求证
6、：棱锥 与棱锥 的体积相等（2）求异面直线 C与 B所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；21（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分已知椭圆 ： 12byax（ 0a）的焦距为 4，且椭圆 过点 ),(A（1）求椭圆 的方程；（2）设 P、 Q为椭圆 上关于 y轴对称的两个不同的动点，求 QP的取值范围ABCD PQ22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分已知等差数列 na满足 73， 2675a（1）求 的通项公式；（2）若 2nam，数列 nb满足关
7、系式 ,2,1,1nmbn求证：数列 nb的通项公式为 1nb；（3）设（2）中的数列 nb的前 项和为 nS，对任意的正整数 ，2)()() 1npS恒成立，求实数 p的取值范围23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分设 a是实数，函数 |2|4)(axfx（ R）（1）求证：函数 不是奇函数；（2）当 0时，解关于 x的方程 2)(f；（3）当 a时，求函数 y的值域（用 a表示）上海市长宁、嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试数学试卷（文）参考答案与评分标准2014 年 4 月注：解答题评分标准
8、中给出的为各小题的累计分，请阅卷老师注意一填空题（每小题 4 分，满分 56 分）1 i 2 1,0 3 4 10 5 8 6 43 7 )2,1(8 3 9 57 10 6. 11 12 2 13 3,0,14 41二选择题（每小题 5 分，满分 20 分）15D 16C 17B 18D三解答题（共 5 题，满分 74 分）19（本题满分 12 分，本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分（1）由正弦定理得， pbca，所以 4ca， （2 分）又 4ac，所以 41,或 ., （5 分）（少一组解扣 1 分）（2）由余弦定理， BaccaBcab os2)(
9、os222 ，（1 分）即 )cos(2pb， （2 分）所以 B13 （4 分）由 B是锐角，得 ),0(cs，所以 2,32p （6 分）由题意知 p，所以 ,6 （7 分）20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分（1）设 aAB，设棱锥 ABCDQ的体积为 V，棱锥 DCQP的体积为 2V由 DQ， ，知 是棱锥 的高， （1 分）所以棱锥 的体积 31aV （3 分）又 32 121331aDCSVPQDPC （5 分）所以 1，即棱锥 AB与棱锥 CQP的体积相等 （6 分）（2）因为 2，取 中点 E，边结 ， E则 QE
10、BC，且 ，故 ，所以 P为异面直线 P与 BQ所成角（2 分）设 aA，则在 E中， 2， a5， （4 分）由余弦定理， 10352cos 222 aCPEP （7 分）所以，异面直线 C与 BQ所成角的大小为 103arcos （8 分）21（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分（1）解法一：由已知得 c， （1 分）因为椭圆 过点 ),2(A，所以 ,42ba（2 分）解得 .4,82ba（4 分）所以，椭圆 的方程为 142yx （6 分）解法二：由已知得 c，所以椭圆 的两个焦点是 )0,2(1F， ),(2，（1 分）所以
11、3|221AFa，故 a， （4 分）所以 b （5 分）所以，椭圆 的方程为 1482yx （6 分）（2）设 ),(yxP，则 ),(Q（ 0），A， )2,A， （1 分）由 1482，得 22y，所以 23)2(422 yyxAQP383y， （5 分）由题意， 2，所以 24103823y （7 分）ABCD PQE所以， AQP的取值范围是 2410,38 （8 分）22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分（1）设等差数列 na的公差为 d，由已知，有 ,60271da解得 ,1da（2 分）所以
12、12)(3n，即 na的通项公式为 n（ *N）（4 分）（2）因为 namn，所以，当 时， 1nb， （2 分）证法一（数学归纳法）：当 1时， b，结论成立； （3 分）假设当 k时结论成立，即 12kb，那么当 kn时， kk1k21，即 n时，结论也成立 （5 分）由，得，当 *N时， 成立 （6 分）证法二：当 n时， 12nnb，所以 ,2,12312nnb（2 分）将这 1个式子相加，得 12nnb， （4 分）即 12n （5 分）当 1时， 也满足上式所以数列 nb的通项公式为 nb （6 分）（3）由（2） 12n，所以 )2()(12 nSn ， （2 分）所以，原不等
13、式变为 )(11np，即 1p，（4 分）所以 np对任意 *N恒成立，所以 所以， m的取值范围是 ,( （6 分）23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分（1）假设 )(xf是奇函数，那么对于一切 Rx，有 )(xff，从而 0，即 0)(f，但是 0|1|2|4)(0af ，矛盾所以 )(xf不是奇函数（也可用 1f等证明） （4 分）（2）因为 ， 4x，所以当 a时， xfx)(， （1 分）由 2)(axf，得 24ax，即 0)1(4ax， 0)12)(axx，解得 （舍去）或 )1( （4 分）
14、所以，当 01，即 0时， )(，原方程无解； （5 分）当 a，即 时， )(a，原方程的解为 )1(log2ax（6 分）（3）令 xt2，则 t，原函数变成 |2aty （1 分）因为 0a，故 .,02atty（2 分）对于 t，有 412t，当 21时， y是关于 t的减函数， y的取值范围是),2a；当 21时， minay，当 a时， 的取值范围是 a,41，当 1时，y的取值范围是 2,4 （5 分）对于 at，有 aty2 41at是关于 t的增函数，其取值范围 ),(2 （7 分）综上，当 10a时，函数 )(xfy的值域是 ),2a；当 2时，函数 )(f的值域是 ,41 （8 分）
